НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В Анализом электрических цепей называют определение токов (или напряжений) в ее ветвйх. 1 В гл. 4 рассмотрен расчет только относительно простых •пектрических цепей. В расчетах цепей сложной конфигурации {несколькими источниками энергии изученные ранее методы РРименяются для отдельных простых участков, если имеются ^°бходимые исходные данные. К( " общих же случаях применяются другие методы, основой ? °Рых служат законы Кирхгофа. Методы анализа с применением законов Кирхгофа позвол ют рассчитать электрическую цепь любой конфигура* и сложности, т. е. являются основными. Обоснование метода Рассматривая схему любой разветвленной электрическс цепи, можно отметить в ней электрические узлы и выдели^ контуры. Например, в схеме рис. 3.16 имеется четыре уз^ (точки 1, 3, 4, 6) и несколько контуров (1-2-3-1; 1-3-6-1 и др; Для каждой узловой точки можно составить уравнен токов по первому закону Кирхгофа (узловые уравнени например, для узла 3 /,. +/2 = /4 + /7; для каждого контура уравнение напряжений по второму закону Кирхгофа (контурн! уравнения), например для контура 1-3-6-1: В эти уравнения входят токи в ветвях, определение которь составляет ближайшую цель расчета, которая достигает совместным решением системы узловых и контурных уравн ний; их число должно быть равно числу неизвестных токе Прежде чем приступить к составлению уравнений законам Кирхгофа, необходимо выбрать условно-положителЛ( ное направление тока в каждой ветви (число неизвестнь токов, как нетрудно видеть, равно числу ветвей). Положительные направления токов выбирают произвольна Действительные направления токов могут не совпадать с условна положительными. Ошибка в выборе направления тока в результ те решения будет обнаружена: ток с неправильно выбранньп направлением получится отрицательным. Изменив его направлю ние, в дальнейших расчетах можно считать его положительным Узловые уравнения Запишем систему узловых уравнений для рассматриваемой схемы 1-I3 = h+I2, 3 — /1 + /2 = /4 + /7, 4 —/4 + /6 = /5, б — /5 + /7 = /3 + /б-. для узлов: (5.1) В этой системе уравнений любых три уравнения являют независимыми, так как в каждое из них входит хотя бь один новый ток по сравнению с другими уравнениями. Четвертое уравнение не содержит нового тока, поэтол его можно получить из предыдущих трех несложными пор становками. При наличии в схеме п узлов можно составить по первол закону Кирхгофа п — 1 независимых уравнений. КОНУ IV"1 T ' * токов. сХеме рис. 3.16 насчитывается семь неизвестных токов, , шисимых узловых уравнений только три. Еще четыре "рвения составим по второму закону Кирхгофа. Контурные уравнения тл3 всех контуров схемы выбирают те, для которых можно чвить наиболее простые независимые уравнения. С° При этом можно руководствоваться таким правилом: В -[ое последующее уравнение будет независимо от преды-*аА(ИХ. если в данный контур входит хотя бы одна ветвь г М¦,[. которая не входила в уже использованные контуры. ? Можно доказать, что число независимых контурных уравнений для схемы, содержащей т ветвей и п узлов, составляет m~"+L - I Для десяти контуров при т = 7 в данном случае независимых контурных уравнений можно составить четыре, т. е. столько, сколько необходимо для определения всех токов для контуров: 1-2-3-1—IiR1-I2R2 = El-1-3-6-1—I2R2 + /3Л3 + /7 Ri = Е2\ 6-3-4-6 — U R*, + h Rs-InRn^-E^ 6-4-5-6 — I5R5 — I6R6=—E3. I Правильность определения токов в цепи можно проверить, подставив их найденные величины в одно из уравнений, которые составлены для схемы этой цепи, но не вошли в; систему уравнений, взятых для решения. С этой же целью можно составить баланс мощностей цепи. Задачи Задача 5.1. Методом узловых и контурных уравнений определить токи вВепи, изображенной на рис. 5.3. для которой известны: ?j = 120 В, ?2 = 100 В, «1 = 20 Ом, R2 = 20 Ом, Лэ = 30 Ом, Л4 = 30 Ом. Г Задача 5.2. Методом узловых и контурных уравнений определить токи в цепи, схема которой показана на рис. 5.4, если заданы: ?j = 120 В, г-1- 140 В, r,=r2= 1 Ом, Л = 27 Ом. § 5.2. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ТОКОВ К В некоторых случаях расчет электрических цепей можно ?овести относительно просто, используя принцип наложения. ? Jtot принцип применяется только к линейным системам, V Данном случае—для расчета линейных электрических цепей. Обоснование метода Для ассм°трим в качестве примера схему рис. 5.1, а и составим V Нее систему уравнений по законам Кирхгофа: Ток каждой ветви из этой системы линейных уравнег1 определяется однозначно. Решение системы (5.3) дает выражения для токов: 12 — Е2 R2+R3 р R3 А А ' R} 1 ................ Ill t А 1 А ' R2,p Rl где A = RlR2 + R1R3 + R2R3. Как и следовало ожидать, значения токов определя действием ЭДС, имеющихся в схеме, т. е. каждая ЭДС внос в величину тока каждой ветви свою определенную дол Предположим, что в схеме действует только ЭДС Еи а Ег Тогда получим величины токов, вызываемых ЭДС Ех\ г — С + . V Г .Г V h-bi—~А—, ' —, 13 = Ьу-~. Полагая Ех — 0, получим величины частных токов о действия ЭДС Е2: (5 (5.5 П = ЕЛ Л, + Лз. 1"г = Е2 (5. П = Е2 Для любой схемы с линейными элементами можно пров подобные рассуждения, из которых следует метод расчет электрических цепей: определяются частные токи в ветвях о действия каждой ЭДС; действительный ток каждой вет равен алгебраической сумме частных токов этой ветви: где /i"'—ток к-й ветви от и-й ЭДС. 82 основе ИСХОДНОЙ схемы составляю 1 час 1 мыс уасчсшыс 1 Дис. 5.1, б, в), в каждой из которых действует только с*еМЬ1 Ф Все другие ЭДС исключают и от каждого источника оДна V остается только его внутреннее сопротивление. в схе jil06biM подходящим методом определяют токи в част-? „wax которые чаще всего оказываются относительно нЫ* cxei™ ' •пР°п'¦Я частных схем (рис. 5.1, б, в) выражения для токов, - иные путем свертывания, совпадают с (5.4), которые на1' записаны ранее из уравнений Кирхгофа, например: были = E,{R1 + R 3) ?.(/?2 + /?3) ^Лг + Л^з + ЛгЛз Л Л2 + Л3 I з Алгебраическим сложением (наложением) частных токов определяют токи в исходной схеме. В рассматриваемом примере /I = Л -/1; 1г=-1'г+Гг\ 13=Г3 + П.- I При определении общих токов необходимо правильно учесть направления частных токов: в исходной схеме намечают условно-положительные направления токов в ветвях. Частный ток считают положительным, если он направлен одинаково с[ положительным током в той же ветви исходной схемы. Частный ток противоположного направления считают отрицательным. I При таком подходе общие токи в ветвях исходной схемы могут получиться положительными или отрицательными. В последнем случае надо изменить направление тока и считать его положительным в дальнейших расчетах. Входные и взаимные проводимости и сопротивления L В равенствах (5.4) множители при ЭДС имеют размерность проводимости. Обозначив их как проводимости, получим I\=zGxaE1 — Gx2E2, (5.8) где Gia={R2 + R3 )/А; G2.2 = (Rl + R2)/A- Gl2 = G2l = R3/A; G31 = R2/A; G3.2 = RJA. н,,^0:>ффициенты с одинаковыми индексами называют вход-eHi ,'И "Роводимостями ветвей (G,.,; G22). Коэффици-с разными индексами называют взаимными про- м°стями ветвей (G12; G21; G31; G32 Из этих выражений следует: I входная проводимость любой ветви равна отношению то к ЭДС этой ветви, если ЭДС во всех остальных ветв приняты равными нулю; входное сопротивление — величина, ратная входной проводимости: Gnn = InEn, Rnn = l/G„ Взаимная проводимость двух любых ветвей равна отношению тока в одной ветви к ЭДС в другой ветви, если ЭДС всех остальных ветвях приняты равными нулю; взаимн сопротивление—величина, обратная взаимной проводимости: Gk„ — Ik„/E„; Rkn=\/Gkn, причем Gkn = Gnk. Входные и взаимные проводимости и сопротивления можи определить расчетом, используя частные схемы, или Haf путем измерений. После этого нетрудно найти токи в ветвя составив равенства типа (5.8). Коэффициенты передачи напряжения и тока Режим электрической цепи в некоторых случаях характеризуется коэффициентами передачи напряжения и тока. Чаще всего они применяются к цепям, содержащим один источник ЭДС (рис. 5.2, а) или один источник тока (рис. 5.2, б). \ Коэффициент передачи напряжения равен отношению напряжения на зажимах приемника к напряжению источника ЭДС, действующего в цепи: источника тока, оеиствующего в цепи: Задачи ии (5.11) я 5.3. Для цепи (рис. 5.3, а) известны: = 120 В, ?; = 100 В, З^Ом, Л2 = 20 Ом, Л3 = 30 Ом, Л4 = 30 Ом. Определить токи в цепи ЖГ*пМ"наложения. nF р ш е н и е. Определим токи от действия каждой ЭДС в отдельности по м представленным на рис. 5.3, б, в. В схеме рис. 5.3, б сопротивления с*е',а соединены параллельно. То же относится к паре сопротивлений R1 Яг ¦'(айдем эквивалентное сопротивление между точками 1-4. Л2Л4 20-30 20?30 -+.. ..=24 Ом. Л, + Лэ Л2 + Л4 20 + 30 20 + 30 I Ток в неразветвленной части цепи /',4 = ?1/Л1.4= 120/24 = 5 А. I Сопротивления между точками /-2 и 2-4 по данным задачи одинаковы (по 12 Ом). Поэтому U\,2 = U'2A = I\ARl2 = 5-12 = 60 В. Щ Токи в схеме: 1\ = и\.г/Л1 =60/20 = 3 A; /'2 = t/'2.4/fl2 = 60/20 = 3 А; /з = 1/1.2/Лз = 60/30=2 A; I't=U'2.t/R4 = 60/30 = 2 А. I В схеме, изображенной на рис. 5.3, а, пары сопротивлений Ль Л2 и Л3, Я4 соединены параллельно, а сопротивления, эквивалентные этим парам,— последовательно. I Найдем эквивалентные сопротивления схемы между точками 2-3: 20-20 30-30 -+———=25 Ом. /?1 + Л2 Л3 + Л4 20 + 20 30+30 Ток в неразветвленной части цепи /'2.3 = ?2/Л2.з = 100/25 =4 А. Напряжения на участках схемы между точками: