РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ Связь тока с его магнитным полем ранее выражена) формулой закона Био—Савара, который можно применят! для определения основных характеристик магнитного пол^ в любом случае. Подобные задачи решаются более просто на основе понятий о циркуляции вектора магнитной индукци и полном токе. Циркуляция вектора магнитной индукции и полный ток Для выяснения смысла этих понятий в магнитном поле системы токов выберем произвольный замкнутый конту (рис. 8.13). В каждой точке этого контура вектор магнитной индукции В может иметь любое направление. Обозначик через В, проекцию этого вектора на направление элемента длины dl около выбранной точки контура. Выражение jBtdl, взятое по всему замкнутому контуру, называют циркуляцией вектора магнитной индукции по данному контуру. Алгебраическую сумму токов Е/, пронизывающих поверх - ность, ограниченную контуром, называют полным током. На основе закона Био — Савара можно доказать, что циркуляция вектора магнитной мкнутому контуру пропорциональна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 8.13):полным током является магнитная постоянная ц0. При составлении уравнения (8.8) для конкретного случая знак произведения Btdl берегся положительным, если в данной 1 очке направление В, совпадает с направлением обхода контура; знак тока принимается положительным, если направление пиний индукции магнитного поля данного тока, определенное по правилу буравчика, совпадает с направлением обхода. Выражение j,B,dl можно представить алгебраической суммой произведений B,dl, составленной из бесконечно большого числа слагаемых. Для рис. 8.13 Bndl1+... + Bl2dl2 + ... + Blkdlt+...={li-I2 + I3)Vi0. Если выбрать контур, совпадающий с линией магнитной индукции, то вместо проекции вектора магнитной индукции В, в формулу (8.8) можно подставить полную его величину В. В отдельных случаях магнитное поле обладает симметрией, при которой магнитная индукция во всех точках такого контура имеет одинаковое значение. Для этих случаев формула (8.8) имеет более простое выражение. В, — В вынесем за знак суммы B$dl=\i0I.I, где §dl=l—длина контура; тогда 5/=ц0Е/. (8.9) Формула (8.8) справедлива для магнитного поля, созданного замкнутыми токами. Ее нельзя применить для определения составляющей магнитной индукции поля, образуемого током на участке провода конечной длины, как это сделано при выводе формулы (8.7) на основании закона Био —Савара. Поле прямого тока Наметим на произвольном расстоянии а от оси провода точку А (рис. 8.14, а) и проведем через нее замкнутый контур, совпадающий с линией магнитной индукции. Как известно, эта линия — окружность с центром на оси провода. Все точки контура находятся на одинаковом расстоянии от оси провода, поэтому магнитная индукция поля в них имеет одинаковую величину. Согласно формуле (8.8), закона Био — Савара [см формулу (8.7)] при otj и ос2 равных нулю. Для определения магнит* ной индукции поля внутри провода выберем произволь ный контур радиуса г и будем полагать плотность тока во всех точках сечения провода одинаковой и равной J=I/(nr2o), где г0 — радиус провода. Полный ток, пронизывающий часть сечения, ограниченную выбранным контуром, имеет величину I/=ynr2 = /r2/rg; B2nr = \i0 Г о отсюда а) Рис. 8.14 .fo Ir 2кгд' (8.11) В- На рис. 8.14, б показан график изменения магнитной индукции внутри и вне линейного провода большой протяженности, построенный по формулам (8.10) и (8.11). Поле тока кольцевой катушки Выберем замкнутый контур, совпадающий с линией магнитной индукции в центре сечения сердечника (см. рис. 8.6). Предполагая намотку витков равномерной, по соображениям симметрии применим формулу (8.9). Поверхность, ограниченная выбранным контуром, пронизывается током I столько раз, сколько витков 1V имеет катушка, поэтому В2пг = ц0Ш- магнитная индукция (8.12) В = Но/* 2л г ' Эта формула пригодна для определения магнитной индук-i ции и в других точках, расположенных внутри катушки дальше или ближе к центру, если .в них подставить соответствующий радиус. при бесконечной ее протяженности все точки на любой линии, „араллельной оси, находятся в одинаковых условиях (рис. 8.15). Магнитная индукция поля внутри катушки во всех точках этой линии одинакова и направлена вдоль оси катушки. Вне катушки магнитного поля нет. Выделим замкнутый контур а-б-в-г прямоугольной формы й применим к нему формулу (8.8). При обходе контура нужно учитывать, что на участке б-в поля нет (6 = 0); на участках а-б и в-г вне катушки поля нет, а внутри катушки магнитная индукция направлена перпендикулярно направлению обхода, поэтому проекция вектора В на направление обхода равна нулю. На участке г-а Bt = B. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции имеет величину Полный ток контура а-б-в-г 11= IN, где N—число витков, уложенных на участке длиной /. Согласно выражению (8.9), Bl=\i0IN\ B=\i0IN/l. (8.13) Из этой формулы следует, что магнитное поле внутри бесконечно длинной катушки равномерно. Формулу (8.13) можно применить, допуская некоторую погрешность, для определения магнитной индукции цилиндрической катушки конечной длины /., если она значительно больше диаметра витка (lK>>D): B=\i0IN/!,. (8.14) Применение закона Био — Савара к цилиндрической катушке конечной длины дает для определения В в любой точке М на оси катушки выражение называется намагничивающей силой. В практике! величину называют также ампер-витками. Задачи Задача 8.7. В обмотке цилиндрической катушки, имеющей длину /= диаметр витка D—4 см. число витков N= 500, ток 1=20 А, оп— индукцию магнитного поля на оси катушки по формулам (8.14) и (8.if) точках: а) разноудаленной от краев катушки; б) на краю катушки. В случаях подсчитать погрешность расчета по приближенной формуле Задача 8.8. На кольцевой сердечник из неферромагнитного матер диаметр которого по средней линии ?>=20 см, намотаны две обмотки с «г витков (V, = 800 и N2 = 300. Определить магнитную индукцию в центре сердечника при согласном и встречном включении обмоток и токе в них / _ Задача 8.9. Построить график магнитной индукции поля прямолинейв медного провода. Диаметр провода d= 10 мм. Постоянный ток в пот /=200 А.