РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА Основная цель расчета электрической цепи заключает в определении токов в ее ветвях. Зная токи, нетрудно найт напряжения и мощности ветвей и отдельных элементов цеп Значения токов, напряжений, мощностей дают возможно оценить условия и эффективность работы электротехническог оборудования и приборов во всех участках электрической цеп Связь между ЭДС напряжениями и токами линейнь электрических цепей выражается линейными уравнениями, т. ® уравнениями первой степени, поэтому для их расчета примени ются аналитические методы с обычными алгебраически преобразованиями. §4.1. ЗАКОНЫ КИРХГОФА Для расчета электрических цепей наряду с законом О применяются два закона Кирхгофа, являющиеся следствия физических законов из группы законов сохранения. Первый закон Кирхгофа Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрическ цепей: В ветвях, образующих узел электрической цепи, алгебраическая су: токов равна нулю: ту сумму токи входят с разными знаками в зависимости _ 0 Правления их по отношению к узлу. На основании от закона Кирхгофа для каждого узла можно составить оер ение токов. Например, для точки 3 схемы рис. 3.16 УРкоеС уравнение имеет вид А+/2-/4-/7 = 0. I и этом уравнении токи, направленные к узлу, условно I т-ы положительными, а токи, направленные от узла,—отрицательными: /1 + /2-/4 + /7. (4.2) К уравнение (4.2) позволяет дать другую формулировку первого закона Кирхгофа: сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от того же узла. ВГ Этот закон следует из закона сохранения электрического заряда и соответствует принципу непрерывности электрического тока. I Если допустить преобладание в узле токов одного направления, то заряд одного знака должен накапливаться, а потенциал узловой точки непрерывно изменяться, что в реальных цепях не наблюдается. Второй закон Кирхгофа I Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрических цепей: в контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на его I ветвях равна нулю: It/=o. Для доказательства второго закона Кирхгофа обойдем контур 1-2-3-4-5-6-1 в схеме рис. 3.16 по часовой стрелке И запишем выражения потенциалов точек контура при указан-ньи направлениях токов в ветвях (выбраны произвольно), ?^ход начнем от точки 1, потенциал которой Vy. Потенциал ?*Дой последующей точки выразим относительно точки «Редыдущей: V2=Vl + E1- V3 = V2-IlRl; V4=V,-UR4- бы . Менение потенциала по выбранному контуру должно На равно нулю, так как оно выражает работу, затраченную До ¦ еремеЩение частиц, обладающих вместе единицей заряда, НИ1гг^МкнутомУ "У™ в электрических полях источников и прием-В энергии тому — изл + изл+и^6+и6А=0. В уравнении (4.4) напряжения, направленные по обхо контура, считаются положительными, а направленные про" обхода — отрицательными. Уравнение (4.4) перепишем в следующем виде: /1Л1+/4/г4 + /зЛз-/бЛб = ^1-^з- (4 Уравнение (4.5) позволяет дать другую формулирог второго закона Кирхгофа: в контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напрял в пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС этого контура: ZIR=IE. Другим контурам соответствуют другие уравнения, котор нетрудно написать, не прибегая к выражениям потенциал точек контура. Для этого можно пользоваться следующим правило В левую часть уравнения следует записать алгебраическ' сумму падений напряжения в пассивных элементах конту^ а в правую — алгебраическую сумму ЭДС, встречающихся п обходе контура. При этом положительными считаются токи и ЭДС, напра ление которых совпадает с направлением обхода. Согласно этому правилу, запишем уравнения для дв других контуров схемы, представленной на рис. 3.16: для 1-2-3-6-1 I1R1 + I1R1 + I3R3 = E1+E2; I4Ra + I5Rs-I1R1 = -E2. В § 4.2. на конкретном примере показано, что непос" ственной основой второго закона Кирхгофа [формулы (4 (4.6)] является закон сохранения энергии. я <а',а i jg Доказать, что в системе уравнений, составленных по первому миеМЬ' Р?с гофа любое уравнение является следствием других уравнений. 2*0НУ 2 Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех Задача • ^ с 3 )5 Доказать, что в системе уравнений, составленных ЬгГУР°в с закону Кирхгофа, любые т — п+1 уравнений являются незави- 0 гт0^°(т— мисл0 ветвей, п — число узлов в схеме); каждое из оставшихся БмЫ<мИ "' можег быть получено из независимых уравнений НЕРАЗВЕТВЛЕННАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И„ ,ементы неразветвленной электрической цепи соединены Ж-яС" собой последовательно. м Отличительной особенностью последовательного соединения ¦Лается то, что электрический ток во всех участках цепи один и тот же. Общий случай последовательного соединения К рассмотрим общий случай последовательного соединения источников и приемников электрической энергии (рис. 4.1), пренебрегая внутренними сопротивлениями источников. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, произвольно задавшись направлениями тока в цепи и направлением обхода контура (например, по часовой стрелке): /Я, +IR2 + IR3 = Е1-Е2 + Е3. (4.7) ?Ток в цепи Л, + Л2 + Л3 1 При обходе контура видно, что относительно направления обхода ЭДС Ei и Е3 направлены одинаково, т. е. согласно, а: ЭДС Е2 — им навстречу. ?Ток в цепи определяется действием всех трех ЭДС, и при заданных направлениях ЭДС и тока нетрудно установить, что элементы с ЭДС Ег и Е3 вырабатывают электрическую энергию, а элемент с ЭДС Ег ее потребляет. Если в качестве источников ЭДС в данном случае предположить аккумуляторы, if источники и Е3 разряжаются, а источник Е2 заряжается. ^ " элементах рия преобразуется в тепловую, усматривая в качестве примера Efwy рис. 4л5 нетрудно убедить-КИ1 что второй закон заК( Ht,a является следствием Мен а сохРанения энергии в при- Риче. .ГЛ его к контуру элект- Г сскои цепи. Для этого достаточно умножить уравнение (4.7) на перенеся предварительно Е2 в левую часть: E2I+12 /?! +I2 R2 + /2 R3 = EJ ? Е31. Получим уравнение баланса мощности для сматриваемой цепи: сумма мощностей источников электрича кой энергии равна сумме мощностей приемников. Ток в цепи с последовательным соединением элеме^ (рис. 4.1) не изменится и баланс мощностей сохранится, произвести перестановку элементов цепи, сгруппировав Э1 и сопротивления, как показано на рис. 4.2, а. Последовательное соединение пассивных элементов Участок цепи 4-5-6-1 представляет собой последовательно соединение резисторов. На рассматриваемом участке действует напряжение U, равное алгебраической сумме ЭДС левой часта схемы '[см. правую часть уравнения (4.7)]. Это напряжение равно также сумме падений напряжения в правой части схемы [см. левую часть уравнения (4.7)]: U=IRt + IR2 + IR3 = Ut + U2 + U3. Вынеся I за скобку, получим U=I(Rt + R2 + R3) или U/I=Rl + R2 + R3. Отношение U/I=R есть некоторое сопротивление, эквиви лентное по своему действию всем трем сопротивлениям: R = Ri + R2 + R3. (44 Это равенство позволяет на участке 4-5-6-1 три сопротй^ ¦ ления заменить одним (эквивалентным) и получить бо^ ? в распространить на любое число последовательно вклю-нных пассивных элементов: Я = ?л„, (4.10) 1 , общее сопротивление неразветвленной цепи равно сумме Сопротивлений ее участков. Последовательное соединение источников ЭДС Участок 1-2-3-4 цепи на рис. 4.2, а представляет собой последовательное соединение источников ЭДС. Напряжение между точками 4-1 U=El-E2+E3. Последнее равенство позволяет на участке 1-2-3-4 три ЭДС I заменить одной (эквивалентной) Е^Е1-Е2 + Е3 (4.11) [и получить более простую схему (рис. 4.2,в), в которой только одна (эквивалентная) ЭДС Е. Этот вывод можно распространить на любое число последовательно включенных источников. Если ЭДС всех источников равны и направлены согласно, как это имеет место при включении аккумуляторных элементов в батарее, то общая ЭДС может быть определена по формуле Е=пЕп, (4.12) где Е„ — ЭДС одного элемента; п — число элементов в батарее. Согласно составленной эквивалентной схеме (рис. 4.2, в), j _Е_Ei~ Е2 + Ej In * Ri + R2 + RI Потенциальная диаграмма В схеме, представленной на рис. 4.1, при переходе от точки 1 к точке 2 потенциал повышается на величину Еи а при переходе от точки 2 к точке 3 — снижается на величину = //?!• При переходе от точки 3 к точке 4 потенциал понижается на величину изл=*—Е2. Изменение потенциалов в электрической цепи можно наглядно изобразить графически в виде потенциальной диа-гРаммы. Потенциальная диаграмма представляет собой график избиения потенциала при обходе цепи, построенный в прямо-больной системе координат, в которой по оси абсцисс вкладываются в определенном масштабе сопротивления участ-к°в цепи, а по оси ординат — потенциалы соответствующих рис. 4.1, показана на рис. Потенциалы точек найдены согласно равенств Уг'Уг + Еи V3=V2-v,= va-ir2- v6=vs+e3 Vl = V6-IR3, причем потенциал тс 1 принят равным нулю. Так как внутренние сопротивления источников ЭДС приня! равными нулю, при переходе через эти элементы потенци изменяются скачком. Однако в большинстве случаев источники обладают вн ним сопротивлением г отличным от нуля. Эти сопротивлег учитываются при определении тока цепи и в построении поте"* альной диаграммы. Величина тока определяется алгебраической суммой ЭДС источников, деленной на полное сопротивление цепи: /-- 2(Д+г) Для определения величины и направления тока в нераз ленной цепи с несколькими источниками произвольно выбир направление обхода контура цепи (по часовой или против ч вой стрелки). Тогда ЭДС, совпадающие по направлению с выбранным правлением обхода, в алгебраической сумме берут со знак-плюс, а несовпадающие — со знаком минус. Если при расче результат получился положительный, то ток совпадает с щ вольно выбранным направлением обхода. Если же результ получился отрицательным, то ток имеет направление противоп ложное выбранному. Задача Задача 4.3. Генератор с ЭДС Е\ = 100 В и аккумуляторы с ЭДС ?2=130' и ?з = 90 В включены как показано на рис. 4.4. Сопротивление потреби jRj = 16 Ом; Лг = 12 Ом; Дэ=4 Ом; ^4=8 Ом, а внутренние сопротивле, источников i-i=6 Ом; г2—9 Ом; г3=5 Ом. Определить ток в цепи, построить потенциальную диаграмму цепи, и проверить баланс мощностей. Решение. Обходим контур по часовой стрелке Рис. 4.3 100-130- 90 Я1+Д2 + ЛЭ + Л»+Г1+Г2 + Г3 16 + 12+4+8+6+9 + 5 Е\ — Е2—ЕЪ -2 А асовой стрелки ^ак указано на 4.4)- ^„оения потенциальной диаграммы ? Д^^ потенциалы, указанных точек цепи, рРедеЛЙотенЦиал точки 1 равным нулю, т. е. У г 10 20 30 40 50 60 од,Ом 1. Определите напряжение на зажимах генератора U\, аккумуляторных Ри®- 4-5 батареях 1/2, С/3 и на резисторах Jtt; Л2; /?3 и А*. 2. Постройте потенциальную диаграмму цепи, полагая, что потенциал V;=0. I 3. Найдите напряжение между точками 3—1 (1/3. i) и точками 3-5 {Vy 3), ользуясь потенциальной диаграммой. Задача 4.4. По данным задачи 4.3, определить величину и направления тока ' "^построить потенциальную диаграмму цепи, если изменить направление ЭДС источников на рис. 4.4. Задача 4.5. Аккумуляторная батарея состоит из 20 щелочных аккумуляторов, 'еДиненных последовательно. ЭДС каждого аккумулятора 1,2 В, а внутренее противление г=0,5 Ом. Определить мощность приемника энергии, подключен-rt> к батарее, если его сопротивление Л=38 Ом. • 1 чп*4* Напряжение на зажимах генератора постоянного тока t/, = {дцГ В. ток в линии /«=50 А, сечение алюминиевого провода 5=25 мм2, а 1,4 линии /=50 м. Определить падение напряжения в линии AU, напряжение *онце -- —-----------— —„ р ^^И г 1 к°аце линии U2, мощность передачи энергии от генератора в линию Р1 МоШность приемника Рг. т-