Определить аналитическим способом прогибы свободного конца, сечения F и угол поворота сечения Е балки
Задача 38. Определить аналитическим способом прогибы свободного конца, сечения F и угол поворота сечения Е балки, изображенной на , если известны . Решение. Если балка имеет несколько грузовых участков, то чтобы избежать составления приближенного дифференциального уравнения для каждого участка и уравнивания в даль-нейшем постоянных интегрирования, можно составить приближенное дифференциальное уравнение оси изогнутой балки сразу для последнего грузового участка, строго выполняя изложенные выше правила, а именно: отсчет абсцисс всех участков ведем от начала координат, расположенного в центре тяжести крайнего левого сечения балки; равномерно распределенную нагрузку интенсивности qy обрывающуюся на границе первого и второго участков, продолжаем до конца балки — на второй и третий участки, добавив на этих двух участках нагрузку той же интенсивности, но противоположного знака. Члены уравнения изгибающего момента, содержащие сосредоточенные внешние пары, соответственно умножим на. Получим уравнение Здесь слагаемые в первой квадратной скобке представляют собой уравнение изгибающего момента на левом участке балки; слагаемые в первой и второй скобках представляют собой уравнение изгибающего момента на среднем участке балки. Наконец все уравнение в целом дает закон изменения изгибающего Интегрирование ведем оез раскрытия скооок. Проинтегрировав первый раз, получим уравнение углов поворота Проинтегрировав второй раз, получим уравнение оси изогнутой балки Произвольные постоянные интегрирования С и D определяются из условий закрепления левого конца балки. При составлении приближенного дифференциального уравнения осп изогнутой балки мы располагали начало координат в центре тяжести левого защемленного сечения, угол поворота и прогиб которого равны нулю. Следовательно, Уравнения углов поворота и прогибов принимают вид Сечение расположено на границе первого и второго участков, на расстоянии а от начала координат. Для определения прогиба сечения подставляем х первые три члена уравнения в остальные члены, расположены по правую сторону от сечения , и следовательно, в выражение изгибающего момента при рассмотрении равновесия левой отсеченной части войти не могут (знак минус означает, что прогиб направлен вниз. Перейдем к определению угла поворота сечения . Сечение расположено на расстоянии от начала координат. Подставляем в первые пять слагаемых уравнения углов поворота (знак минус означает, что сечение поворачивается по часовой стрелке по отношению к своему первоначальному положению). Для определения прогиба свободного конца подставляем абсциссу сечения В (х=3а) во все слагаемые уравнения оси изогнутой балки, так как заданное сечение расположено на ее правом конце (знак минус означает, что прогиб направлен вниз). Следует сказать, что аналитический метод применяется в тех случаях, когда требуется определить положение оси изогнутой балки в целом.