ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ
ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ
До сих пор величины, изменяющиеся по синусоидальному закону, задавали уравнениями и изображали графиками в прямоугольной системе координат. При расчете электрических цепей переменного тока пользуются весьма простым и наглядным способом графического изображения синусоидальных величин при помощи вращающихся векторов. »
Обоснование векторной диаграммы
Предположим, что ток задан уравнением i=Im sin (to/+v¦/).
Проведем две взаимно перпендикулярные оси и из точки пересечения осей проведем вектор I, длина которого в определенном масштабе Mf выражает амплитуду тока 1т\
I т = 1т!Мг
Направление вектора выберем так, чтобы с положительным направлением горизонтальной оси вектор составлял угол, равный начальной фазе v¦/ (рис. 12.10).
Проекция этого вектора на вертикальную ось определяет мгновенный ток в начальный момент времени: j0 = /msin\¦j.
Представим себе, что вектор 1т вращается против движения часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте со. Его положение в любой момент времени определяется углом ш/ + \¦/.
Тогда мгновенный ток для произвольного момента времени t можно определить проекцией вектора Im на вертикальную ось в этот момент времени.
Например, для t = tt
h = /msin(co/1 +v¦/),
в общем случае
/=/msin(cof + \¦/).
Получили такое же уравнение, каким был задан переменны; ток, что свидетельствует о возможности изображения гока вращающимся вектором при нанесении его на чертеж в начальном положении.
Построение векторной диаграммы
Вращая вектор Im против движения часовой стрелки, в прямоугольной системе координат построим график изменения проекции его на вертикальную ось в пределах одного оборота (одного периода). Получим известный уже график синусоидальной функции, соответствующий заданному уравнению.
При построении векторов положительные углы отсчитывают от положительного направления горизонтальной оси против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по ее движению.
В процессе расчета электрической цепи определяется ряд синусоидальных величин. Все их можно изобразить на одном чертеже при помощи вращающихся векторов, привязав к одной паре взаимно перпендикулярных осей.
Совокупность векторов, изображающих на одном чертеже несколько синусоидальных величин одинаковой частоты в начальный момент времени' называется векторной диаграммой. Например, напряжение и ток в электрической цени выражаются уравнениями
и= 125 sin (ю/4 30°);
/ = 12 sin (oof —20°).
Векторная диаграмма такой цепи изображена на рис. 12.11. Если выбрать масштабы напряжения и тока
Ми = 50 В/см; Л/, = 4 А/см,
то
Vm = UJMu= 125/50 = 2,5 см; Im = /m/M, = 12/4=3 см. поэтому они вращаются с одинаковой частотой и их взаимное распо-л0)кение не меняется.
Начало отсчета времени выбирают произвольно, поэтому один из векторов диаграммы можно направить произвольно; оСтальные же нужно располагать с учетом сдвига фаз по отношению к первому или предыдущему вектору.
Сложение и вычитание векторов
Простота и наглядность векторных диаграмм — не единственное и не главное достоинство способа изображения синусоидальных величин.
Требуется сложить, например, два тока, заданных уравнениями
/', = Л т sin (соt + v^); /2 = I2m sin (со/ - v¦/2).
Выражение суммы
i = i'i +i2 = hm sin (со/ + v¦/i)+ /2m sin (cor - v¦/2)
оказывается громоздким, из него не видны амплитуда и начальная фаза результирующего тока.
Можно графически сложить два заданных тока, построив их в одной системе координат и для ряда аргументов, найдя сумму двух ординат. Через полученные точки проведем кривую суммы, увидим, что эта кривая тоже синусоида с таким же периодом, как и слагаемые. По кривой общего тока можно найти амплитуду и начальную фазу. Громоздкость и неудобство такого сложения очевидны.
Очень просто сложение и вычитание синусоидальных величин осуществляется по правилам сложения и вычитания векторов.
Сложим два заданных гока и /2 по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого изобразим токи в виде векторов из общего начала О. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах
Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.
Вектор 1„, проведенный из начала первого вектора в конец последнего* представляет собой сумму всех векторов (рис. 12.12,6).
Вычитание одного вектора из другого выполняют сложением прямого вектора (уменьшаемого) с вычитаемым вектором, повернутым на 180° (рис. 12.13).
Im = Ilm — l2m = Ilm + ( —Ьт)-При сложении синусоидальных величин в отдельных случаях можно применить аналитическое решение применительн к рис. 12.12, а—по теореме косинусов; к рис. 12.14; а—сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.
Задачи
Задача 12.7. Два тока заданы уравнениями
|