СРЕЗ, СМЯТИЕ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ В этой главе рассматриваются вопросы расчета конструкций, работающих в условиях среза, смятия и кручения. Расчеты на срез и смятие являются условными, ибо принимается, что напряжения равномерно распределены по площади среза (касательные напряжения) и по площади смятия (нормальные напряжения). При расчетах конструкций на кручение необходимо удовлетворить одновременно два условия — прочности и жесткости, не связанные между собой Если условие прочности связано с механическими характеристиками материала, из которого проектируется стержень, то условие жесткости назначается в зависимости от условий работы стержня, т. е. от величины деформации, допустимой в процессе его эксплуатации. Из теории кручения стержней круглого поперечного сечения известно, что условия прочности и жесткости выражаются соответственно формулами из них надо определить полярный момент полярный момент инерции Jpy так как эти величины непосредственно связаны с искомым диаметром d стержня зависимо стя ми Однако это возможно лишь в том случае, когда известна величина крутящего момента шах Мк в опасном сечении. Поэтому решение задач на кручение стержней надо, как правило, начинать с определения зтой величины Задача 16. Определить наибольшую толщину стального листа (рис. 15), в котором может быть продавлено отверстие диаметром d = 20 мм, если предел прочности на перерезывание •ze =3800 кГ/см2, а допускаемое напряжение на смятие закаленного конца стального пуансона Р с ш е н и е. Из условия прочности на смятие конца пуансона определим максимальную силу, которую можно безопасно приложить к пуансону: Теперь можно определить искомую толщину листа по формуле Задача 17. Определить размеры детали (рис. 16), работающей под нагрузкой Р—8 г, если допускаемые напряжения на растяжение, срез и смятие соответственно равны: Решение. Диаметр тонкой части стержня находим из условия прочности на растяжение Головка стержня должна быть рассчитана из условий прочности на срез и смятие. Из условия прочности на срез можно определить высоту головки t, ибо это условие имеет вид откуда Условие прочности на смятие позволяет определить диаметр головки D, так как площадь прилегания головки к опоре равна В этом случае В Документ без имени Сопротивление материалов Задача 18. Стальной вал нагружен четырьмя скручивающими парами сил Ми Мг, М3, МА (рис. 17, а). Найти величину крутящего момента в опасном сечении вала, если известно, что . Решение. Так как вал под действием четырех скручивающих пар сил должен находиться в равновесии, то для определения неизвестной пары М2 воспользуемся уравнением %МХ= — 0, откуда получим, что Теперь приступим к построению эпюры (графика) изменения крутящего момента по длине вала- Напомним, что крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов на отсеченной части. Проведя последовательно сечения на участках a, b и с вала и каждый раз рассматривая левые отсеченные части, находим числовые значения крутящих моментов: Заметим, что направление момента Mj принято за положительное. Представим полученные величины в виде эпюры на рис. 17,6, из -которой видно, что опасными являются сечения вала на участке с, где действует наибольший крутящий момент 800 кГм; его абсолютное значение войдет в расчетные формулы для определения диаметра вала. Задача 19. Подобрать диаметр стального вала, схема загружения которого показана на рис. 17, ау так чтобы наибольшие касательные напряжения в опасном сечении не превосходили [т] = 500 кГ/см2 и чтобы угол закручивания вала на 1 пог.м не выходил за предел [в] =0,25 град/м. При найденном диаметре вала вычислить полный угол закручивания. Расстояния: Решение. Выше было показано, что из условия прочности можно найти величину полярного момента сопротивления: отсюда искомый диаметр вала, необходимый для обеспечения прочности, находится из выражения Прежде чем производить подсчет диаметра вала, заметим, что [в] следует подставлять в радианах на 1 пог. см, а все остальные величины — в килограммах и сантиметрах. Модуль при кручении для стали G = 8« 105 кГ/см2. Тогда Получены два значения для диаметра вала; окончательно принимаем , так как при этом удовлетворены оба условия. Перейдем к определению полного угла закручивания вала. Под уполн понимается угол, на который повернутся крайние сечения на правом и левом концах вала относительно друг друга Найдем этот угол как сумму углов закручивания на каждом участке вала: Знак минус показывает, что правое крайнее сечение повернулось относительно левого против часовой стрелки, ибо за положительное направление было выбрано направление действия момента Mi. Задача 20. Вал диаметром d = 90 мм передает 90 л. с. Определить допустимое число оборотов вала так, чтобы касательное напряжение в поперечных сечениях вала не превосходило [т'^600 к Г \см2. Решение. В теории сопротивления материалов выведена формула, связывающая число оборотов ri вала в минуту с передающей мощностью N в лошадиных силах и моментом М на в*1Л>, выраженным в кГсм. Эта формула имеет вид п > 71 600 . Величину крутящего момента можно получить из условия прочности: Знак неравенства показывает, что нельзя задавать меньше 75 об/мин, чтобы касательное напряжение в поперечных сечениях вала не превысило значения (т]= -600 кГ/см2. Задача 21. Стальной вал (рис. 18, а) заделан обоими концами. Найти наибольшее допустимое значение скручивающей пары сил Л1о так, чтобы наибольшие касательные напряжения в любом сечении не превосходили [т] — 700 кГ/см*. Наружный и внутренний диаметры вала соответственно рав- Рис 18 ны ?> = 10 см и d— 5 см. Расстояния а— 1 м, Ь= 2 м. Решение. Если вал нагрузить парой сил М0 так, как это показано на рис. 18, а, то в сечениях у заделки возникнут реактивные моменты М[ и М<>; знание их необходимо для нахождения Л10. Для их определения прибегнем к уравнениям равновесия. Единственное уравнение *МХ =0 приведет к равенству содержащему оба опорных момента. Следовательно, задача является один раз статически неопределенной и требуется дополнительное уравнение. Найдем его, как обычно, из условия совместности деформации вала на участках а и Ь. Нетрудно видеть, что, так как оба конца вала жестко заделаны, то полный угол закручивания или Принимая во внимание, что значение крутящего момента на участках а и b соответственно равно окончательно имеем: Подставляя значение М\ в (1), находим Итак, мы выразили оба опорных момента в зависимости от искомого Мо. Так как жесткости вала на обоих участках равны, м, отношение опорных моментов определилось только соот- ношением длин участков а и Ь. Перейдем к нахождению наибольшей допустимой величины скручивающей пары М0. Из условия прочности при кручении имеем: На эпюре крхтящего момента, изображенной на рис 18, б, видно, что наибольший крутящий момент Для полого вала полярный момент сопротивления вычисляется по формуле Тогда (3) принимает вид: Окончательно получаем