Решения к задачам математической физики
понятии корректности разностной задачи. Применительно к задачам математической физики принято говорить (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]), что задача поставлена корректно, если выполнены два условия: Аналогично определяют понятие корректности разностной задачи. Пусть уь — решение, а фл — входные данные некоторой разностной задачи. Они зависят от параметра Л (шага сетки). Меняя Л, мы получим последовательности решений {уп\ и входных данных {ф/,}. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра Л. Понятие корректности вводится для семейства разностных задач (схем) при Будем говорить, что разностная задана (схема) корректна, если при всех достаточно малых ¦ 1) решение уь разностной задачи существует и единственно для всех входных данных ф/, из некоторого допустимого семейства. 2) решение уи непрерывно зависит ог фл, причем эта зависимость равномерна относительно А. Более точно, второе условие означает, что существует такая постоянная М > 0, не зависящая от Л, что при достаточно малом ¦А¦^А0 выполняется неравенство где уп — решение задачи с входными данными - нормы иа множестве сеточных функций, заданных на сетке со/,. Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных, выраженное неравенством (47), называется устойчивостью схемы по входным данным или просто устойчивостью. Пусть дана непрерывная задача ( и пусть на сетке соЛ = со* + ул ее аппроксимирует разностная задача Задача для погрешности zh = yfl — uhy где ии — значение (проекция) решения и задачи (48) на сетке ом, имеет вид где ф/,, va — погрешности аппроксимации уравнения и дополнительного условия. Вместо (50) напишем формально Если оператор Lh линеен и разностная схема корректна, то, в силу (47), будем иметь Отсюда видно, что если схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то она сходится (обычно говорят «из аппроксимации и устойчивости следует сходимость»), причем порядок точности (скорость сходимости) схемы определяется ее порядком аппроксимации (см. А. Ф. Филиппов [1]). Из сказанного выше следует, что изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости, т. е. к получению оценок вида (51), называемых априорными оценками. Отметим, что решение zh и правая часть tyu разностной задачи оцениваются, вообще говоря, в разных нормах (являются элементами разных пространств). Ранее уже приводились примеры норм, в которых оцениваются решение и погрешность аппроксимации на сетке со/,. К сожалению, мы не можем сейчас же получить оценки устойчивости вида (51) для конкретных разностных задач. Для этого нам понадобится вспомогательный математический аппарат, а именно: формулы суммирования, разностные формулы Грина, простейшие сеточные аналоги теорем вложения. Такие минимальные средства позволят получить оценки решения разностных аналогов краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. На этом примере мы познакомимся с типичными ситуациями, которые возникают для значительно более сложных задач при изучении устойчивости, аппроксимации и точности разностных схем. 9. Решение разностных уравнений методом прогонки. Одним из наиболее употребительных способов решения разностных уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач для уравнений математической физики, является в настоящее время метод прогонки. Рассмотрим трехточечное разностное уравнение с краевыми условиями — заданные числа. Будем искать решение уравнения (52) в том же виде, в котором заданы краевые условия (53), т. е. в виде где а;дл и 6,-м — неизвестные пока коэффициенты