задача об изучении спектрального состава светового излучения (задача спектроскопии).
К уравнениям вида (В; 1,1) приводится ряд физических задач. Рассмотрим, например, задачу об изучении спектрального состава светового излучения (задача спектроскопии). Пусть наблюдаемое излучение неоднородно и распределение плотность энергии по спектру характеризуется функцией z(s), где s — частота (пли энергия). Пропуская это излучение через измерительную аппаратуру! мы получаем экспериментальный спектр и(х). Здесь х может быть частотой, а может выражаться также в терминах напряжений пли силы тока измерительной аппаратуры. Если измерительная аппаратура линейна, то функциональная связь между z(s) и и(х) дается формулой а где К(х, s) — аппаратная функция, предполагаемая известной. Она представляет экспериментальный спектр (как функция х), если на прибор падает монохроматическое излучение частоты s единичной постепенность (это есть 6-функцпя б —д:)). Здесь а и b — границы спектра. К интегральному уравнению первого рода приводится классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа, если ее решение искать в виде потенциала простого слоя. В самом деле, пусть требуется найти функцию и (М) точки Л/, удовлетворяющую уравнению Ди = 0 в конечной трехмерной области Г), принимающую заданные значения ф(Л/) на границе S области D и непрерывную в D = D + S. Будем искать такую фупкцшо в виде потенциала простого слоя (В; 1,2) в котором функция р (Р) подлежит определению. Как известно из курса уравнений математической физики*), функцией р(Р) гармоничен в D и непрерывен в D. Из последнего свойства и условий задачи следует, что для произвольной точки М границы S должно выполняться равенство Г daP = ф (Л/). (В; 1,3) а мр Из этого соотношения определяется функция р(^), подставляя которую в формулу (В; 1,2) получим искомую функцию и(М). Таким образом, задача нахождения функции и(М) сводится к решению интегрального уравнения первого рода (В; 1,3). 3. Пусть для некоторой правой части и = и\(х) функция zi(s) является решением уравнения (В; 1,1), т. е. f К (я, s) z, (s) ds == их (х). a Если вместо функции и\(х) нам известно лишь ее приближение и(х), мало отличающееся (в метрике Ь2) от Ui(x), то речь может идти лишь о нахождении приближенного к Z\(s) «решения» уравнения (В; 1,1). При этом правая часть и(х) может быть получена в эксперименте, например, с помощью самописца и иметь «угловые» точки, в которых функция и(х) не имеет производной. При такой правой части и(х) уравнение (В; 1,1) не имеет решения, понимаемого в классическом смысле, т.е. определяемого по формуле г = Л~1и, где А'1 — оператор, обратный оператору А в уравнении (В; 1,1), так как ядро К(х, s) имеет непрерывную производную по х и, следовательно, правая часть также должна иметь непрерывную производную по х. Значит, в качестве приближенного к z\(s) «решения» уравнения (В; 1,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенно известной правой частью и(х) фи\(х), так как такого решения может не существовать. Возникает принципиальный вопрос: что надо понимать под приближенным «решением» уравнения (В; 1,1) с приближенно известной правой частью? Очевидно, уравнение (В; 1,1) имеет решение, понимаемое в классическом смысле, только для таких правых частей и (х), которые принадлежат образу AF множества Кроме того, решение уравнения (В; 1,1), понимаемое в классическом смысле, т. е получаемое по правилу где А'1 — оператор, обратный оператору А в уравнении (В; 1,1), не обладает свойством устойчивости к малым изменениям «исходных дан пых» (правой части и(х)). В самом деле, функция z2(s) = z,(s) + Л7 sin cos является решением уравнения (В; 1,1) с правой частью Очевидно, что для любого числа N прп достаточно больших значениях о уклонение можно сделать сколь угодно малым, в то время как уклонение соответствующих решений Z¦(s) и zz(s) равпо п может быть сколь угодно большим. При этом мы оценивали уклонение функций Z\(s) и Z2(s) в метрике С. Если уклопеппе решений оцеппвать в метрике то решение уравнения (В; 1,1) также пеустойчпво к малым изменениям правой части и(х). Действительно, Легко видеть, что числа со ц N могут быть выбраны так, что при сколь угодно малых уклонениях правых частей и иг (я) уклонение соответствующих им ре- шений, вычисляемое по формуле (В; 1,4), может быть произвольным. Однако во многих случаях необходимо находить лишь устойчивые к малым изменениям правой части решения уравнения (В; 1,1), так как это требование связано с физической детерминированностью явления, описываемого этим уравнением, с возможностью физической интерпретации решения. В условиях, когда вместо точной правой части ит уравнения (В; 1,1) нам известны лишь некоторое ее приближение и* и число б >• О такие, что pi/(HT, Me) ^ б, то в качестве возможных приближенных решений естественно брать функции z(s) еF, для которых рс/(4г, ил) ^ б. Как мы видели, таких функций много и среди них есть такие, которые в метрике пространства F могут как угодно сильно уклоняться друг от друга. Следовательно, в этих условиях задача решения интегрального уравнения (В; 1,1) является предопределенной и неустойчивой к малым изменениям правой части. Таким образом, надо пе только дать ответ на вопрос: что понимать под приближенным «решением» уравнения (В; 1,1), по и указать такой алгоритм его построения, который обладает свойством устойчивости к малым изменениям «исходных данных» и(х). Рассмотренная па этом примере ситуация является типичной для некорректно поставленных задач. 5. Мы рассмотрели случай, когда априори извести, что существует точное решение (понимаемое в классическом смысле) zr(s) уравнения (В; 1,1), отвечающее правой части uT(s), и требуется найти приближение к нему, если вместо функции ит(х) нам известно ее приближение и(х) такое, что р^Ит, В случае, когда у пас нет информации о существовании поточного решения уравнения (В; 1,1), но имеется информация о классе возможных правых частей U, можно также ставить задачу о нахождении приближенного «решения» уравнения (В; 1,1). Но под приближенным решением понимать некоторое обобщенное решение. Определим понятие обобщенного решения (разрешения) уравнения (В; 1,1) на множестве F как достигает точной нижней границы [78, 79], т. о. pv (Az, и) =» inf pu{Az} и), XGF Ъ Az еэ f К (х, s) z (s) ds. а Очевидно, если при и = ит уравнение (В; 1,1) имеет обычное решение zr е F, то оно совпадает с обобщенным решением уравнения Az = ит. Возникает задача нахождения таких алгоритмов построения обобщенных решений, который устойчивы к малым изменениям правой части и(х). II р и м о р 2. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Az = u, (В; 1,5) гдо z — искомый вектор, и — известный вектор, А = Wi) — квадратная матрица с элементами ау. Если система (В; 1,5) вырожденная, т. о. det Л Ф ф 0, то она имеет единственное решение, коротко можно найти по известным формулам Камера шш другими способами *). Если система (В; 1,5) вырожденная, то она имеет решение (притом не единственное) лишь при выполнении условий разрешимости, состоящих из равенств нулю соответствующих предопределение. Таким образом, прежде чем решить систему (В; 1,5), надо проверить, вырожденная она или нет. Для этого требуется вычислить определитель системы detА. Если п — порядок системы, то для вычисления det А требуется выполнить около п3 операций. С какой бы точностью мы ни производили вычисления, при достаточно большом значении п, вследствие накопления ошибок вычисления, мы можем получить значение det Л, как угодно отличающееся от истинного. Поэтому желательно иметь (построить) такто алгоритмы нахождения решения системы (В; 1,5), который но требуют предварительного выяснения вынужденности пли невыраженности системы (В; 1,5). Кроме того, в практических вадачах часто правая часть и и элементы матрицы А, т. е. коэффициенты системы уравноний (В; 1,5), извостпы нам приближенно. В этих случаях вмосто системы (В; 1,5), мы имоом дело «V IV с некоторой другой системой Az=u такой, что \\А—А\\ < ^.h, ¦и — где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вмосто матрицы А матрицу А, мы тем болео не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырождонности систомы .(В; 1,5). В этих случаях о точной системе Аъ = и нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства \А — и \ и — Но систем с такими исходными данными (Л, и) босконочно много, и в рамках известного пам уровня погрешности они неразличимы. Среди таких «возможных точных систем» могут быть и вырожденные. Поскольку вместо точной системы (В; 1,5) мы имоом приближенную систему Аъ = ц, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система может быть и неразрешимой. Возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решенном систомы (В; 1,5)? Оно должно быть также устойчивым к малым изменениям исходных данных (Л, и).