РАСЧЕТЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ В настоящей главе рассматриваются задачи по определению напряжений в поперечных сечениях стержней при равноускоренном движении, упругих колебаниях системы, ударе, а также задачи по проверке прочности материала при переменных напряжениях. Суть решения задачи на определение напряжений од при динамических действиях нагрузок сводится к тому, что находят напряжение оспг так, будто на конструкцию действуют только статически приложенные силы, а затем найденную величину умножают на динамический коэффициент, т. е. ад = кдаст. Условие прочности в этом случае получается в виде допускаемое напряжение для материала стержня при статическом нагружеиии. Выражение для зависит от вида динамических нагрузок. Покажем это на примерах. Какое ускорение а можно допустить при подъеме груза на тросе , чтобы напряжение в поперечных сечениях троса диаметром не превосходило Решение. Условие прочности троса получает вид площадь поперечного сечения троса, равная динамический коэффициент, который при равноускоренном движении определяется из выражения Решая неравенство относительно величины а, получаем Груз весом , скользя по стальному стержню длиной м и площадью поперечного сечения падает на пластину, приваренную к нижнему концу стержня . Найти напряжение в стержне в момент наибольшей деформации. Высота падения Трением скольжения, деформацией пластины и массой ударяемого тела пренебречь. Решение. Напряжение^ при растягивающем ударе можно вычислить по формуле напряжение при статическом приложении груза; динамический коэффициент при ударе. Напряжение при статическом приложении груза Р равно: Внутреннее продольное усилие N чцрленно равно вес\ груза. Отсюда Динамический коэффициент при растягивающем ударе находится из выражения В этом выражении высота падения груза, равная 10 см, a деформация стержня при статическом приложении груза. Тогда поперечных сечениях стержня в момент наибольшей его деформации равно подвешен на стальном тросе площадью поперечного сечения F — 2 см2. Другой конец троса намотан на барабан лебедки (рис. 74). Барабан свободно вращается и при этом груз начинает свободное падение под действием силы тяжести. Найти динамическое напряжение в поперечном сечении троса при мгновенном торможении лебедки. Решение. Напряжение ост в поперечных сечениях троса при статическом подвешивании груза равно При внезапной остановке лебедки трос подвергается ударной нагрузке; динамический коэффициент вычисляется по формуле В этом случае h — длина троса в момент остановки сопротивляется и высотой падения груза. Следовательно, Тогда Интересно отметить, что динамический коэффициент не зависит от величины h, когда высота падения груза равна длине удаляемого тела. Динамическое напряжение в момент удара равно Результат показывает, что внезапное торможение лебедки ведет к мгновенному возрастанию напряжений. Груз весом падает на двутавровую балку длиной м с высоты . Проверить прочность балки, если допуск формуле следовательно, задача сводится к определению напряжения сст и Ьст при статическом приложении груза Р. Определяем ост . При статическом приложении груза Р в середине пролета балки, лежащей на двух опорах, наибольший изгибающий момент равен макс При этом наибольшие нормальные напряжения возникают в сечении балки под грузом и равны _ макс М Для двутавровой балки момент сопротивления площади поперечного сечения , а момент инерции . Отсюда Вычисляем прогиб Ъст балки. Наибольший прогиб оказывается под точкой приложения груза (в середине пролета). Он равен Вычисляем динамический коэффициент кд Вычисляем динамическое напряжение од Прочность балки обеспечена. . Для балки, рассчитанной в предыдущей задаче, найти величину максимального прогиба при ударе. Решение. Наибольший прогиб од при ударе находим, полагая деформации пропорциональными напряжениям, т. е Подставляя числовые значения из предыдущей задачи, получаем: Задача 75. На стальной балке пролета состоящей из двух двутавров № установлен мотор весом; . Определить частоту свободных колебаний балки без учета и с учетом приведенной массы балки. Решение. Для определения частоты свободных колебаний о)о балки в теории сопротивления материалов приводится формула прогиб балки при статическом приложении груза; ускорение свободного падения. Следовательно, определению оо должно предшествовать на хождение величины Ъст . Определяем соо без учета приведенной массы балки. Для невесомой балки под действием только сосредоточенной силы прогиб в середине пролета для каждого из двух двутавров можно найти по формуле Для двутавра Тогда , следовательно, Определяем «о с учетом приведенной массы балки. Учет приведенной массы балки сводится к тому, что при определении ост к сосредоточенной силе Q добавляется величина где вес балки, а значение коэффициента т зависит от способа закрепления балки и места приложения силы . Например, если балка лежит на двух опорах, а мотор помещен в середине пролета, то . Для заданной нам балки Вес погонного метра двутавровой балки равен Следовательно, вес всей балки Теперь определяем величину Заметим, что значения частоты свободных колебаний балки, полученные без учета и с учетом приведенной массы балки, отличаются всего на На свободном конце консольной балки двутаврового поперечного сечения помещен мотора весом Определить критическое число оборотов мотора, при котором может наступить явление резонанса. Расчёт вести с учетом приведенной массы балки. Длина балки . Решение. Для явления резонанса необходимо равенство частот свободных и вынужденных колебаний балки: Для консольной балки с грузом на свободном конце частота может быть найдена по формуле для двутавровой балки вес одного погонного метра а момент инерции (минимальный) . Тогда Определяем критическое число оборотов мотора пкр . Частота вынужденных колебаний о> зависит от числа оборотов мотора и вычисляется по формуле При резонансе . На стальной балке установлен мотор весом Q = 500 кГ, совершающий 400 об/мин. Балка составлена из двух швеллеров № 30. Вследствие неуравновешенности вращающихся частей мотора на балку действует возмущающая сила S, изменяющаяся во времени t по синусоидальному закону — наибольшее значение возмущающей силы. Найти наибольшее напряжение в балке и ее наибольший прогиб под двигателем во время его работы, если длина пролета я=1,5 м, а вылет консоли Ь = 0,9 м. Массу балки не учитывать. Решение. Наибольшие напряжения в балке ад и наибольший прогиб балки Ьд под двигателем во время его работы Динамический коэффициент kd определяется из выражения где р — коэффициент нарастания колебаний, равный — При этом величину аст находим методом Верещагина. Эпюра изгибающего момента от силы Q изображена на рис. 78, б, а эпюра изгибающего момента от единичной силы Р°=1— на рис. 78, в. Прогиб балки под грузом равен Момент инерции принят по ГОСТ 8240—56. Полагая балку невесомой, находим частоту свободных колебаний: Частота свободных колебаний балки в числовом выражении Определяем коэффициент нарастания колебаний: Вычисляем динамический коэффициент . Наибольшее напряжение ад возникнет в сечении над правой опорой. Напряжение ост от статически приложенного веса мотора Que учетом собственного веса балки q находим По ГОСТ 8240—56 для швеллера вес одного погонного метра балки равен 31,8 кГ Тогда Отсюда Определяем наибольший прогиб балки под двигателем во время его работы: При вычислении мы пренебрегли действием собственного веса и получили при этом несколько больший прогиб 6д. На балке, рассмотренной в предыдущей задаче, мотор заменили другим такого же веса, но с числом оборотов «=600 об/мин. При этом оказалось, что частота свободных колебаний со0 и частота вынужденных колебаний со близки друг другу, и при работе мотора возникает резонанс. Требуется подобрать новое сечение балки так, чтобы надежно избежать явления резонанса. Для того чтобы избежать не только явления резонанса, но и явления биений, надо, чтобы со0 и о> отличались друг от друга по крайней мере на 20%. Но частоту вынужденных колебаний, зависящую от числа оборотов мотора, мы не можем менять. Частота же о)о может быть изменена за счет изменения длины балки или ее жесткости. Обычно длина и материал балки не могут быть изменены по конструктивным соображениям, тогда в нашем распоряжении остается момент инерции площади поперечного сечения балки, который мы и примем в качестве переменной величины. Итак, надо подобрать сечение балки так, чтобы новая частота свободных колебаний балки о>о отличалась от (см. предыдущую задачу) на . Рассмотрим два варианта. Вариант первый: Один процент составляет следовательно, новая частота свободных колебаний должна быть Вспомним, что