ЗАДАЧИ НА ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ
На вал ) насажены два одинаковых шкива А и В диаметром 40 см, весом каждый 150 кг. Ведущий шкив А передает мощность 50 л. с. при 500 об/мин. Через шкив перекинуты ремни, ветви которых параллельны друг другу. Обе ветви ремня на шкиве А горизонтальны, на шкиве В — вертикальны. Исходя из условия прочности, по теории наибольших касательных напряжений определить необходимый диаметр вала при допускаемом напряжении Решение. Стержень подвергается одновременному воздействию изгибающих и скручивающих усилий. Из теории известно, что в этом случае стержень работает в условиях комбинации трех простейших деформаций: кручения и двух плоских поперечных изгибов в главных центральных плоскостях инерции стержня. Внутренние усилия в поперечном сечении стержня приводятся к пяти компонентам:крутящему моменту вокруг геометрической оси ОХ. изгибающим моментам и Мг относительно главных цен- тральных осей инерции и перерезывающим силам направленным по этим осям. Если стержень име- ет круглое поперечное сечение диаметром то касательные напряжения, возникающие при изгибе, равнодействующими которых является имеют 'второстепенное значе- ПРИ Расчете обычно не учитывают. Определим внутреннее усилие Мк. Вал, как было сказано, подвергается изгибу, а часть его, расположенная между шкивами, — и скручиванию. Скручивающий момент определяется по формуле Эпюра крутящего момента приведена на . Обозначим натяжение набегающей ветви ремня, перекину того через шкив А, через тогда натяжение в сбегающей по условию равно . Приведем силы натяжения ремня к центр тяжести поперечного сечения вала. Момент, вращающий шкив, равный крутящему моменту МКУ определяется формулой где — диаметр шкива, равный Отсюда Для шкива В аналогично В сечении посадки шкива А вал нагружен горизонтальной силой Я = 3/; в сечении посадки шкива В вал нагружен вертикальной силой в тех же сечениях действуют вертикальные силы, равные весу шкивов. Весом самого вала пренебрегаем. Для вычисления наибольшего изгибающего момента определим сначала изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Горизонтальная нагрузка от шкива А равна горизонтальная нагрузка от шкива В отсутствует. Вертикальная нагрузка от шкива А равна от шкива Опорные реакции от нагрузки , действующей в горизонтальной плоскости, определяем обычным способом и строим эпюру изгибающего момента Аналогично от нагрузок действующих в вертилинии с вершинами в этих сечениях Величина суммарного изгибающего момента в сечениях В и F равна Для каждого сечения будем иметь свою плоскость действия изгибающего момента, но так как вал имеет круглое поперечное сечение, у которого моменты сопротивления относительно всех центральных осей одинаковы, то без влияния на результаты расчета возможно совместить плоскости изгибающих моментов для всех сечений и построить эпюру суммарного изгибающего момента, располагая ее в плоскости чертежа. Заметим, что между сечениями В и F эпюра суммарного изгибающего момента Ми будет ограничена кривой, не имеющей максимума. Очевидно, опасным сечением является сечение В с изгибающим моментом Крутящий момент в этом сечении Эпюра показана . Из теории известно, что при совместном воздействии изгибающих и скручивающих усилий материал испытывает плоское напряженное состояние (см. рис. 61, е). Расчеты на прочность надо производить с применением гипотез прочности Условие прочности при кручении с изгибом имеет вид — осевой момент сопротивления вала, определяемый фор расчетный момент, величина которого зависит как от так и от принятой гипотезы прочности. По гипотезе -наибольших касательных напряжений расчетный момент равен Подставим числовые значения и полечим величину расчетного момента для данного случая: Необходимый диаметр вала из условия прочности Итак, необходимый диаметр вала мм. Произвести расчет вала шестерни реечной передачи, изображенной на Рассчитать диаметры вала в сечениях При расчете воспользоваться четвертой гипотезой прочности. Собственный вес вала и шестерни не учитывать. Решение. Вал шестерни реечной передачи получает о г электродвигателя мощность 3,4 кет при угловой скорости об/мин Таким образом, на подается скручивающий момент, определяемый но формуле где мощность, число оборотов в минуту. Подставим числовые значения Для расчета вала шестерни реечной передачи необходимо знать силы, действующие в зацеплении; рассматриваем Их как приложенные в полосе зацепления. В зацеплении насаженной на валу шестерни с рейкой возникают усилия: окружное и радиальное. Формулы для их определения приводятся ниже. Расчетная схема показана на Шариковые подшипники рассматриваются как шарнирные опоры. Радиальная сила вызывает плоский поперечный изгиб в плоскости сила — плоский поперечный изгиб в плоскости . При переносе силы Р на ось вала получаем решение конца до среднего сечения шестерни — подвергается кручению Итак, на участке материал вала работает в условиях комбинации двух плоских поперечных изгибов (случай пространственного изгиба), на участке в условиях чистого кручения; на участке материал вала подвергается одновременному изгибу в двух главных плоскостях инерции и кручению. Определим усилия, возникающие в зацеплении, и внутренние усилия в сечениях вала где скручивающий момент, диаметр делительной окружности шестерни. Для определения радиального усилия имеем формулу , где окружное усилие, угол зацепления в нормальном сечении; в корректированном зацеплении Опорные реакции от силы действующей в вертикальной плоскости, определяем обычным способом: и строим эпюру изгибающего момента Аналогично определяем опорные реакции от силы Р, действующей в горизонтальной плоскости, и строим эпюру изгибающего момента Результирующий изгибающий момент определяется как геометрическая сумма составляющих. Очевидно, он достигнет наибольшего значения в сечении С. Величина суммарного изгибающего момента в этом сечении равна Эпюру суммарного изгибающего момента располагаем в «плоскости чертежа (она приведена на В сечениях правой части вала — от входного конца до среднего сечения шестерни возникает крутящий момент; он не меняется по длине участка и равен в любом сечении Эпюра крутящего момента приведена на дует вести с применением гипотез прочности. По четвертой гипотезе прочности расчетный момент равен (здесь Ми и МА. соответственно изгибающий и крутящий моменты в расчетном сечении). Подставив числовые значения , получим величину расчетного момента Необходимый диаметр вала из условия прочности По ГОСТ 6636—60 принимаем В сечении материал вала работает только на кручение. Из условия прочности при кручении определяем необходимый диаметр вала крутящий момент в рассматриваемом сечении, допускаемое напряжение при кручении Так как в сечении вал ослаблен шпоночным пазом, то диаметр вала следует увеличить на . Окончательно, в соответствии ГОСТ 6636—60, принимаем мм. Поверочный расчет на выносливость не производится. Задача 61. Построить эпюры изгибающего и крутящего моментов и определить безопасную нагрузку из расчета по четвертой гипотезе прочности для полого вала, изображенного на рис. 63, ау если известны: размеры его поперечного сечения отношение допускаемое напряжение и величина Решение. Приведя силы, приложенные в сечениях , к центрам тяжести соответствующих поперечных «сечений вала, получим в сечении В горизонтальную силу и момент относительно оси в сечении вертикальную силу и момент относительно оси От действия возникает кручение. Эпюра крутящего момента приведена на рис. Вертикальная сила изгибает вал в плоскости относительно оси . Эпюра изгибающего момента строится обычным способом; она изображена на , в. Горизонтальная сила изгибает вал в плоскости изгибающего момента приве Результирующий изгибающий момент определяется как геометрическая .сумма .составляющих. Очевидно, он достигает наибольшего значения в сечении Л. Суммарный изгибающий момент в сечениях А, В, С равен Эпюру суммарного изгибающего момента строим, располагая ее в плоскости чертежа . Таким образом, опасным является сечение Ау расположенное бесконечно близко к защемлению. Изгибающий момент в этом сечении Ми ~5 Р1\ крутящий момент Как известно, условие прочности при кручении с изгибом имеет вид макс . Осевой момент* сопротивления для полого вала определяется формулой так как в данном случае