ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ Балки, применяемые в инженерных конструкциях, помимо ьрочности должны обладать необходимой жесткостью, т. е. при расчетной нагрузке получать прогиб, не превышающий опреде-1енной величины. Проверка жесткости сводится к требованию: макс I де I — пролет балки, т — коэффициент, зависящий от назначения балки и уcловий ее работы; обычно 300-т- 1000. Для проверки жесткости надо уметь определять перемещения отдельных сечений балки. Умение определять линейные ь угловые перемещения сечений необходимо также для определения опорных реакций статически неопределимых систем. Существует довольно много методов определения перемещений; покажем на примерах использование некоторых из них I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИИ Задача 36. Определить аналитическим способом прогибы н углы поворота сечений А и В балки, изображенной на рис. 33. если известно, что: Аналитический способ определения деформаций заключается в непосредственном интегрировании приближенного дифференциального уравнения оси изогнутой балки 1де М — изгибающий момент в некотором произвольном сечении балки; EJ — жесткость в том же сечении. Решение. Составим уравнение.изгибающего момента и приближенное дифферен циальное уравнение изогнутой оси балки. Балка имеет один грузовой участок, ее жесткость по длине постоянна. Уравнение изгибающего момента составляется обычным способом (с учетом правила знаков для изгибающего момента). Начало координат будем располагать в центре тяжести крайнего левого сечения, ось У — направлять вверх, ось X — вправо по оси балки. Проводим произвольное сечение на расстоянии х от начала координат (при составлении уравнения М рассматриваем левую отсеченную часть балки)- Изгибающий момент в этом сечении Подставив значение изгибающего момента, в приближенное дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, получаем Для получения аналитических выражений прогибов и углов поворота надо найти интеграл приближенного дифференциальyого уравнения оси изогнутой балки. Интегрируя первый раз, получим выражение, которое дает закон изменения углов поворота сечений балки после деформации по отношению к их первоначальным положениям Интегрируя второй раз, получим уравнение оси изогнутой балки Произвольные постоянные интегрирования находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки. Отыщем в балке сечения, для которых известны величины прогиба и угла поворота. Таким является опорное сечение Б: в нем прогиб и угол поворота равны нулю, т. е. Подставим эти значения в аналитические выражения углов поворота и прогибов Итак, произвольные постоянные интегрирования определены. Подставляем их значения в аналитические выражения углов поворота и прогибов. Получаем уравнения: Пользуясь этими уравнениями, можно найти прогиб и угол поворота в любом сечении балки. Перейдем к определению перемещений свободного конца балки. Сечение А расположено в начале координат. Подставим значение л:=0 в уравнения (*) и получим прогиб и угол поворота в начале координат: Заметим, что произвольная постоянная интегрирования С дает значение угла поворота в начале координат, а произвольная постоянная интегрирования D — значение прогиба в начале координат. Угол поворота в начале координат получился отрицательным, это означает, что сечение А после деформации повернулось но отношению к своему первоначальному положению по часовой стрелке. Прогиб в начале координат получился положительным, это означает, что прогиб направлен вверх, в сторону положительных значений оси У. (Приведенные объяснения о связи знака с направлением перемещения справедливы только для данных направлений координатных осей.) Определим перемещения в сечении В, которое расположено на расстоянии -к- от начала координат. Подставим значение х= в уравнения (*). Получим > гол поворота и прогиб в этом сечении знак минус означает, что сечение повернулось по часовой стрелке). Определить аналитическим способом прогиб в середине пролета и угол поворота правого опорного сечения балки переменного сечения, изображенной Дано: Влияние концентрации напряжений не учитывать. Решение. Составим уравнения изгибающего момента и приближенные дифференциальные уравнения изогнутой оси балки. Если на различных участках балки изгибающий момент или жесткость имеют различные законы изменения, то надо составить несколько приближенных дифференциальных уравнений для конкретных участков. Данная балка имеет два грузовых участка, их жесткость различна. Приближенные дифференциальные уравнения оси изогнутой балки будут: грузовой участок I 1 грузовой участок II 1 Для получения аналитических выражений углов поворот?» и прогибов надо найти интегралы составленных дифференциальных уравнений. Интегрируя, получим: условия на границах каждого участка. Из условия гладкости и непрерывности оси изогнутого бруса вытекает, что яа левом конце какого-либо участка прогиб и угол поворота такими же, как на правом конце предшествующего участка. После уравнивания произвольных постоянных интегрирования остаются две неизвестные — С и D; их находят из условий, зависящих от способа закрепления балки: прогибы опорных сечения (А и Б) балки равны нулю. При уi = 0; х—l уц=0. D — прогиб в начале координат, следовательно, D = 0. Воспользуемся вторым условием: Подставляем полученные значения С и D в уравнения (*) (знак минус показывает, что прогиб направлен вниз). Для определения угла поворота опорного сечения В подставляем абсциссу сечения х=1 в уравнение поворота (знак плюс означает, что сечение повернулось против часовой стрелки относительно своего первоначального положения).