ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ Задача 56. Определить наибольшие макс с и наименьшие мина нормальные напряжения и положение нейтральной оси в произвольном поперечном сечении прямого бруса, изображенного на , при следующих данных:Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении. Решение. Сила Р приложена не в центре тяжести концевого сечения стержня. Из теории известно, что в общем случае внецентренного сжатия (растяжения) призматический стержень работает в условиях комбинации простейших деформаций: осевого сжатия (растяжения) и двух чистых плоских изгибов в главных центральных плоскостях инерции стержня. Внутренние усилия в каждом поперечном сечении стержня приводятся к осевому продольному сжимающему (растягивающему) усилию и двум изгибающим моментам действующим в главных центральных плоскостях инерции стержня. Следовательно, прежде всего необходимо определить положение центра тяжести сечения и главных центральных осей инерции. Тавровое сечение имеет вертикальную ось симметрии, центр тяжести сечения лежит на этой оси: Расстояние центра тяжести сечения от оси вычисляется по формуле Итак, имеем . Вычислим величины главных центральных моментов инерции сечения: От Nx во всех точках сечения возникнут сжимающие напряжения От изгибающего момента Му9 действующего в главной плоскости инерции балки , растянутыми будут волокна, лежащие слева от оси О У, а сжатыми—лежащие справа от нее. От изгибающего момента Мг, действующего в плоскости , растянутыми будут волокна, лежащие ниже оси , а сжатыми — лежащие выше нее. Таким образом, наибольшие сжимающие напряжения мин о возникнут в точке Определим положение нейтральной оси. Уравнение нейтральной оси в случае внецентренного сжатия (растяжения) имеет вид где суть отрезки, отсекаемые реальной осью на главных центральных осях инерции поперечного сечения стержня. Направление осей таково, что в точках первого квадранта все внутренние усилия вызывают напряжения одного знака. Через концы этих отрезков проведена нейтральная ось пп и построена эпюра нормальных напряжений. Нормальные напряжения имеют наибольшее и наименьшее значение в точках касания контура сечения прямых, параллельных нейтральной оси. . Проверить прочность нижней части бетонного столба, изображенного на рис. 54, а, при следующих данных Решение. Сила Р приложена нецентрально в одной из главных плоскостей инерции стержня. В данном случае стержень будет работать в условиях комбинации двух простейших деформаций: осевого сжатия и чистого изгиба в главной центральной плоскости инерции Внутренние усилия в каждом поперечном сечении стержня приводятся к осевому продольному сжимающему усилию и изгибающему моменту где эксцентрицитет приложения силы. Внутренние усилия в любом поперечном сечении нижней части бруса . Они изображены От во всех точках сечения возникнут сжимающие напряжения . От изгибающего момента , действующего в главной плоскости инерции балки растянутыми будут волокна', лежащие слева от а сжатыми — лежащие справа от нее. Таким образом, наибольшие сжимающие напряжения мин о возникнут в точках наибольшие растягивающие макс — в точках Геометрические характеристики сечения: мин Напряжения равны: макс Итак, прочность нижней части столба обеспечена: наибольшие сжимающие напряжения не превосходят допускаемых, наибольшие растягивающие напряжения равны допускаемым. Построить ядро сечения для сечения, изображенного на рис. 55. Решение. Ядром сечения называется область поперечного, сечения, окружающая центр тяжести, ограниченная замкнуты.* контуром, внутри которого мож но располагать точку приложе ния силы, вызывая во всех точ ках поперечного сечения напря жения одного знака. Контуров ядра сечения является геометри ческое место точек приложенш силы, при котором нейтральна? ось, касаясь контура поперечной сечения, нигде его не пересекает Чтобы получить очертание ядра сечения, будем катить ней тральную ось по контуру сечения, т. е. дадим нейтральной oct несколько положений касательных к контуру сечения. При ston отрезки, отсекаемые нейтральной осью (ее уравнение имеет вш на осях координат, определяются аналитическими выражениями Очевидно, их величины можно считать известными, так как известны размеры сечения, и можно вычислить координаты zp, ур точек приложения силы — координаты точек контура ядра сечения. Они определяются формулами Вычислим геометрические характеристики сечения. Площадь поперечного сечения Координаты центра тяжести Моменты инерции относительно главных центральных осей Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей определяются по формулам Совмещаем нейтральную ось с левой стороной сечения Отрезки, отсекаемые нейтральной осью на осях координат, равны а Соответственно координаты точки 1 контура ядра сечения Совмещаем нейтральную ось с верхней стороной сечения Отрезки, отсекаемые нейтральной осью на осях координат, равны Координаты точки контура ядра сечения Совмещаем нейтральную ось с правой стороной сечения Координаты точки Наконец, совмещаем с нижней стороной сечения Координаты точки 4 Получили координаты четырех точек, принадлежащих контуру ядра сечения. При переходе от одной грани контура сечения к другой нейтральная ось будет вращаться вокруг вершины, разделяющей у эти грани (точки А, В, С, D); при этом точка приложения силы движется прямолинейно между полученными точками . Соединив прямыми линиями известные точки границ ядра ^— сечения, получим его контур целиком. В данном случае очертания ядра сечения имеют форму ромба. Изложенная методика пригодна для поперечных сечений любого очертания. Ниже рассмотрены наиболее часто встречающиеся случаи. Прямоугольное сечение со сторонами Для такого сечения Двутавровое сечение . Для двутавра № 10 по ГОСТ 8239—56