АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В предыдущей главе были даны методы определения напряжений в еечениях стержня, перпендикулярных его оси. В этих сечениях действовали только нормальные напряжения. Ыо правильно оценить прочность стержня можно лишь вычислив величины наибольших нормальных и касательных напряжений, которые при сложном напряженном состоянии материала стержня могут в общем случае действовать по площадкам, не совпадающим с плоскостью поперечного сечения стержня. При этом особенно важным становится вычисление главных напряжений, входящих в выражения расчетных напряжений по различным гипотезам прочности. Указанные напряжения могут быть найдены аналитически и графически. В этой главе приведены задачи, имеющие целью научить студентов определять аналитически и графически напряжения по наклонным площадкам при линейном, плоском и объемном напряженных состояниях, а также находить главные напряжения и площадки, по которым они действуют. I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ Задача 10. Стальная полоса размерами растягивается силой Р= 12 т. Вычислить на- спряжения, действующие по площадкам, нормали к которым составляют углы а=0, 45, 90, 135 и 180° с осью полосы, а также размеры полосы после деформации. Решение. Нормальные и касательные напряжения, действующие по наклонным площадкам, находим соответственно по формулам: — напряжение в поперечном сечении, а a — угол между нормалью к площадке и осью стержня, вдоль которой действует напряжение а0. В табл. 1 приведены результаты вычисления искомых напряжений. Таблица I Значение узла Напряжения на наклонных площадка Из табл. 1 видно, что площадки, нормали которых составляют с осью пластины углы 0, 90 и 180°, являются главными, так как на них отсутствуют касательные напряжения. Нормальные напряжения на этих площадках достигают экстремальных значений: <т« — Go при а=0 и а= 180е, и аа =0 при а=90°. Определяем размеры полосы после деформации. Новая длина где абсолютное удлинение Абсолютные поперечные деформации находим, принимая коэффициент Пуассона для стали р. = 0,25, по формулам: Поперечные размеры полосы уменьшились. Задача П. Из стенки цилиндрического котла (рис. 10, а) диаметром Z)=l,5 м и рабочим давлением <7=14 кГ/см2 вырезан прямоугольный элемент, одна из сторон которого параллельна образующей цилиндра. Толщина стенок котла t~ 12 мм. Наити нормальное и касательное напряжения, действующие по плота аке, нормаль которой составляет с образующей котла угол а = 45°. Рис. 10 Решение. Определяем усилие, действующее в стенке котла и перпендикулярное оси цилиндрической части. Рассмотрим отсеченную часть (рис. 10,6). Уравнение равновесия приводит к равенству Так как Отсюда напряжение Нетрудно видеть, что 02, действующее параллельно образующей котла, равно: Напряжения на заданных площадках при а~45° вычисляются по формулам и Задача 12. В толстой стальной плите (рис. 11) сделано гнездо кубической формы с размером см. В это гнездо плотно, без зазор, вставлен стальной кубик, сжатый силой Р = 700 кГ. Считая плиту несжимаемой, определить все три глазных напряжения в кубике. Решение. Поместим в центре кубика начало координат и направим координатные оси нормально к граням кубика так, как это показано на рисунке. Найдем нормальное напряжение, направленное вдоль оси А'. Касательное напряжение на площадках, перпендикулярных оси X, равно нулю, значит эти площадки являются глазными. Найдем напряжения на боковых площадках, которые также являются главными. Для этого напишем выражения для относительных удлинений ребер кубика, параллельных осям У и Z Выражения приравнены нулю, так как деформация кубика в этих направлениях исключена (деформацией толстой плиты пренебрегаем). Получаем два уравнения, связывающие главные напряжения в трех направлениях. Решая их совместно, находим: Сравнивая полученные значения трех главных напряжений, определяем окончательно