КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Понятие о контактных напряжениях Контактные напряжения возникают при механическом взаимодействии твердых деформируемых тел на площадках их соприкосновения и вблизи этих площадок. Знание контактных напряжений необходимо для расчета на прочность подшипников, зубчатых и червячных передач, кулачковых механизмов и т.п. Контактные напряжения быстро убывают при достаточном удалении от места контакта (соприкосновения) тел. Распределение контактных напряжений по площадке контакта (рис. 15.1) и в ее окрестности неравномерно имеет объемный характер и характеризуется большими градиентами, причем наиболее опасная точка, определяющая контактную прочность, лежит на некоторой глубине от зоны соприкосновения тел (т. А). Решение задачи об определении контактных напряжений может быть получено методами теории упругости. Для ряда практически важных случаев решения будут приведены ниже. Все решения основываются на следующих гипотезах: 1) материалы соприкасающихся тел однородны и изотропны; 2) уровень деформаций при контакте позволяет применять закон Гука; 3) поверхности соприкосновения малы по сравнению с размерами тел; 4) поверхности контакта гладкие, т.е. силы контакта нормальны к поверхности соприкосновения. Поверхность контакта описывается эллипсом, уравнение которого есть Ах2 + By2 = С = cons* (15.1) где С — величина сближения соприкасающихся тел, вызванная их деформацией, А и В — константы, зависящие от главных радиусов кривизны первоначального касания тел (величины обратные большой и малой оси эллипса). такт двух сферических тел — а; появление площадки контакта — б; распределение напряжений по зоне соприкосновения — в. F — сжимающая сила, R , Я2 — радиусы шаров, рп — максимальное напряжение в центре (т. Л) площадки контакта Величина наибольших напряжений р0 в центре эллипса касания может быть выражена формулой Ро =a3\l4FA2E2, (15.2) где Е = 2Е1Е2/(Е1 + Е2) — приведенный модуль упругости соприкасающихся тел, Еи Е2 — их модули упругости, а — коэффициент, зависящий от отношения А к В. В частности для двух шаров с радиусами Rt и R2 Ро =0,388 (15.3) а для двух цилиндров с параллельными осями радиусов R\ и R2 (формула Герца) длиной линии контакта I (рис. 15.2а): Л-0,418- Й.:¦±Ж = 0,418. /И, (15.4) \ I Rl Rг V Р где q = F/l — интенсивность погонной нагрузки, р — приведенный радиус кривизны (1/р = 1 /Rl 4- 1/R2). В этих формулах Расчетная схема контакта двух цилиндрических тел — а; напряженное состояние на средней линии зоны контакта и под ней на некотором расстоянии — б принято что коэффициенты Пуассона контактирующих тел одинаковы и равны (_ix = (i2 = 0,3. 15.2. Оценка контактной прочности Рассмотрим подробнее задачу о напряженности в зоне соприкосновения двух цилиндрических тел (рис. 15.2а). К этой задаче сводится анализ контактной прочности зубьев зубчатых колес, где контактные напряжения многократно циклически изменяются во времени и при недостаточной контактной прочности может иметь место усталостное разрушение (усталостное выкрашивание) рабочих поверхностей зубьев зубчатого колеса при работе зубчатой передачи. В точках средней линии контактной площадки напряженное состояние есть трехосное сжатие (рис. 15.26) с главными напряжениями о^О.бро. а2=Сз=-ро. При оценке прочности по одной из теорий прочности опасными оказываются точки не у поверхности контакта, а в глубине тела на некотором расстоянии от зоны соприкосновения. Так по теории небольших касательных напряжений наиболее опасной оказывается точка, лежащая на нормали к средней линии площадки контакта на расстоянии, равном 0,78в, где в— ширина зоны соприкосновения (рис. 15.20) в этой точке наибольшее касательное напряжение: O1-O3 -0Д8р0-(-0,78р0)_п 0„ ^тах =---=-g- и, следовательно, °Э1<В1Н =°i _аз =0,6р0. По теории энергии формоизменения опасной оказывается точка на расстоянии 0,7в под площадкой контакта, в которой a3KBiv = 0.557p0. На практике обычно принимается и для этой теории прочности Поэтому для упрощения расчетов вводится термин контактное напряжение, за которое принимают максимальное напряжение в области соприкосновения ak = p0. (15.6) Условие прочности по контактным напряжениям принимает вид [<*]*. где допускаемое контактное напряжение [a]ft определяется в зависимости от свойств поверхностных слоев соприкасающихся тел и от характера изменения действующих контактных напряжений по времени. Замечания. 1. Величины допускаемых контактных напряжений в несколько раз выше чем допускаемые напряжения при оценке прочности деталей на растяжение, изгиб (обычно в три ...шесть раз). 2. При оценке контактной прочности зубьев стальных зубчатых колес, где контактные напряжения переменны и меняются по циклу, близкому к и пульсирующему, [а]А = 400...700 МПа. Специальная поверхностная обработка зубьев (термическая, термохимическая), увеличивающая твердость поверхности зубьев, позволяет увеличить [а]А еще в несколько раз. Пример. Оценим напряжение в рельсе с радиусом головки R^ = 300 мм в месте соприкосновения с ним стального колеса радиусом Д2 =470 мм. Нагрузка на рельс F = 80 кН. Е = 2 105 МПа, [а], = 1200 МПа. Решение. Определяем отношение А/В в (15.1): 2JRb 2.R] В Для этого соотношения параметр а в (15.2) равен 0,456 и для соприкасающихся стальных тел: р0= 0,456-з-^Е2 =1112 МПа. Расчетное напряжение внутри рельса аэквШ = o3KBlv = 0,6 • р0 = 667,2 МПа. Выводы. 1. Расчетные напряжения внутри рельса превышают предел текучести. Это значит, что остаточные деформации (захватывающие небольшой объем материала) неизбежны в головке рельса. 2. Условие прочности по контактным напряжениям выполнено: а„ = р0 = 1112 МПа < [о]* = 1200 МПа.