Выражение энергии через характеристики электрического поля
Выражение энергии через характеристики электрического поля Электрическое и магнитное поля обладают энергией, которая I капливается при образовании заряда в электрической системе образовании тока в электромагнитной системе. В данной ?лаве получены количественные выражения энергии электрического ? магнитного полей, а также электрических и магнитных сил. ? § 11.1. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ При зарядке конденсатора энергия запасается в виде энергии электрического поля и может быть возвращена источнику при Преобразовании в другой вид энергии. Выражение энергии через характеристики конденсатора Заряд конденсатора образуется переносом заряженных ча-иц с одной обкладки на другую под действием внешнего источника энергии. Работа, совершенная при переносе единицы заряда, численно равна напряжению между обкладками. I Если бы напряжение в процессе зарядки не изменялось, то энергию можно было бы определить произведением напряжения и заряда [см. формулу (1.5)]. Однако в процессе накопления заряда растет и напряжение, поэтому при определении энергии, ютраченной на образование заряда, нужно учесть зависимость ?ежду напряжением и зарядом (7.28). Если емкость конденсатора— величина постоянная, зависимость между напряжением и зарядом графически выражается прямой линией (рис. 11.1). I Предположим, что заряд Qx увеличился на dQ — величину столь малую, что в пределах изменения заряда напряжение можно Ритать неизменным: Гс = Uc\ {dUc-+0). Тогда работа, ?"Полненная при увеличении заряда ? "6. определяется произведением dW3=UcldQ. (11.1) 1с¦з ia гРафике (рис. 11.1) она по-пГ0¦;^заштрихованным элементом I. Q' ___/ '3 У г У' заряда от 0 до Q и напряжения от 0 до Uc = t/, где С/—напряжение на зажимах источника энергии. Нетрудно заметить, что работа и равная ей энергия электрического поля конденсатора определяются площадью прямоугольного треугольника, катетами которого являются Q и U: W3=UQj 2. Формулу (11.2) можно представить в другом виде, если' вместо Q и U подставить их выражения из (7.28), тогда (11.2i W, = CU2! 2, W3 = Q2/2C. (11.3)1 (11.4) или Выражение энергии через характеристики электрического поля Выражение (11.2) получено на основе закона сохранения энергии; однако из него непосредственно не следует, что; энергия fV3 является энергией электрического поля. Можно! показать, что эта энергия распределена в электрическом поле. Для примера рассмотрим равномерное электрическое поле плоского конденсатора (см. рис. 1.6, а). Поток вектора электрического смещения через любую] поверхность, проведенную в диэлектрике параллельно пластинам, равен заряду Q конденсатора, что следует из формулы (7.33): DS=Q. Напряженность равномерного электрического поля E=U/l. Следовательно, W3 ——=~DESl=~ DEV, 3 2 2 2 где К—объем диэлектрика, в котором распределено поле, связанное с заряженными пластинами конденсатора. Отношение энергии к объему диэлектрика дает объемную плотность энергии электрического поля w3 = WJV=]-DE. Энергия, определенная формулой (11.2) через характеристики ] проводников, выражена также формулой (11.5) через характеристики электрического поля. Эквивалентность этих формул свидетельствует о том, что энергия системы заряженных тел является энергией электрического поля. Задана 11.1. Плоский воздушный конденсатор емкостью 600 пФ при расстоянии межДУ электродами 2 см заряжен до напряжения U=4 кВ и отключен от источника напряжения. Определить изменение энерг ии и напряженности электрического поля конденсатора при уменьшении расстояния между электродами вдвое. Решение. До изменения расстояния между обкладками энергия электрического поля по формуле (11.3) CiU\ 600 ? 10"12 -40002 ?=---=48 -10 4 Дж. Напряженность электрического поля [см. (1.5)] ?„= СЛ/Л =4000/0,02 = 2 ? 10® В/м. При уменьшении расстояния между обкладками вдвое заряд конденсатора не изменяется (предполагается, что утечки заряда нет). Вследствие увеличения емкости конденсатора напряжение между обкладками уменьшится во столько же раз [см. формулу (7.28)]: U^Q/C^UJ2 = 2 кВ. Энергия электрического поля C2U\ 1200 • 10~12 20002 -J-= 24'10 ДЖ' Напряженность электрического поля Ег = U2/l= 2000/0,01 = 2 • 105 В/м. Задача 11.2. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между электродами /=0,5 см и площадью обкладок 5=3600 см2 заряжен до напряжения U= 5 кВ и отключен от источника напряжения. Определить изменение энергии и напряженность электрического поля конденсатора, если расстояние между обкладками увеличить до 0,6 см. Задача 11.3. Определить площадь обкладки и расстояние между обкладками плоского конденсатора, который должен иметь емкость 5000 мкФ и двукратный запас электрической прочности, если изоляцию предполагается выполнить из бумаги (ег=3,14; ?„р= 10 кВ/мм), а рабочее напряжение конденсатора составляет 10 кВ. Задача 11.4. Между обкладками плоского воздушного конденсатора напряжение 70 кВ. Определить напряженность электрического поля в диэлектрике конденсатора и запас прочности, если расстояние между электродами равно 2,5 см, а электрическая прочность воздуха ?„р = 30 кВ/см. Во сколько раз изменяется емкость конденсатора и запас прочности, если, не отключая конденсатора от источника напряжения, между обкладками ввести лист картона (ег=4; ?„р= 120 кВ/см) толщиной 5 мм, расположив его параллельно обкладкам? Возможна ли нормальная работа конденсатора в условиях, указанных в задаче, до и после введения картона между обкладками? Ответить на этот же вопрос при условии, что лист картона введен между обкладками после отключения конденсатора от источника напряжения. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Вопрос о механических силах в электрическом поле рассмотрим на примере плоского конденсатора, заряженного от внешнего источника энергии, имеющего напряжение U. Электрическое поле конденсатора будем полагать равномерным. Силы F3, возникающие вследствие взаимодействия пластин с электрическим полем, приложены к пластинам и направлены так, что они притягиваются. Предположим, что одна из пластин конденсатора свободна, и возможное малое перемещение ее под действием силы F3 обозначим через dx (рис. 11.2). В дальнейших рассуждениях будем исходить из того, что при изменении заряда конденсатора не возникает потерь энергии в проводниках в связи с перемещением заряженных частиц и в диэлектрике вследствие изменения напряженности поля. При таких условиях в соответствии с законом сохранения энергии при изменении заряда конденсатора на dQ за счет энергии внешнего источника изменяется энергия электрического поля на d\V3 и совершается механическая работа F3 dx: UdQ—dW3+F3 dx. (11.7) Обобщенное выражение электрической силы (первый случай) Заряд конденсатора остается неизменным (Q — const), т. е. заряженный конденсатор отключен от внешнего источника энергии. При dQ = 0 работа внешнего источника UdQ — 0. Поэтому dW3 + F3dx = 0 или F3dx=-dW3. Последнее равенство показывает, что механическая работа, связанная с перемещением пластины, совершается за счет энергии электрического поля. Действительно, механическая работа, совершаемая электрической силой, положительна (F3dx>0), следовательно, изменение энергии электрического поля отрицательно (dW3<0). Это значит, что энергия электрического поля в данном случае уменьшается. Механическую силу, стремящуюся изменить положение пластины конденсатора, можно выразить отношением А F. F, F3 = ^ (при e = const). (11.8) ах Рассуждая аналогично, можно получить зависимость между механическим моментом и углом поворота а, если механическое движение осуществляется в виде вращения одной пластины по отношению к другой: увеличивается, а напряжение между пластинами уменьшается, что непосредственно следует из формулы (7.28). Предположим, что расстояние между пластинами увеличивается благодаря действию на пластины внешних механических сил. Энергия в системе возрастает на величину работы, совершенной внешним источником механической энергии. При >том емкость конденсатора уменьшится, а напряжение между пластинами увеличится. Обобщенное выражение электрической силы (второй случай) Напряжение между пластинами остается постоянным (?/=const), т. е. во время движения пластины конденсатор не отключается от внешнего источника энергии. При уменьшении расстояния между пластинами увеличивается емкость конденсатора, что при неизменном напряжении влечет за собой увеличение заряда. Внешний источник энергии должен затратить энергию на увеличение заряда конденсатора в количестве UdQ. Изменение энергии электрического поля dW3 при изменении заряда, согласно формуле (11.2), dW3 = ^UdQ, т.е. составляет половину энергии внешнего источника, израсходованной при увеличении заряда конденсатора. Вторая половина энергии расходуется на покрытие механической работы F3dx, следовательно, dW3 — F3dx (при U=const). Отсюда Fo=dJT- (П.Ю) ах Аналогично, при вращательном движении (11.11) da Увеличение расстояния между пластинами в результате действия внешних механических сил приведет к уменьшению емкости. Но при постоянном напряжении за уменьшением емкости последуют уменьшение заряда конденсатора и уменьшение энергии электрического поля. В этом -случае механическая работа, связанная с перемещением пластины, совершается внешними механическими силами. Величина этой работы численно равна уменьшению энергии электрического поля. Таким образом, источнику электрической энергии возвращается энергия, численно равная удвоенному значению механической работы. Mia-u ил гасстояние между двумя точечными заряженными тела», в масле (е =2,25) составляет 20 см. На каком расстоянии должны находить те же Tej/a в воздухе, чтобы сила взаимодействия между ними сохрани свою величину? Задача 11.6. По данным условия задачи 11.1 определить энергию и на пряженность электрического поля, если конденсатор не отключается от] источника заряда. Задача 11.7. По данным условия задачи 11.2 определить энергию и на пряженность электрического поля, если конденсатор не отключается источника заряда.