СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ Статически неопределимыми называются конструкции, в которых для определения усилий недостаточно одних уравнений равновесия. Необходимо составить дополнительные уравнения в виде условий совместности деформаций элементов рассчитываемой конструкции. Решение подобных задач рекомендуется проводить по следующему плану: 1) составление возможных уравнений равновесия для усилий в стержнях и реакций закрепление; 2) составление дополнительных уравнений из условий деформации конструкции в целом; 3) совместное решение системы уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций с целью нахождения усилий в стержнях и реакций опор; 4) определение напряжений в элементах конструкции или поперечных размеров стержней с использованием условия прочности. Покажем на примерах методику решения статически неопределимых задач. Задача 6. Биметаллический стержень, левая часть которого является стальной, а правая — медной (рис. 5, а) заделан обоими концами при температуре ^ = 20°, через некоторое время температура достигла t2—10°. Тогда стержень нагрузили силой Определить напряжения в поперечных сечениях стальной и медной частей стержня. Размеры стержня: Решение. Определим опорные реакции, направлением которых задаемся произвольно. Составим единственно возможное уравнение равновесия 2Х = 0 для всего стержня : Найти два неизвестных из одного уравнения невозможно; следовательно, решаемая задача принадлежит к разряду статически неопределенных, для решения которых необходимо составление дополнительного уравнения Покажем на примере этой задачи метод составления недостающего уравнения. Отбросим правую заделку и дадим стержню возможность беспрепятственно удлиняться под действием нагревания и силы Р. На рис. 5, б видно, что полное перемещение Д 1погн свободного конца стержня равно сумме удлинений обеих (Д/?« и Мм) плюс удлинение стальной части стержня (Д lcm) от действия силы Р. Однако по условиям задачи полная длина стержня не может измениться, так как на правом конце стержня действует сила В. Можно себе представить, что ее действие на стержень производит деформацию стальной lcm) и медной (Д/?) его части так, что A Уравнение (4) совместности деформаций и есть недостающее уравнение. Выразим деформации, входящие в это уравнение, через силы и изменения температуры: Заметим, что если бы в условии задачи отсутствовало изменение температуры, то в уравнениях (4) и (4а) выпали бы пер вый и второй члены. Третий член уравнения обращался бь? в нуль при отсутствии силы Р. Наконец, если бы между правым концом стержня и заделкой был зазор величиною то в правой части уравнений, выражающих условие совместности деформаций, вместо нуля стояла бы величина 6, т. е. величина, на которую может измениться полная длина стержня. Из уравнения (4а) находим реакцию В, имея в виду, что коэффициенты линейного расширения стали и меди равны соответственно лет модули продольной упругости Предполагалось, что реакция В — сжимающая сила; получен положительный результат, а это значит, что предположение оказалось правильным. Находим из уравнения (1) реакцию Направление реакции А также выбрано верно. Теперь можно приступить к определению внутренних усилий и напряжений в стальной и медной частях стержня. Рассечем мысленно стальную часть стержня и рассмотрим равновесие левой отсеченной части. Нетрудно видеть, что внутреннее усилие в этом сечении Nст равно реакции Л, а напряжение (напряжение растяжения). Рассекая медную часть стержня и рассматривая равновесие правой отсеченной части, получаем NM = — В и (напряжение сжатия). Задача 7. Жесткий стержень АВ (рис. 6,а), деформацией изгиба которого пренебрегаем, оперт шарнирно в точке С и под вешен по концам на двух тягах. Найти усилия в тягах при заданных значениях размеров a, b, I, силы Р и жесткостей тяг Решение. Для определения усилий в тягах применяем метод сечений. Рассекаем обе тяги, отбрасываем их верхние части и рассматриваем равновесие узла, показанного на рис. 6,6, заменив действие отброшенной части растягивающими усилиями \\ И Л72. Составляем уравнения равновесия с учетом реакций в шарнирной опоре С Неизвестных оказывается четыре — /V2, С, Не/а уравнений всего три. Следовательно, задача статически неопределенна. Обратимся к условию совместности деформации системы. Так как стержень А В не деформируется, то под действием силы Р он только повернется вокруг точки С на некоторый малый угол, вызвав продольные деформации тяг ДЛ и Ah (рис. 6, б). Соотношение между этими деформациями запишется в виде Это и есть четвертое недостававшее уравнение. Выразим деформации через усилия в тягах: Обращаем особое внимание на знак минус в выражении деформации левой тяги; он поставлен здесь потому, что мы предположили тягу растянутой, а на рис. 6,6 она показана укоротившейся. Картина усилий предполагает растяжение стержня, картина деформации — его сжатие. В этом случае в выражение для деформации следует вводить отрицательный знак. Мы могли бы в начале решения задачи предположить усилие в левой тяге сжимающим и тогда получили бы значение А Л с положительным знаком, ибо направление усилия совпало бы с характером деформации. Но при этом пришлось бы изменить знаки перед усилием Ni в уравнениях равновесия (6) и (7). Итак, из уравнения (8) имеем Подставляя выражение для .V, в уравнение (7), получаем искомое усилие A/V- Полученные решения указывают на то, что направление усилия N2 выбрано правильно, а усилие Nх в левой тяге оказалось сжимающим. В заключение отметим, видно, что на величину усилий влияет отношение ве- личин и а не их абсолютные значения. Это имеет место в стержнях, составляющих статически неопределенные конструкции. Задача 8. При сборке стержневой системы, изображенной на рис. 7, а, выяснилось, что крайние стальные стержни выполнены в соответствии с заданными размерами, а средний медный стержень оказался короче, чем требуется, на величину 6. Определить усилия в стержнях, возникающие при попытке собрать систему. Площади сечения стер- жней одинаковы. Решение. Исходим из предположения, что систему удалось собрать, и вследствие этого -в стержнях появились усилия. Рассекаем стержни и {рассматриваем равновесие узла, заменив действие отброшенной части растягивающими усилиями, направленными Рис" 7 вдоль стержней. Для системы силы, показанной на рис. 7,6, можно составить три уравнения равновесия: Так как трех уравнений равновесия недостаточно для определения пяти неизвестных (Nu N2, Л;а, А и ЯЛ), то обращаемся к составлению условий совместности деформаций системы. На рис. 7, в пунктирными линиями показано положение стержня АВ после сборки системы. Из рисунка видно, что- Отсюда получаем первое из недостающих уравнений: Кроме того, из подобия треугольников следует, Мл а Ввиду малости деформаций можем считать, чго угол а между наклонным стержнем и горизонтальной осыо не изменился. Поэтому отрезок В этом можно заменить выражением — з случае получаем последнее недостающее уравнение в виде Теперь, решая совместно систему уравнений (14), (15) и (16), получим искомые значения усилий в стержнях. Если возникнет необходимость найти и реакции в шарнирной опоре, то надо решать всю систему уравнений Задача 9. Стальной болт ввинчен в бронзовую гайку длиной / (рис. 8,а). Найти' напряжения в поперечных сечениях болта и гайки,-если температура их изменилась на At — 100° С. Площади поперечного сечения болта и гайки соответственно равны: Решение. При нагревании резьбового соединения, состоящего из двух материалов с разными значениями коэффициента линейного расширения, в поперечных сечениях неизбежно возникают усилия, так.как один материал стремится удлиниться на величину, отличную от удлинения другого. Определим эти усилия методом сечения. Проведем поперечное сечение, отбросим нижнюю часть соединения и заменим ее действие усилиями в стальном болте {Nan) и бронзовой гайке (N6p) (рис. 8,б). Единственное уравнение равновесия, которое можно составить (2^=0), показывает лишь, что усилия равны между собой и действуют в противоположных направлениях, т. е. следовательно, задача является статически неопределенной. Условие совместности деформаций в этом случае легко определяется из того соображения, что болт и гайка жестко соединены резьбой, поэтому в пределах длины I их удлинения под действием усилий и нагревания одинаковы: или а с учетом Принимая во внимание, что модуль продольной упругости бронзы получаем числовое значение внутреннего усилия и напряжения в болте: (напряжение растяжения). То же для гайки: (напряжение сжатия).