ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ Связь уединенного проводника, имеющего электрический заряд Q, с собственным электрическим полем характеризуется величиной заряда. В этом иоле поверхность проводника является поверхностью равного потенциала V; такой же потенциал имеют все точки в объеме проводника, поэтому можно говорить о потенциале проводника. При увеличении или уменьшении заряда совершается работа и энергетическая характеристика (потенциал) проводника соответственно увеличивается или уменьшается. Однако при равном изменении зарядов двух проводников, из которых уединен, изменения их потенциалов могут поверхности, а также среда, в которую проводник поме Для выражения этого влияния введено понятие электрик емкости уединенного проводника С (см. § 1.2). Общее выражение емкости Электрическая емкость проводника есть величина, характеризующая ность проводника накапливать электрический заряд, численно равная отн заряда проводника к его потенциалу: (7.27 Связь потенциала и заряда проводника в данном случа выражена в предположении, что все другие проводники бесконе^ но удалены, а потенциал бесконечно удаленной точки равен нул^ В вакууме это отношение для данного проводника остаетс' неизменным независимо от величины заряда. Во многи> диэлектриках, используемых в практике, емкость проводник; тоже постоянна в широких пределах изменения заряда. / Единица емкости [С ] = кулон/вольт = фарад (Ф). Фарад —очень крупная единица емкости, поэтому в прак тических расчетах часто выражают емкость в долях фарада— микрофарадах (мкФ) и пикофарадах (пФ): 1Ф = 106 мкФ = = 1012 пФ. В системе заряженных проводников на заряд и потенциал каждого проводника влияют форма, расположение и величина зарядов других проводников. В этом случае применяется понятие о емкости системы проводников, например о емкости конденсатора (см. § 1.2). Проводники конденсатора, имея равные по величине, но противоположные по знаку заряды (см. рис. 1.6, а), имеют разные потенциалы У1 и V2. Следовательно, между проводниками имеется напряжение U=V1 — V2- Тогда C=QI(Vl-V2)=QIUl.2. (7-28) Т. е., емкость электрического конденсатора характеризуется величиной заряда, который нужно сообщить одному из проводников конденсатора, чтобы напряжение между заряженными проводниками изменилось на единицу. Емкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, расстояния и свойств среды между обкладками- Проводимость диэлектриков, используемых для заполнен» пространства между обкладками конденсатора, ничтожно маЛ. Поэтому конденсаторы могут служить для накопления и с хранения электрического поля и его энергии. тся Две плоскопараллельные металлические пластины 1.6 ,а): (cN , ычно расстояние между пластинами мало по сравнению I 'линейными размерами, поэтому электрическое поле с и*0го конденсатора можно считать равномерным. НДРS я определения емкости воспользуемся формулой (7.12), ? Порой электрическую постоянную е0 заменим диэлект- 0 чкеск0Й проницаемостью еа диэлектрика. С учетом формулы f!% получим ?=а/еа =С///. 1 умножим обе части равенства на 5—площадь одной пластины a5/ea=C/S//=6/ea. Емкость плоского конденсатора C=Q/U—eaS/l. Емкость цилиндрического конденсатора Обкладками цилиндрического конденсатора служат две шндрические поверхности, оси которых совпадают (рис. 7.11). Электрическое поле неравномерное, но имеет радиальную симметрию. Полагая и в этом случае расстояние между обкладками Аалым по сравнению с длиной конденсатора, т. е. пренебрегая искажением поля у его краев, для определения емкости используем выводы § 7.2 [см. формулу (7.14)]. Обозначим падиусы обкладок: внутренней — г15 внешней — г2; потенци-I алы — У1 и У2. Потенциал внутренней обкладки Ух можно <айти, если к потенциалу У2 прибавить работу по перемещению заряженных частиц между обкладками конденсатора, отнесению к единице заряда. Напряженность электрического поля на пути между об-надками не постоянна, поэтому работу определим как сумму работ на элементарных участках пути столь малых, что в пределах таких частков напряженность поля можно уИтать постоянной: Емкость цилиндрического конденсатора с=—= 2яеа/ и г, In ri Емкость двухпроводной линии Определим емкость двухпроводной линии, у которой радиус! проводов г0, расстояние между осями проводов а, длина! проводов /, напряжение между проводами u, а заряд этой¦ системы проводов q (рис. 7.12). При a»r0 будем полагать, что заряд каждого провода! распределен равномерно по его поверхности. Это значит, что¦ взаимное влияние проводов на распределение зарядов i поверхности не учитывается. Для определения разности потенциалов между проводал воспользуемся формулой (7.14). В некоторой точке а, находящейся между проводами в плоскости, проведенной чере их оси, напряженность поля: первого провода 2ш1 е, Е - Q 2 2я (a-r)lzj Заряды проводов имеют противоположные знаки, поэтом)! между проводами векторы Е, и Е2 направлены в одну¦ сторону. Общая напряженность пол)! в точке А e=ey+e2 = 2 я/е„ (7.30) второго провода г a—г и Рис. 7.12 Напряженность поля зависит от рас-; стояния г, поэтому напряжение меж; проводами Емкость двухпроводной линии (7.31) Задачи Задача 7.8. Определить емкость и заряд плоского воздушного конденсатора, у которого площадь обкладки 5= 100 см2, расстояние между обкладками /=5 мм, напряжение между обкладками U = 100 В. Решение. с=^=8,85-10-» 1 100 10-^ _12 I 5-Ю"3 Q= CU= 17,7 10~12 100= 17,7? Ю-10 Кл. Задача 7.9. Определить емкость цилиндрического воздушного конденсатора, имеющего радиусы обкладок г1 =40 мм; гг = 50 мм и длину /=0,5 м. Решение. С=2^=2Я 10-М 0,5= 10-9 ф г2 50 In— 36я1п — г, 40 Задача 7.10. Как изменится емкость плоского конденсатора задачи 7.8, если расстояние между обкладками уменьшить в два раза (т. е. сделать 1=2,5 мм)? Как это изменение повлияет на допустимое рабочее напряжение конденсатора? Задача 7.11. Как изменится емкость плоского конденсатора, если площадь обкладок S увеличить в 10 раз (т. е. 5=100 см2)? Для каких конденсаторов (воздушных, слюдяных, бумажных) это изменение вызовет значительное, а для каких незначительное изменение размеров конденсатора?