ДЕЙСТВУЮЩАЯ И СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
ДЕЙСТВУЮЩАЯ И СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА О переменном токе все известно, если задано его уравнение или график. Однако в практике пользоваться уравнениями или графиками токов затруднительно. Переменный ток обычно характеризуется его действующим значением I. При изучении выпрямительных Устройств электрических машин пользуются средними значениями ЭДС, тока, напряжения. иуи определении действующей величины переменного гока можно исходить из какого-либо его действия в электрической цепи (теплового, механического взаимодействия проводов с т ками). На рис. 12.18 изображены графики двух токов: постоянног" 1 и переменного 2, причем значение постоянного тока равно амплитуде переменного. Постоянный ток, равный амплитуде неременного, выдели¦ больше теплоты в одном н том же элементе цепи за одно и то же время, так как переменный ток в течение полупериода меньше постоянного, и лишь одно мгновение эти токи равны Действующая величина переменного тока I численно равна величине постоянного тока, который в одном и том же элементе цепи за время периода Т выделяет столько же теплоты, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток. Действующая величина переменного тока / меньше амплитуды (прямая 3 на рис. 12.18). г Определим количество теплоты, выделяемой за период Т постоянным током, равным /, и переменным током / = /т sin со/ (см. рис. 12.18) в элементе цепи с сопротивлением R Г т Q = I2RT? Qnep = \i2Rdt = I2mR\ sin2 соtdt. о о Приравнивая Qno„ = Qatf>, найдем I2T=]i4t- I=JlJi2dt. (12.9) о V ' о Действующая величина периодического тока является его средней квадч ратичной за период. щ Ее можно найти из уравнения (12.9), но для наглядности воспользуемся графическим решением поставленной задачи. 1 Среднеквадратичное значение переменного тока за период можно представить в виде квадратного корня из суммы очень большого числа ординат кривой iz(t), разделенной на число ординат п: - /= Д+НБ5Н, (12.Ю) ш t где в числителе подкоренного вы- ? ражения представлена сумма квадратов ряда мгновенных токов в течение периода; п — число этих зна-Рис. 12.18 чений, стремящееся к оо. На рис. 12.19 показаны ряд положений вращающегося с угловой скоростью со вектора тока 1т и соответствующие им мгновенные токи г. Эти положения отмечены точками О, у, 2 и т. д. на окружности, которую описывает конец вектора Im. Рассмотрим два положения вектора 1т (отмечены точками 2 и 8), отстоящие по окружности на 90°, т. е. находящиеся соответственно в первой и второй четвертях окружности. Прямоугольные треугольники 6'= 2 = 2' и 6' = 8 = 8' равны, так как равны их стороны: 2 = 2' = 6' = 8' и 2' = 6' = 8 = 8'. Из этих треугольников следует: i\ + il = Im- Каждому положению вектора 1т в первой четверти соответствует другое его положение во второй, для которых можно написать аналогичное выражение. Такие рассуждения можно провести для другой полуокружности, т. е. распространить их на второй полупериод тока, причем квадраты отрицательных мгновенных токов будут положительны, поэтому «?+iI + ... + ii + ..;+i.2 = /i=. Подставляя это выражение в (12.10), получим (12.6) Таким образом, действующая величина синусоидального тока меньше его амплитуды в yj2 раза. Понятие о действующей величине можно распространить на все синусоидальные функции и, следовательно, говорить о действующей величине напряжения, ЭДС. Действующие величины тока, напряжения измеряются электроизмерительными приборами. Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств выражаются действующими величинами. Введя понятие о действующей величине, в дальнейшем векторные диаграммы будем строить для Действующих величин напряжений и токов. функции этот коэффициент равен если кривая тока или напряжения имеет более острую форму, чем синусоида, то <Ка>>/2, в противном случае Ка<^/2 (при прямоугольной форме А,= 1). Средняя величина переменного тока Средней величиной переменного тока (ЭДС, напряжения}] называется среднее арифметическое из всех мгновенных величин, за полупериод. f Средняя величина равна высоте прямоугольника с основанием п (в угловой мере), площадь которого равна площа S, ограниченной положительной полуволной тока и осью абсцисс (см. рис. 12.19), /„n — S. 1 Для определения площади 5 нужно сложить в пределах полупериода элементарные площади dS, одна из которых на рисунке показана при некотором угле ш и мгновенном значении тока i. При малом изменении угла (du>t~* 0) значение тока можно' считать постоянным, поэтому dS— id ш = Im sin (otdwt. Изменению угла на d(ot соответствует поворот на такой же угол вектора 1т, конец которого опишет дугу 2-3 длиной dl=Imd(ot, поэтому dS=dl sin oaf. Длину дуги dl можно считать равной гипотенузе прямо-^ угольного треугольника 2-3-3". Этот треугольник имеет вза-¦ имно перпендикулярные стороны с треугольником 2-6'-2', поэтому углы при вершинах 3 и 6' равны ш. Сторона 2-3" треугольника 2-3-3" равна проекции гипотенузы 2-3 на горизонтальную ось: dS=dl sin со/ = 2' = 3'. Такие же рассуждения можно привести для последующих и предыдущих изменений угла ш на с/со/. Следовательно, сумму 5 элементарных площадей dS, взятую за полупериод, можно приравнять проекции полуокружности на ее диаметр: S=2/m. Таким образом, /ся = 2/т. Средняя величина синусоидального тока /с = 2/т/я. (12.12) Средняя величина синусоидальной функции за период равна нулю, так как площади положительной и отрицательной полуволн равны. Для синусоиды L _л _ п V22L Найдем среднюю и действующую величины ЭДС, наво-[имой в прямоугольном витке (см. рис. 12.1) при вращении в равномерном магнитном поле с постоянной угловой скоростью. Для этого в формуле (12.2) обозначим: Ш = 5— площадь витка; BS=Фт — наибольшая величина магнитного потока, сцепленного с витком. Амплитуда ЭДС при наличии N витков Ет = Фт^со = 2л/УУФт. Средняя величина ЭДС ?с = 2?т/я = 4/УУФт. Действующая величина ЭДС Е=КфЕс—\,\ 1 ?с = 4,44/7УФт. (12.13) Задачи Задача 12.10. Определить действующую величину ЭДС, наводимой в прямоугольной рамке, имеющей N=10 витков, при вращении ее в равномерном магнитном поле В= 1,2 Тл с постоянной угловой скоростью а>=314 рад/с (см. рис. 12.1). Размеры рамки: ширина ?> = 20 см, активная длина одной стороны /=30 см. Решение. Начальным положением рамки будем считать положение, когда плоскость рамки перпендикулярна направлению поля (Р = 0). Магнитный поток, сцепленный с витками рамки, в этом положении наибольший: Фт = 5S = 1,2 ? 0,2 ? 0,3 = 0,072 Вб. По мере поворота рамки против движения часовой стрелки магнитный поток уменьшается и при р = 90 становится равным нулю. Уравнение магнитного потока следующее: Ф = Фтcoster, где (5 — переменный угол, определяющий положение рамки относительно плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Средняя ЭДС ?С = 4^У/Фт=4 • 10 ? 50 0,072= 144 В. Действующая величина ЭДС E=K^EC = 1,11 144=160 В. Дополнительные вопросы к задаче 1. Доказать, что ЭДС, наводимая в витках рамки, отстает от магнитного потока по фазе на 90°, как показано на рис. 12.20. Какое положение рамки в этом случае принято за начальное? 2. Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС пропорциональна скорости изменения потока. Как выражена зависимость ЭДС от скорости изменения потока в формуле (12.13)? Задача 12.11. Построить график ЭДС, возникающей в секции обмотки, состоящей из 50 витков, если сцепленный с ними поток изменяется по закону Ф = 0,04 cos 942л Задача 12.12. Определить показания вольтметров в схеме на рис. 12.21 если магнитный поток в сердечнике трансформатора изменяется по закону синуса, причем при площади сердечника 5=50 см2 наибольшее значени магнитной индукции составлет 0,95 Тл. Число витков обмоток: JV, = 6 ЛГ2 = 300. Частота тока в первичной обмотке /=50 Гц.