ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
Изгибом называется деформация, сопровождающаяся изменением кривизны оси стержня. Напряженно-деформированное состояние изгиба стержня вызывается парами сил, расположенными в продольных плоскостях стержня. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.
Мы будем рассматривать балки, поперечные сечения которых имеют хотя бы одну ось симметрии. Нагрузку будем считать приложенной в плоскости симметрии. В этом случае ось изогнутой балки представляет собой плоскую кривую, расположенную в плоскости действия нагрузки. Такой случай изгиба называется плоским изгибом. Изгиб происходит от сил, расположенных перпендикулярно оси балки; поэтому он называется поперечным.
В этой главе приведены примеры расчета балок, испытывающих деформацию плоского поперечного изгиба. Решаются вопросы определения размеров поперечных сечений балок, проверки прочности и жесткости, определения грузоподъемности балок. Исходными данными для решения перечисленных задач являются внутренние усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент М.
1. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩЕГО
МОМЕНТА
Задача 25. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента для балки, изображенной на рис. 22, а, при заданных величинах Р, I, М0 = PL
Решение. Расчет балки надо начинать с нахождения всеч внешних сил, действующих на балку. Заданы нагрузки Р и М0; опорные реакции неизвестны. Напомним методику их определения. Величина и направление опорных реакций определяются из рассмотрения всей балки в целом. Начало координат располагаем в центре тяжести крайнего левого сечения в точке А, ось У направляем вертикально вверх, ось X — вправо (по оси стержня), ось Z — перпендикулярно плоскости чертежа. Направлением опорных реакций задаемся произвольно. Составляем уравнения статического равновесия для балки в целом. Для плоской системы сил, не пересекающихся в одной точке, можно составить в общем случае три уравнения статического равновесия. В данной задаче следует спроектировать все силы на ось стержня и взять суммы моментов сил относительно двух точек, не лежащих на одной прямой, параллельной линиям действий внешних сил; лучше относительно точек закреплений, тогда в каждое уравнение войдет только одна неизвестная опорная реакция:
0; Нл = 0;
0; A-l-*l%P-l + M0~Q;
0; В'1-^P-l- =
Решив уравнения, получаем:
А — 4-Я; В = Л-Р.
6 Ь
Величины опорных реакций получились положительными, шачит выбранные направления соответствуют действительным.
Уравнение суммы проекций всех сил на вертикальную ось следует использовать как контроль:
v К= 0; Л + +
Уравнение удовлетворяется тождественно, следовательно, реакции определены верно.
Перейдем к составлению уравнений изгибающего момента и поперечной силы. Изгибающий момент и поперечная сила — внутренние усилия; они определяются методом сечений.
Поперечная сила Q в данном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось (У) всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.
Изгибающий момент М в данном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.
В общем случае поперечная сила и изгибающий момент меняются по длине балки. Чтобы иметь наглядное представление
об изменении Q и М по длине балки, прибегают к построению графиков, называемых эпюрам и. Ординаты эпюр представляют величины изгибающего момента и лрперечной силы в соответствующих сечениях балки. Процесс построения эпюр Q и М принципиально не сложен и сводится к составлению уравнений этих эпюр на каждом грузовом участке балки (отрезок балки, на протяжении которого закон изменения внешней нагрузки сохраняется постоянным; границами грузовых участков являются сечения, в которых закон изменения внешней нагрузки нарушается). Данная балка имеет два- грузовых участка, их границами являются опорные сечения и сечение, в котором приложена •сосредоточенная сила Р.
При составлении уравнений Q и М для каждого участка проводим произвольные сечения на расстоянии х от начала координат. Уравнения Q и М составляются с учетом правила знаков.
Первый уча ст о.к. Изме-^ мА пение абсциссы х справедливо в
пределах:
— поперечная сила на первом участке — не зависит от х, т. е. постоянна по длине участка;
— изгибающий момент на первом участке — линейно зависит от х.
Второй участок. Изменение абсциссы х справедливо в
пределах
— поперечная сила — не зависит от х, т. е. постоянна но длине участка;
изгибающий момент — линейно за-
аУ
висит от х.
Эпюры поперечной силы и изгибающего момента строятся по составленным аналитическим зависимостям; при этом положительные ординаты откладываются вверх ( в сторону положительного направления оси У), а отрицательные — вниз (рис. 22,6 и 22, в).
Задача 26. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента для балки, изображенной на рис. 23,а, при заданных 2.
Величина и направление опорных реакций определяются из рассмотрения равновесия всей балки в целом:
Составляем уравнения изгибающего момента и поперечной силы. Валка имеет один грузовой участок. По всей длине балки нагрузка распределена по одному закону. Начало координат располагаем в центре тяжести крайнего левого сечения, ось У направляем вертикально вверх, ось X — вправо.
Для составления уравнений проводим произвольное сечение на расстоянии х от начала координат.' Изменение абсциссы х справедливо в пределах. О
|