РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ
Напряжения в осесимметричных оболочках Как уже отмечалось, в первом разделе книги, под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равностоящих от обеих поверхностей оболочки носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность образует часть сферы, конуса или цилиндра, то оболочку соответственно называют сферической, конической или цилиндрической. Большинство конструкций в виде оболочки имеют, как правило, постоянную толщину. Осе-симметричными оболочками называются такие оболочки, срединная поверхность которых есть поверхность вращения. В нижеприведенных расчетах полагается, что внешняя нагрузка, действующая на такие оболочки, Т&КЖ6 обладает свойствами осевой симметрии. Рассмотрим важный для практических целей случай, когда оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и можно принять гипотезу, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине (т. е. отсутствует изгиб оболочки). Теория расчета оболочек, основанная на этой гипотезе, называется безмоментной теорией оболочек (или теорией, не учитывающей изгибающие моменты в оболочке). Эта теория дает приемлемые для инженерной практики результаты с уменьшением толщины оболочки и для подкрепленных оболочек, но вне области подкрепления. Рассмотрим осесимметричную оболочку толщиной h и обозначим через рт радиус кривизны меридиана средней поверхности, а через р, радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот второй главный радиус равен отрезку нормали, заключенному между срединной поверхностью и осью симметрии (рис. 17.1а). Оба главных ради- Нормальные осевое сечение оболочки и в нем главные радиусы кривизны рт, р( — а; элемент оболочки со сторонами dsv ds2, меридианальное am и окружное о( напряжения, действующие на его гранях — б уса рт и pt являются в общем случае функцией угла 8 между указанной нормалью и осью симметрии оболочки. Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений выделим из оболочки элемент со сторонами dst и ds2 (рис. 17.16). На гранях этого элемента действуют нормальные напряжения — меридианальное ат и окружное at, вызванные нормальным давлением внутри оболочки р. Рассмотрение равновесия данного элемента в проекции на нормаль п к его поверхности (рис. 17.16), приводит нас к уравнению pdsx ds2 -omhds2dQ-oth-d81 dy = 0, (17.1) т. к. элементарные углы сШ = dsjрт и dcp = ds2/pt, то уравнение (17.1) запишется в виде (уравнение Лапласа) С, р н <17-2» 17.2. Нагруженность сферической оболочки от внутреннего давления Пусть сферическая оболочка радиуса R и толщины h находится под действием внутреннего давления р (рис.17.2). Для сферической оболочки pm = р( = R, где R — средний радиус сфе- ры, аналогично, am = af. Тогда уравнение Лапласа дает 2°т_гР R h' или р R 2 h ' Это же значение мередианального напряжения от можно получить из условия равновесия нижней половины сферы (в проекции на вертикаль). От давления р вниз будет направлена сила nR2-p, где nR2 — площадь горизонтального сечения (рис.17.2), а вверх сила om2nRh, где 2nR — длина окружности этого сечения. Равенство этих двух сил даст ту же величину меридианального напряжения ат. Замечание. Третье главное напряжение (напряжение надавливания между слоями оболочки) полагается малым и в расчетах принимается равным нулю. Напряженное состояние считается двухосным. В нашем случае РR А Oi=o2 =0, тогда, например, условие прочности по третьей теории прочности примет вид Рис. 17.2. Расчетная схема сферической оболочки под внутренним давлением р-д = СТ, -По =——< 2 h <[а]. °эквШ - СТ1 _ °3 17.3. Напряжение в цилиндрическом сосуде под давлением Рассмотрим цилиндрический сосуд среднего радиуса R и толщины h под внутренним давлением р (рис. 17.3). Для цилиндра меридианальный радиус кривизны рт = окружной радиус р( = R. Из формулы Лапласа определяем, следовательно, только окружное напряжение at: о, р р R — =—, или с, =——. R h h Меридианальное напряжение ат найдем из условия равновесия отсеченной нижней части цилиндра в проекции на его ось. Это условие равновесия дает ат-2nRh=p-nR2, откуда ат = pR/2h. Видно, что меридианальное напряжение от в два раза меньше окружного at. Главные напряжения: = = pR/h; а2 = am=pR/2h; а3 = О, тогда р R h Вывод. Расчетное эквивалентное напряжение для цилиндра оказывается в 2 раза больше, чем для сферического сосуда, т. е. рабочий коэффициент запаса прочности у сферического сосуда будет в 2 раза выше, чем у цилиндрического. Сферическая поверхность (в смысле прочности) в 2 раза рациональнее, чем цилиндрическая.