СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ 1. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ Нормальные напряжения в поперечных сечениях прямых стержней и удлинения вычисляются соответственно по формулам где iV — внутреннее продольное усилие. Для определения внутреннего усилия в сопротивлении материалов применяется метод сечений, который сводится к четырем операциям. Следует: 1) мысленно рассечь стержень поперечным сечением; 2) одну из отсеченных частей отбросить и вычертить отдельно оставшуюся часть; 3) к поперечному сечению оставшейся части приложить продольное усилие N, выражающее действие отброшенной части; 4) составить уравнения равновесия оставшейся части стержня для определения внутреннего усилия через внешние силы, приложенные к этой части. Найдя внутренние усилия, можно приступать к определению напряжений и деформаций. Покажем на конкретных примерах использование метода сечений. Задача I.Определить напряжения в поперечных сечениях стального стержня под действием сил Р\ и Р2 при следующих данных: см2. Решение. Применим метод сечений для определения •внутреннего усилия в стержне на участке 1\. Для этого рассечем стержень на этом участке, отбросим левую часть и приложим к правой внутреннее усилие A'i так, как это показано на рис. 1, б. Определим величину Мх из уравнения равновесия . Теперь нетрудно найти напряжения в поперечных сечениях участка /¦ по формуле Разберемся в знаке полученного результата. Знак усилия (а с ним и знак напряжения) зависит от выбранного первоначально направления вектора N. Мы задались растягивающим усилием Л', и получили для него из уравнения равновесия отрицательную величину; это значит, что вектор усилия направлен в обратную сторону, т. е. усилие в стержне на участке 1\ — сжимающее. Если бы мы задались сжимающим усилием, то получили бы тог же результат, но с положительным знаком. Удобно задаваться растягивающим усилием, ибо тогда автоматически получаются знаки напряжения, принятые в сопротивлении материалов: плюс — напряжение растяжения, минус— напряжение сжатия. Определим величину внутреннего усилия и напряжения 02 в поперечных сечениях участка k. Проведем сечение на этом участке и рассмотрим правую отсеченную часть стержня . В этом случае уравнение равновесия принимает вид: , а внутреннее усилие Л'2 и напряжение найдутся по формулам Nz = (растягивающее напряжение на участке Задача 2. По условию предыдущей задачи найти полное изменение продольного размера стержня, имея в виду, что Р еш е н и е. Находим полное удлинение как алгебраическую сумму продольных деформаций каждого участка, вычисляемых по закону Гука. Продольная деформация участка стержня длиной равна: На участке 12 длина стержня изменится на величину На этом участке стержень удлинился. Полная величина продольной деформации оказывается равной Итак, в результате действия сил Р\ и Р2 стержень укоротился на 0,5 мм. Задача 3. Кронштейн, составленный из двух стальных стержней круглого поперечного сечения, должен нести нагрузку Р = 20 т, приложенную так, как это показано на рис. 2, а. Подобрать размеры поперечных сечений стержней, если допускаемое напряжение {а]=1400 кГ/см2. Длина горизонтального стержня /= 1 м, а угол между осями стержней а = 60°. Решение. Для определения размеров поперечного сечения стержня надо воспользоваться условием прочности, которое для растянутых или сжатых стержней выражается формулой Следовательно, подбору поперечного сечения стержня должно предшествовать определение внутреннего продольного усилия N, действующего в этом стержне. Находим усилия в стержнях. Для этого рассекаем стержни и рассматриваем равновесие отсеченного узла, приложив к сечениям внутренние растягивающие усилия Составим уравнения равновесия узла, находящегося под действием силы Р и продольных усилий Ni и N2: Решая систему уравнений (1) и (2), получаем значения искомых усилий: (стержень растянут); Зная усилия, находим из условия прочности необходимые величины площадей поперечного сечения так, чтобы напряжения в стержнях равнялись заданному допускаемому напряжению Площадь поперечного сечения наклонного стержня равна для горизонтального стержня Отсюда диаметры поперечных сечений наклонного и горизонтального стержней соответственно равны: Задача 4. Деревянный брус квадратного поперечного сечения со сквозным вырезом в средней трети длины имеет следующие размеры: см. Найти наибольшее значение растягивающей силы Р, которую можно приложить к брусу так, чтобы напряжения в поперечных сечениях не превышали Решение. Если приложить к концам бруса силы Р, то в любом его поперечном сечении возникнут одинаковые внутренние усилия В то же время напряжения в этих сечениях отнюдь не будут одинаковыми, так как они зависят от площади поперечного сечения и могут быть определены по формуле a = уг. Сечения, где напряжения достигают максимальной величины, называются опасными сечениями. Задача сводится к выявлению опасного сечения, нахождению в этом сечении внутреннего усилия и определению по величине усилия допустимой нагрузки, используя условие прочности. Опасное поперечное сечение находится в рассматриваемом случае в средней трети длины бруса, ослабленной вырезом. Площадь этого сечения равна: Для определения внутреннего усилия N проведем в средней части бруса сечение и рассмотрим левую отсеченную часть . Уравнение равновесия = 0 приводит нас к равенству Допустимую величину силы Р находим из условия: Заметим, что в крайних участках стержня, не ослабленных вырезом, напряжения окажутся меньше, чем допускаемые, а именно: Задача 5. Ступенчатый стальной стержень имеет размеры: Найти наибольшее напряжение в поперечном сечении стержня и перемещение сечения т — т, находящегося на расстоянии а=10 м от заделки. Решение. Найдем напряжение в верхней части стержня^ для чего проведем сечение и рассмотрим равновесие нижней отсеченной части Из уравнения равновесия ИХ — 0 следует, что внутреннее усилие в сечении равно весу отсеченной части, т. е. — объемный вес стали, равный . Нетрудно заключить, что внутреннее усилие достигает наибольшего значения в сечении у заделки при х=1\+12 и, следовательно, напряжение в этом сечении оказывается наибольшим и равным Из рис. 4, а видно, что перемещение сечения т — т равно удлинению стержня на участке а. Удлинение происходит под действием веса G части стержня, расположенной ниже сечения т — т, и собственного веса стержня на участке а. Расчетная схема показана на рис. 4, в. Вес G определяем из выражения а удлинение от него по закону Гука равно Удлинение стержня на участке а под действием собственного веса вычисляем по формуле Тогда перемещение сечения т — т, равное Ла, легко находится как сумма: