ГРАФИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Многие нелинейные элементы, применяемые в практике, В т Вольт-амперные характеристики, у которых нет линей-Kjv участков, и уравнения для их аналитического выражения. ? Расчет цепей, содержащих такие элементы, осуществляется ?афическими методами, которые применимы при любом виде воль r-амперных характеристик и дают результаты достаточной точности. - , Исходные данные для расчета (вольт-амперные характеристики элементов цепи) задаются в виде графиков или таблиц. L Задачу определения тока одного элемента по напряжению этого элемента или обратную задачу решают просто: заданное значение отмечают на оси координат, находят соответствующую ей точку кривой, а затем на другой оси определяют искомое значение. »Рассмотрим, как решаются такие задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи. ? Последовательное соединение двух нелинейных элементов 1 Для расчета такой цепи (рис. 6.4, а) заданные вольт-амперные характеристики элементов l(Uy) и /(С/2) строят в общей системе координат (рис. 6.4, б). 1 Далее строят вольт-амперную характеристику I(U) всей чепи, выражающую зависимость тока в цепи от общего напряжения. обоих участков цепи одинаков, а общее напряжение U2. построения общей вольт-амперной характеристики ?Ктаточно сложить абсциссы исходных кривых I(U1) и I(U2). Проведем прямую, параллельную оси абсцисс и соответ-укицую току 1Х. Отрезки 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе 01паЖаЮт напРяжения Uu на участках. Сложив эти ам, ,!КИ\ на той же прямой получим точку 4 общей вольт- д НОЙ характеристики. Других значений тока аналогично найден еще ряд точек; которые проведена общая вольт-амперная характеристика Построение вольт-амнерных характеристик (рис. 6.4, б) ляется подготовительным этапом для решения различ* задач, относящихся к подобным цепям. Требуется, например определить ток в цепи и напряжения Ux и U2 на участка^ если общее напряжение U известно. На оси абсцисс находим точку 5, определяющую напряжен» U (отрезок 0-5 в масштабе напряжений выражает напряжен! в цепи). Через нее проводим перпендикуляр к оси абсцис до пересечения с общей вольт-амперной характеристикой /(( в точке 4. Из точки 4 проводим линию, параллельную абсцисс. Отрезок 5-4 выражает ток в цепи, а отрезки 1-2 и 1-3— напряжения на участках (соответственно Ux и U2 ).'f Параллельное соединение двух нелинейных элементов При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 6.5, а) к ним приложено одно и то же напряжение U\ а ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов] в ветвях: /=/1 + /2. Для построения общей вольт-амперной характеристики I(Ut нужно для ряда значений U сложить ординаты вольт-амперным характеристик элементов, как показано на рис. 6.5, б. При] напряжении Ui (отрезок 0-1) сумма отрезков 1-2 (ток 1Х и 1-3} (ток /2) равна отрезку 1-4 (ток /). Предположим, что по заданному значению U=Ui нужно] определить токи в ветвях и общий ток 1. На оси абсцисс откладываем отрезок 0-1, выражающий напряжение Uu и через] точку 1 проводим линию, параллельную оси ординат. Опре-¦ деляем точки 2, 3, 4 пересечения прямой с вольт-амперными^ диалогично решают задачи при параллельном соединении „„ейного элемента с линейными, а также при большем числе Н^ейных и нелинейных элементов. Смешанное соединение нелинейных элементов При смешанном соединении нелинейных элементов графи-,кИЙ расчет цепи производится методом «свертывания» Ччемы: в соответствии со схемой соединения элементов складываются их вольт-амперные характеристики. рассмотрим решение этой задачи применительно к схеме рис. 6.6, а. v По заданным характеристикам 1г (U2), /3 (U3) параллельно соединенных элементов строится вольт-амперная характеристика участка цепи между точками. Для примера на рис. 6.6, б при напряжении U2 (отрезок 0-1) определены токи /2 (отрезок 1-2) и /3 (отрезок 1-3), а затем ток /1 = /2+/3 (отрезок 1-4). Далее строим вольт-амперную характеристику Ix (U) всей цепи, учитывая, что участок цепи между точками Ь, с включен последовательно с нелинейным элементом на участке ab. Для примера при токе 1Х (отрезок 0-7) определены напряжения [/, (отрезок 7-5) и U2 (отрезок 7-4), а также общее напряжение U=Ui + U2 (отрезок 7-6). После построения вольт-амперных характеристик порядок решения задачи зависит от ее условия. Пусть задано напряжение в цепи. Требуется определить токи в схеме и напряжения на участках. Отложив на оси абсцисс отрезок 0-11, выражающий напряжение U, проведем линию 11-6 параллельно оси ординат до пересечения с кривой /j(t/). Отрезком 11-6 определяется ток /j в не-разветвленной части цепи. Прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная через точку 6, пересекает кривые (f/x) и Л (U2) в точках 5 и 4. Отрезками 7-4 и 7-5 определяются напряжения и f/j на участках. Напряжение общее для параллельно соединенных участков с токами 12 и /3. Для определения этих токов через точку 4 проводится прямая, параллельная оси °РДинат. Пересечение этой прямой с кривыми I2(U2) и /3(С/2) в точках -и 3 дает отрезки 1-2 и 1-3, определяющие токи /2 и /3. ju,.-,. iiujinipib рис. о.ч, запишите порядок решения следуюа задач. 1. Дано напряжение U2. Определить в цепи ток / и напряжения Ui% 2. Дан ток I. Определить напряжения Uv U2, U. Задача 6.5. Пользуясь рис. 6.5, запишите порядок решения следующ задач. 1. Дан ток L. Определить напряжение U и токи /,, /. 2. Дан ток Г. Определить напряжение U и токи /,, /2. Задача 6.6. Для поддержания постоянным тока нагрузки при колебан входного напряжения U последовательно с нагрузочным резистором Л„=1 (рис. 6.7, а) включен бареттер Б, вольт-амперная характеристика которой дана в табл. 6.2. Таблица и, в 0 0,5 1 2 4 6 8 10 12 14 I, А 0 1 1,6 •2 2,1 2,15 2,2 2,25 2,5 3,2 Построить график изменения тока в цепи при изменении входног напряжения. Решение. Графически определим ток в цепи и напряжение на участках.] Для этого на одном чертеже построим вольт-амперные характеристик/ бареттера и нагрузочного резистора (рис. 6.7, б), выбрав предварителык>¦ масштабы по обеим осям. Для построения на миллиметровой бумаге рекомендуются масштабь напряжений /лц = 2 В/см; токов /я, = 1 А/см. Вольт-амперная характеристика нагрузочного резистора — прямая, прохо дящая через начало координат под углом а к оси токов (см. пунктир Od на рис. 6.7, б). Определим угол tga=Лит1./тц. Ток в цепи и падение напряжения {/, связаны между собой двум^ зависимостями: вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента /(С/а )? и уравнением U1 = U— IR , которое при постоянной величине Лн изображается! на графике прямой. Точка пересечения этой прямой с вольт-амперной ] характеристикой нелинейного элемента на графике определяет / и Ult удовлетворяющие обеим зависимостям. аляя пересекается с и^ями лиирдппа i. пр при /=0 UX = U= 8 В; при ?/,=0 /0 = ?///ги = 8/1=8 А. Прямая, построенная по двум точкам, пересекается с вольт-амперной пактеристикой нелинейного элемента в точке Ь. х'1' ^проектируем эту точку на оси координат и найдем значения тока напряжения на участках: 1=2,2 A; Ul = 5,8 В; t/2 = 2,2 В. Аналогично находим И. же величины для других напряжений, для чего прямую перемещаем , чраллельно самой себе (на рис. 6.7, 6 показаны тагае характеристики для ,,=6 и 10 В). График /((/) для заданной цепи построен на рис. 6.7, в. Из графика видно, что при изменении входного напряжения в пределах от 5 до 13 В ток в цепи остается практически постоянным. Дополнительные вопросы к задаче 1. Определите напряжение в цепи U и напряжения на участках по известному току в цепи /=1,8 А, 1=3 А. 2. Определите сопротивление бареттера R6 для всех значений напряжения U на его зажимах, определенных в ходе решения задачи. § 6.3. ПРИМЕРЫ УПРОЩЕНИЯ СХЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Расчеты разветвленных нелинейных электрических цепей при наличии в схеме произвольного количества элементов представляют значительные трудности. В зависимости от вида схемы принимается тот или другой путь расчета, но во всех случаях основой является систематическое упрощение схемы. Рассмотрим некоторые конкретные примеры. Цепь с двумя узлами Между двумя узлами 1 и 2 (рис. 6.8) включены три ветви, две из которых представляют собой последовательное соединение нелинейного сопротивления и постоянной ЭДС. Нелинейные сопротивления заданы вольт-амперными харак- Построение кривых Ii(U12) и /2 (^1.2) проводится так: ряда значений тока определяют разность ЭДС и соотве вующих значений напряжения; через полученные точки водят кривые. Кривая h{Ul2) совпадает с заданной кри® /3(?/3), так как {У12 = [/3. Далее строится кривая Ц^^ЩигX ?для Ряда значен С/12 определяют сумму токов /, + /2. которая согласно первс закону Кирхгофа равна /3. Поэтому точка 3, в которой пересекаются кривые (/, 4./j и /3 (С/3), определяет величину тока /3 (отрезок 3-4). Оп> перпендикуляр к оси U через точку 3, находят другие велич ток /j— отрезок 1-4; гок /2 — отрезок 2-4\ напряжение Ul 21 отрезок 0-4. Заметим, что кривая {lx +/2) (U1-2) является вольт-ампернс характеристикой нелинейного активного двухполюсника, вивалентного двум ветвям исходной схемы. Построение эт® кривой означает замену двух ветвей (1 и 2) одной ветвьн что является упрощением заданной схемы. Нетрудно ставить, что такой путь можно применить при наличии в схеь большего числа ветвей и постепенно привести ее к схе\ простейшего активного нелинейного двухполюсника. Цепь с одним нелинейным сопротивлением Предположим, что в разветвленную цепь входит несколькс линейных элементов, в том числе источники ЭДС, и однй нелинейное сопротивление (рис. 6.10, а). Ветвь с нелинейнь сопротивлением можно выделить, а оставшуюся линейну часть представить в виде активного двухполюсника. Включим в нелинейную ветвь ЭДС Е' такой величин чтобы ток в ней уменьшился до нуля. Для активного линейного п я того чтобы получить ток, т. е. возвратиться к первоначаль-L ' режиму, можно в нелинейную ветвь включить еще одну ЭДС Т'^павнук» по величине но направленную ей встречно В .(,10, б). Можно сказать, что ток в нелинейной ветви вызывает (P"L ,Q ЭДС Е", а остальные ЭДС (?" и активного двухполюсника) т° Кце вызывают и их можно из схемы исключить, накоротко ь'кнув точки, к которым эти источники присоединены. 311 ц результате получается схема последовательного соедине-I пассивного линейного двухполюсника с активным нелиней-Ем двухполюсником (рис. 6.10, в). Я Отсюда следует порядок расчета первоначально заданной Ьлинейной цепи: 1) определяют напряжение холостого хода Ь входное сопротивление линейного двухполюсника (рис. 6.10, г); tj находят, например графически, ток и напряжение в нелинейной Егви; 3) определяют токи в линейной части цепи, считая Кпротивление нелинейной ветви R = Vjl постоянным. Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями В сложную цепь могут входить два нелинейных сопротивления, которые простым преобразованием не приводятся кГодному сопротивлению (рис. 6.11, а). Упрощение и расчет такой цепи можно осуществить в следующем порядке. Выделим нелинейные сопротивления, а оставшуюся часть цепи представим активным линейным четырехполюсником, у которого к первичным и вторичным зажимам присоединено по одному нелинейному сопротивлению. В каждой нелинейной ветви можно провести преобразования, такие же. как на рис. 6.10, и провести аналогичные ?ассуждения (рис. 6.11, б). В данном случае линейный четырехполюсник можно представить Г-образной схемой замещения и получить схему с двумя узлами, изображенную на рис. 6.11, в. Затем надо определить сопротивления Г-схемы четырехполюсника и решить задачу так, как указано в начале этого параграфа. При необходимости от Г-схемы четырехполюсника известными способами можно перейти к исходной схеме. Подобный путь применяют для расчета цепей с тремя более) нелинейными сопротивлениями. Метод последовательных приближений Суть этого метода заключается в предварительном выборе о» даемого результата и последовательной его проверке и уточне Рассмотрим метод на примере относительно простой це последовательного соединения двух нелинейных сопротивлец рис. 6.4, а. Даны напряжение на зажимах цепи и воль амперные характеристики нелинейных элементов. Ток в цепи по закону Ома и /„ = (/.)+л2(/.)' где п — порядковый номер приближения. Первое значение тока Д в цепи выбирают ориентировочи если имеются для этого какие-то основания, а если их нет то произвольно. По вольт-амперным характеристикам опр деляют напряжения на нелинейных элементах t/t и U2 и зате по закону Ома—сопротивления /?, и R2: R\— СЛ/Л; R2 = U2/1 По формуле (6.6) находят второе приближение тока: /2 = ?//(/?! + Я2). По найденному значению тока /2 и вольт-амперным хар теристикам снова определяют напряжения на нелинейных элел тах и их сопротивления, а затем опять находят ток и гак тех пор, пока результат не начнет практически повторять Обычно достаточно точный ответ получают после четырех-пя повторений расчета, если процесс приближений обладает димостью. В случае расходящегося процесса задачу следуе решать на основе уравнения для другой величины вместо (6.6 например для „ напряжения на одном из нелинейных элементе (б (6.7) Задачи Задача 6.7. Лампа накаливания включена параллельно с линейным зистором /?2 = 30 Ом (рис. 6.12, а). Построить зависимость эквивалентного сопротивления Л„ цепи от напряжения U на его зажимах. Методом последовательных приближений определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи 1=5 А. Вольт-амперная характеристик" лампы задана в табл. 6.3.