Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем
Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем. Использование разностных схем позволяет свести решение задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом правые части уравнений, краевые и начальные данные, которые мы будем в дальнейшем называть одним общим термином — входные данные — задаются с определенной погрешностью. В процессе самого численного решения системы также неизбежны ошибки, связанные с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущепиые во входных данных, не нарастали в процессе вычислений и не приводили к искажению решения. Схемы, которые в процессе счета усиливают начальные погрешности, именуются неустойчивыми и не могут быть использованы на практике. Прежде чем дать определение устойчивости разностной схемы но входным данным, к понятию которого мы интуитивно подошли, приведем несколько примеров. Пример 1. сетке аппроксимирует разностная задача Рассмотрим фиксированную точку а; и выберем такую последовательность шагов А, чтобы х все время оставалось узловой точкой, х = ioh. Тогда при измельчении сетки, Л —> 0, номер /о, соответствующий выбранной нами точке х> неограниченно возрастает. Вычислим значение у в этой точке В силу разложения имеем ). Из последнего равенства видно, что решение разностной задачи (45) непрерывно зависит от начальных данных. В таких случаях будем говорить, что разностная схема устойчива по начальным данным. Пример 2. Неустойчивая схема. Для задачи (44) рассмотрим схему где о> 1—числовой параметр. Так как схема трехточечная (разностное уравнение имеет второй порядок), то помимо у0, следует задать ,. При любом о схема (46) имеет, по крайней мере, первый порядок аппроксимации. Если положить — w(A)=0(A2). Частные решения разностного уравнения (46) ищем в виде yi = s\ Подставляя получим для s квадратное уравнение Общее решение уравнения (46) имеет вид Полагая и учитывая, найдем постоянные А и В: Предположим, что аА 1. Тогда получим Как и в рассмотренном выше примере, зафиксируем точку х и выберем последовательность сеток сод таких, чтобы х = t'oA. Нетрудно видеть, что Так как а> (а— 1), то при А —* 0 первое слагаемое неограниченно возрастает. Не спасает положение и выбор w0 = w0(l— аА), при котором Л = (а— 1)0(А2), поскольку функция Ипет—*оо при любом конечном показателе п > 0. Можно, наконец, выбрать й0 так, что А = 0. Для этого достаточно положить и0 = = u0-s2. Однако в процессе вычислений из-за ошибок округления, решение s\ неизбежно появляется, что приводит к неустойчивости указанного типа. При фиксированном А эта схема приводит к нарастанию решения с ростом х{ = ih. Сгущение сетки (уменьшение А) приводит к нарастанию ошибок. Малое изменение начальных данных приводит при А—* 0 к неограниченному возрастанию решения задачи в любой фиксированной точке х. Разобранные примеры позволяют сделать вывод, что понятие устойчивости по входным данным совпадает с понятием непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных при А 0.