Контроль правильности построения эпюр
Контроль правильности построения эпюр Построение эпюр может быть облегчено при использовании некоторых зависимостей между значениями поперечной силы и изгибающего момента в любом сечении балки, а также связи этих величин с интенсивностью распределенной нагрузки, приложенной к балке в данном сечении. Первая производная от поперечной силы по текущей координате равна интенсивности распределенной нагрузки на балку в этом сечении: но Первая производная от изгибающего момента по текущей координате равна поперечной силе в этом сечении балки: Вторая производная от изгибающего момента по текущей координате равна интенсивности распределенной нагрузки, действующей на балку в этом сечении, Из высшей математики известно, что производная от функции по текущей координате геометрически представляет собо? угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке, абсцисса которой есть точка дифференцирования следовательно, функция qx даст значения тангенса угла между касательной к графику функции поперечной силы в данной точки и осью абсцисс. Зная qx> можно судить о характере изменения поперечной силы и очертании ее эпюры. Аналогично следовательно, функция Q дает значение тангенса угла! между касательной к графику функции изгибающего момента 1з данной точке и осью абсцисс. Зная величину и знак поперечной силы в любом сечении балки, можно судить о характере изменения изгибающего момента. Знаком ©торой производной от функции по текущей коор-динате характеризуется кривизна графика функции — направление выпуклости кривой. Следовательно, на основании = = qx можно предвидеть очертание эпюры изгибающего момента. Если qx <0 (интенсивность распределенной нагрузки не совпадает с положительным направлением оси У — вертикально вверх), то эпюра изгибающего момента обращена выпуклостью вверх. Если qx>0 (интенсивность распределенной нагрузки совпадает с положительным направлением оси У — вертикально вверх), то эпюра изгибающего момента обращена выпуклостью вниз. Эти дифференциальные зависимости могут быть использованы при построении эпюр на глаз (задача 28) и для контроля правильности построения эпюр. Последнее разберем на примере ?адач 25 и 26. По задаче 25 (рис. 22, а). Произведем проверку правильности построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента с помощью дифференциальных зависимостей при изгибе. У левой опоры, на бесконечно близком от нее расстоянии, поперечная сила численно равна опорной реакции . Последняя направлена вертикально вверх, поперечная сила положительна (на основании правила знаков для поперечной силы). У правой опоры, на бесконечно близком от нее расстоянии, поперечная сила численно равна опорной реакции . Последняя направлена вертикально вверх. Поперечная сила отрицательна (на основании правила знаков для поперечной силы). По условию задачи оба грузовых участка балки свободны от внешней сплошной равномерно распределенной нагрузки; UQ л значит функция поперечной силы постоянна на каждом участке. Угловые коэффициенты касательных к эпюре поперечной силы на каждом участке равны нулю (tga = 0), следовательно, эпюра поперечной силы должна быть ограничена прямыми линиями, параллельными оси абсцисс (рис. 22, б). Эпюра поперечной силы построена верно. Проконтролируем правильность построения эпюры изгибающего момента. Па бесконечно близком расстоянии от левой опоры изгибающий момент должен быть равен нулю; у правой опоры, на бесконечно близком расстоянии от нее, изгибающий момент численно равен внешнему сосредоточенному моменту М0. Последний действует по часовой стрелке на правую часть балки, значит изгибающий момент отрицателен (на основании правила знаков для изгибающего момента). В данном случае уравнение Осправедливо для обоих участков балки, так как они свободны от распределенной нагруз ки. Из dx2- =0 следует, что эпюра изгибающего момента должна быть ограничена прямыми линиями. На первом участке балки поперечная сила положительна и постоянна значит функция изгибающего момента на этом участке возрастает. Угловой коэффициент касательной к эпюре изгибающего момента на первом участке есть величина положительная и постоянная. Эпюра изгибающего момента должна быть очерчена на этом участке наклонной прямой с угловым коэффициентом На втором участке поперечная сила отрицательна и постоянна значит, функция изгибающего момента на этом участке убывает. Угловой коэффициент касательной к эпюре изгибающего момента есть величина постоянная и отрицательная. Эпюра изгибающего момента на втором участке должна быть ограничена наКЛОННОЙ (Прямой «с. угловым коэффициентом Эпюра изгибающего момента была построена верно. По задаче 26 (рис. 23, а). Произведем проверку правильно сти построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента с помощью дифференциальных зависимостей при изгибе. На левом конце балки поперечная сила равна нулю. По \ словию задачи интенсивность равномерно распределенной нагрузки по всей длине не зависит от абсциссы х (qx = const) и направлена противоположно положительному направлению оси У, поэтому qK = Для данной балки значит функция Q убывает Угловой коэффициент касательной к эпюре поперечной силы есть величина постоянная и отрицательная (—q). Эпюра поперечной силы должна быть ограничена наклонной прямой с угловым коэффициентом На правом конце балки, у защемления, на бесконечно близком расстоянии от него, поперечная сила численно ркв_#а опорной реакции (A = ql). Последняя направлена вертикально Ьверх. Поперечная сила отрицательна (согласно правилу знаков для поперечной силы). Эпюра поперечной силы (рис. 23, б) построена верно. Переходим к эпюре изгибающего момента. У левого конца балки, на бесконечно близком от него расстоянии, изгибающий момент численно равен сосредоточенной внешней паре И0. Последний стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке. Изгибающий момент положителен (согласно правилу знаков для изгибающего момента). У правого конца балки, на бесконечно близком от защемления расстоянии, изгибающий момент численно равен опорному моменту Ма • Последний стремится повернуть правую часть балки по часовой стрелке. Изгибающий момент отрицателен (согласно правилу знаков для изгибающего момента). Из = — q следует, что эпюра изгибающего момента должна быть ограничена параболой выпуклостью вверх. По длине балки поперечная сила меняется по линейному закону от нуля до — ql. значит изгибающий момент убывает. Угловой коэффициент касательной к эпюре изгибающего момента меняется от нуля до —ql. У левого конца балки (при а*=0) поперечная сила равна лулю, следовательно, угол между касательной к эпюре изгибающего момента и осью абсцисс равен нулю¦~у- = tg р j . В этой точке (* = 0) изгибающий момент достигает экстремального значения (имеет максимум). Эпюра изгибающего момента 1 рис. 23, в) построена верно. Задача 28. Для балки, изображенной на рис. 25, а, при заданных значениях q, а построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента, пользуясь дифференциальными зависимостями и изгибе между Начнем решение задачи с определения опорных реакций. Ввиду упругой симметрии балки и симметрии нагрузки, опорные реакции равны: A—B = qa. Построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей следует начинать с левого конца балки. Балка имеет три грузовых участка. У левой опоры, на бесконечно близком от нее расстоянии, поперечная сила численно равна опорной реакции (A—qa). Последняя направлена вертикально вверх, поперечная сила положительна (на основании правила знаков-для поперечной силы). Первый участок свободен от внешней нагрузки, следовательно, поперечная сила постоянна по длине участка. Угловой коэффициент касательной к эпюре поперечной силы на первом участке равен нулю, эпюра поперечной силы на этом участке ограничена прямой линией, параллельной оси абсцисс. У правой опоры, на бесконечно близком от нее расстоянии» поперечная сила численно равна опорной реакции (B=qa). Последняя направлена вертикально вверх, поперечная сила отрицательна (на основании правила знаков для поперечной силы). Третий участок свободен от внешней нагрузки: — О, следовательно, поперечная сила постоянна по длине участка Угловой коэффициент касательной к эпюре поперечной "силы на третьем участке равен нулю, эпюра поперечной силы на этом участке ограничена прямой линией, параллельной оси абсцисс. По условию задачи на втором участке интенсивность распределенной нагрузки не зависит от абсциссы и направлена противоположно положительному направлению оси У, поэтому , следовательно, в данном случае =* Функция Q убывает. Угловой коэффициент к эпюре поперечной силы на втором участке есть величина отрицательная и постоянная, эпюра поперечной силы на этом участке балки ограничена наклонной прямой с угловым коэффициентом tga = —q. Соединим прямой две точки, имеющиеся на границах с соседними участками, и получим эпюру поперечной силы. При симметричной нагрузке эпюра поперечной силы обратно-симметрична Перейдем к построению эпюры изгибающего момента. На обеих шарнирных опорах изгибающий момент равен нулю. По \словию задачи первый и третий участки свободны от внешней / (РМ А \ нагрузки (-gry- = 0 } значит эпюра изгибающего момента на -,тп\ участках ограничена прямыми линиями. Второй участок загружен равномерно распределенной нагрузкой, направленной вниз hi юра изгибающего момента на этом участке ограничена параболой выпуклостью вверх. На первом участке поперечная сила постоянна и положительна: dM . А dM . , = const, значит функция М на этом участке возрастает. Угловой коэффициент касательной к эпюре изгибающего момента на первом участке есть величина положительная и постоянная, эпюра изгибающего момента очерчена на этом участке наклонной прямой с угловым коэффициентом \ga = qa. На третьем участке поперечная сила постоянна и отрицательна: dM . л dM lu =c°nst следовательно, функция М на этом участке убывает. Угловой коэффициент касательной к эпюре изгибающего момента на третьем участке есть величина постоянная и отрицательная, эпюра изгибающего момента очерчена наклонной прямой с угловым коэффициентом tga — —qa. На левой половине второго участка поперечная сила положительна ^ ^ » значит функция М на этой части балки возрастает. Угловой коэффициент наклона касательной к эпюре изгибающего момента меняется от qa до нуля. На правой половине второго участка балки поперечная сила отрицательна^-^