РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В рабочем состоянии электрических устройств и устан между токоведущими частями имеется разность потенци т. е. существует электрическое поле. Кроме основного (разрешенного) канала тока имеется ленное множество потенциальных каналов, которые закрыты ; трической изоляцией. Таким образом, электрическая изоляция : дится под действием электрического поля и должна быть рас тана на то, чтобы надежно выполнять свои функции. Для ря необходимо определить характеристики электрического поля.! Эти и другие вопросы, относящиеся к электрическ полю, рассматриваются в данной главе. §7.1. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КУЛОНА ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Расчет электрических полей на основе закона Кулона применяется в тех случаях, когда электрические заряды -Ж можно рассматривать сосредоточенными в весьма малом объеме, т. е. полагать заряженные тела точечными. Электрическое поле уединенного заряженного тела ) Из закона Кулона следует, что напряженность электрик кого поля уединенного точечного заряженного тела e-f> Q Qo 4KE0rZ ' где Q — величина заряда тела; Q0 — заряд пробного ге. г—расстояние от заряженного тела до точки, в кото определяется напряженность поля. Электрическое поле уединенного точечного заряженного тела неравномерно. Найдем потенциал поля в некоторой точ# 1 (см. рис. 7.3), используя выражение (1.3), с помощью котор' выразим работу в поле на пути от некоторой точки 1 бесконечности: Jr 4ле0, г 4 ле0г, где т 1 — расстояние от заряженного тела до точки 1. Положение точки j выбрано произвольно, поэтому получеф ное выражение можно записать для любой точки ^ _ Q жДУ напряженностью электрического поля и потенциалом оторой точке имеется определенная связь, которую 0 fl-M в общем виде, выражения (1.3) следует: dA=-Q0E„dl, — = dV= —E„dl. Qo 1 днаК минус в этих выражениях указывает на то, что ? ия убывает, если перемещение происходит в направлении Напряженности поля. ? Отсюда Еп= ~(dV)/(dt), (7.3) Bi—величина проекции вектора Е на направление dl. Электрическое поле группы заряженных тел I При рассмотрении электрического поля в вакууме (а также в воздухе) установили, что напряженность поля линейно зависит от заряда тела [в выражении (7.1) 2 = const]- Поэтому при определении напряженности результирующего поля от действия нескольких заряженных тел можно пользоваться финципом наложения полей. I В каждой точке пространства, окружающего заряженные тела, электрическое поле одного тела накладывается на поле другого. 1 Для определения общей напряженности нужно найти величину и направление вектора напряженности каждого из составляющих полей, а затем сложить векторы: Е = Е1 + Е2 + ... + Е„. (7.4) Е Принцип наложения действителен и при определении потенциала в некоторой точке результирующего поля. Но потенциалы складываются алгебраически, так как они скалярные величины: + + (7.5) 4яе0Г1 4 пе0г2 Задачи и q !', Ц¦',а 7.1. Два точечных тела, заряды которых g, =3,2- 10"" Кл ?jog —4,267-10"11 Кл расположены в воздухе в противоположных вершинах »*ПряжЖаеМОГО пРямоУгольника со сторонами 6 и 8 см (рис. 7.1). Определить Г ш,°сть и потенциал в двух других вершинах и в точках 5, б, 7, 8.о заряженного т дельности по формуле (7.1), напряженность буквой Е с к Первая цифра индекса указыва ким заряженным телом связа вторая—точку, где о п редел -пряженность этого поля. В точке 3 4nrf.jE0 3,2-10-" = 80 В/ 1 4л • 0,Об2 4тс9 • 10е По формуле (7.2): Н13 = 4,8 В; Чг Q, 4лг13е0 4,267 10"11 - = 60 В/м; 1 4л-0,08 4я9•109 К2.з = 4,8 В. Согласно принципу наложения, общую напряженность поля геометрическим (векторным) сложением составляющих. По условию задачи векторы Е1Э и Е2.3 направлены под углом 90 к другу. Поэтому напряженность результирующего поля можно подсч' как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого явл эти векторы: ?,3 = n/eJ з + Е2 з = ч/802 + 602= 100 В/м; К3 = К13 + К2.з=9,6 В. В общем случае определение напряженности результирующего поля м выполнить графически, по правилам векторного сложения или по тео косинусов. В точке 5 ТЕОРЕМА ГАУССА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В практике чаще встречаются случаи, когда заряд тела пределен по его поверхности с некоторой плотностью, таких случаях задачи решаются более просто на основе эремы Гаусса. 1 Поток вектора напряженности электрического поля Рассматривая электрическое поле, изображенное на рис. 7.3, рлим элемент поверхности площадью dS. Он представляет эй маленькую часть сферы радиусом г, в центре которой ?шено точечное тело с положительным зарядом Q. В силу геометрической симметрии поля вектор напряжен-сти Е по величине одинаков во всех точках поверхности направлен перпендикулярно ей. Произведение EdS выражает еличину элементарного потока dN вектора напряженности лектрического поля через элемент поверхности dS, если линии ряженности перпендикулярны пронизываемой ими поверх-ги: dN=EdS. Определим полный поток вектора напряженности эле-трического поля, для чего сложим элементарные потоки По всей поверхности сферы: N=§EdS. (7.6) Чи **ы"ося постоянную вели-h за знак суммы и учи- пепп ЧТ° вект°Р Е ВСЮДУ ИДрндикулярен поверхности ф ры' получаем слрп^ —площадь сфе-^Подставляя напряженность поля в формулу (7.1), noj N=0/во- - Теорема Гаусса Приведенные рассуждения справедливы и при отрица ном заряде с той лишь разницей, что поток вектора напр» ности в этом случае отрицательный. ¦¦ Из формулы (7.8) следует, что поток N не зависит радиуса сферической поверхностт Потоку вектора напряженности электрического поля м^н придать некоторую наглядность с помощью линий налрмК ности. Вследствие симметрии электрического поля в рассматрц^ емом случае линии напряженности пронизывают всю пов ность сферы и их плотность (число линий на единицу плои одинакова. Предположим, что эта плотность выбрана числе равной напряженности поля. Тогда общее число линий, Mb. низывающих поверхность сферы, будет численно равно полнЖ потоку вектора напряженности поля N. Число линий напряженности, а следовательно, и по вектора напряженности остаются одинаковыми для любого радиуса. Это справедливо и для элементов dS' и сферических поверхностей, через которые проходят одни и те же линии напряженности (рис. 7.3), образующие конус с вершиной в центре сферы. Элементарный поток вектора напряженности заключен ри указанного конуса и пронизывающие элемент поверх* dS линии напряженности образуют элементарную трубку Сложив потоки всех трубок по всему объему шара, пол> полный поток вектора напряженности электрического точечного заряженного тела. Можно доказать, что формула (7.8) справедлива не тол1¦ для сферы, окружающей точечное запряженное тело, но и любой замкнутой поверхности. В общем случае направление вектора напряженности Е жет быть не перпендикулярно элементу поверхности dS ок выбранной точки А (рис. 7.4). Угол между направлен вектора Е и внешней нормалью п к поверхности в А обозначим а (внешняя нормаль — это линия, перпендикуля ная поверхности в выбранной точке, направленная от поверхности с внешней стороны): Для определения пс через элемент поверхности нужно взять проекцию вектор Е на направление внешней нормали гуммирование элементарных m оков по всей замкнутой по-1,0 ности дает полный поток N=jE„dS = Q/z0- (7-9) Если внутри замкнутой повер находится любое число тел с разноименными зарядами, формулы (7.8) и (7.9) следует ввести алгебраическую сумму Кех зарядов N = (710) Ео Алгебраическая сумма зарядов берется в данном случае [цотому, что линии напряженности при положительных и отрицательных зарядах направлены противоположно, f Формула (7.10) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая формулируется так: поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую рхность в вакууме равен отношению электрического заряда, заключенного ри этой поверхноста к электрической постоянной. Поле заряженной плоскости ? Бесконечная плоскость (рис. 7.5) имеет заряд, распределенный с плотностью ст. Выделим вокруг части этой плоскости замкнутую поверхность, которая образована двумя плоскими поверхностями, параллельными заряженной плоскости, и цилиндрической боковой поверхностью, перпендикулярной ей. Вслед-вие симметрии все точки поверхности 5 имеют одинаковую пряженность поля.