Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов
Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Пусть дан дифференциальный оператор L, действующий на функцию Заменяя входящие в производные разностными отношениями, мы получим вместо Lv разностное выражение L/,t>/„ являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции i>/, на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном: ) или где Ah(x, с) — коэффициенты, h — шаг сетки, Ш(х) — шаблон в точке х. Такая приближенная замена Lv на Ljxvh называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацией оператора L). Изучение разностных аппроксимаций оператора L обычно проводят локально, т. е. в любой фиксированной точке х пространства. Если v(x) непрерывная функция, то vh(x) = v(x). Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора Ly необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции v(x) могут быть использованы для аппроксимации оператора L. В этом пункте рассматриваются примеры разностной аппроксимации для простейших дифференциальных операторов. Фиксируем некоторую точку х оси Ох и возьмем точки . Для аппроксимации Lv можно воспользоваться любым из следующих выражений Выражение (1) есть правая разностная производная (ее мы будем обозначать vx), а (2)—-левая разностная производная (обозначение разностные определены на двух точках (имеют двухточечные Рис.4. шаблоны соответственно, см. рис. 4). Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производной можно взять линейную комбинацию выражений (1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ где а — любое вещественное число. В частности, при а = 0, 5 получаем так называемую центральную (двухстороннюю) разностную производную ) Таким образом, оказывается, что можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих . Возникает вопрос: какую ошибку мы допускаем, используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя разность в точке х при h 0. Величина ) называется погрешностью разностной аппроксимации в точке . Разложим по формуле Тейлора (предполагая при этом, что функция —достаточно гладкая в некоторой окрестности (* ) точки — фиксированное число). Подставляя это разложение в , получим Отсюда видно, что . Пусть V — класс достаточно гладких функций y заданных в окрестности Ш) точки ху содержащей при шаблон разностного оператора Lh. Будем говорить, что Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m > 0 в точке если Таким образом, левая и правая разностные производные аппроксимируют первым порядком, а центральная разностная производная — со вторым порядком.