ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИИ Ниже приведены задачи, имеющие целью научить студентов находить статические моменты площадей сечения стержней, осевые и полярные моменты инерции, а также моменты сопротивления. Перечисленные геометрические характеристики сечении необходимы при вычислении напряжений и перемещений при изгибе стержней. Задача 22. Для сечения, изображенного на рис. 19, найти осевые моменты сопротивления относительно центральных осей Го и Z0 и полярный момент инерции. Р е ш е н и е. Осевой момент сопротивления W равен моменту инерции J относительно этой оси, деленному на расстояние от оси до наиболее удаленной точки сечения. Следовательно, Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей,т. е. Задача 23. Для двутаврового профиля № 40 построить эллипс инерции и найти графически осевой момент инерции относительно некоторой оси Z{ (рис. 20). Моменты инерции относительно центральных осей /0 и Z0, а также площадь сечения двутавра взять из сортамента ГОСТ 8239—56. Решение. Находим радиусы эллипса инерции но формулам Откладываем полученные значения радиусов на осях и Z0 н строим эллипс инерции. Для нахождения графическим путем осевого момента инерции JZl проведем касательную т—т к эллипсу, параллельную оси Z\, Перпендикуляр /Zl=12 сл.Тогда искомый момент инерции Задача 24. Определить главные центральные моменты инерции сечения, составленного из угольника 80Х80Х Хб мм, швеллера № 24 и листа 200X20мм (рис. 21). Решение. Начинаем с определения положения центра тяжести составного сечения. Для этого разбиваем все сечение на элементы: 1 (угольник), 2 (швеллер) и 3 (лист). Выбираем вспомогательные оси yZ, относительно которых будем определять координаты центра тяжести' всего сечения по формулам — площадь элемента сечения; Syi — статические моменты площадей ния относительно осей Z и У. Вычисления площадей и статических моментов сведем в табл. 2, воспользовавшись сортаментом для прокатной стали. ГОСТ 8240—56 - швеллеры и ГОСТ 8509—57 — равнобокие угольники. Таблица Через найденный центр тяжести проводим центральные оси YoZq параллельно осям YZ. Для удобства дальнейших расчетов проводим центральные оси Yt Zt в каждом элементе площади . Находим осевые моменты инерции УУо и Уг<1 составного сечения относительно центральных осей по формулам где J у и J г. — осевые центральные моменты инерции площадей элементов сечения Ft относительно осей, параллельных центральным осям У0 и Z0; а( и —соответственно, абсцисса и ордината центра тяжести площади элемента в координатной системе центральных осей Y0Zq. Переходим к определению центробежного момента инерции площади поперечного сечения в центральных осях YoZo, для чего используем формулу где J у lZl, — центробежный момент инерции площади элемента сечения F{ в центральных осях, параллельных осям V0Z0. Заметим, что центральные оси инерции площади поперечного сечения швеллера и прямоугольника, параллельные осям У0 и Z0, оказываются главными, поэтому Определим центробежный момент угольника в осях Y\Z\\ для этого проведем главные центральные оси угольника их и v, (ось их является осью симметрии). По сортаменту ГОСТ 8509—57 находим осевые моменты инерции: JU) = 90,4 смА\ JVi = 23,5 смА. Теперь можно подсчитать центробежный момент инерции угольника при повороте осей на угол at = —45° (поворот по часовой стрелке). Находим центробежный момент инерции всего сечения. Определим угол наклона главных центральных осей инерции U0 и V0 всего сечения к центральным осям Y0 и Z0. Тангенс этого угла находим по формуле Отсюда Так как угол a0 >0, то откладываем его от оси Z0 против часовой стрелки. Проводим главные центральные оси инерции . Так как УУЛ >0, то ось с максимальным моментом инерции (V0) проходит через квадранты II и IV. Вычислим главные моменты инерции но формуле