Потеря превышающих предел пропорциональности
При оценке устойчивости стержней, сжимающие напряжения в которых превосходят предел пропорциональности, формула Эйлера неприменима. Определение устойчивости стержней с гибкостью, меньшей предельной, производится по эмпирическим формулам. Так критическое напряжение по формуле Ясинского представляется в следующем виде: скР = а-ЬХ, (13.12) где а и Ь — определяемые экспериментально коэффициенты, зависящие от свойств материала стержня. Формула (13.12) применима для стержней из малоуглеродистой стали при гибкости X = 40... 100. При гибкости X = 0...40 напряжение критическое акр считается постоянным и равным пределу текучести (окр - ат). На рис. 13.7 приведен график, характеризующий зависимость окр от гибкости стержня для материала СтЗ. На участке с гибкостью А = 0...40 напряжение окр имеет постоянное значение, равное ат (т. е. стержень работает только на сжатие ), на участке с X = 40... 100 напряжение есть линейная функция от X (формула Ясинского), а при А. >100 критическое напряжение определяется по формуле Эйлера. Отметим , что значение Хпр = 100 для СтЗ легко определяется (Е = 2• 105 МПа, апц = 200 МПа): е 2 10® = 3,14.—— = 3,14 31,6 = 95,3 -100. V 200 Для некоторых марок легированных сталей Хпр =80...70, для чугуна Хпр ~ 80, для дерева — Хпр = 110. Рис. 13.7. Зависимость акр от гибкости стержня для материала Ст 3 200 В уравнении Ясинского (13.12) для материала СтЗ а = 310 МПа, Ь = 1,14 МПа (рис. 13.7) Для чугунов при Х<Хпр = 80 принимают параболическую зависимость акр=776-12А + 0,053А2. (13.13) Так же, как при расчетах стержневых конструкций на прочность при расчете на устойчивость различают три вида расчетов: — проверочный, при котором определяется фактический коэффициент запаса устойчивости (пу) и сравнивается с требуемым или нормативным ([п]у): пу=^->[п]у, (13.14) где F — сила, сжимающая стержень; — определение допускаемой нагрузки — проектный (определение требуемых размеров поперечного сечения): п2Е • (13.16) В последнем случае после определения Jmin следует вычислить радиус инерции imin и гибкость X. Затем проверить возможность использования формулы Эйлера. В случае ее неприменимости необходимо сделать пересчет, используя при этом эмпирические зависимости (формулу Ясинского). Пример 2. Для заданной стойки двутаврового поперечного сечения (рис. 13.8) определить допускаемое значение сжимающей силы F. Материал стойки сталь СтЗ, коэффициент запаса устойчивости [п\у — 2,0. Оценить также изменения допускаемой нагрузки при уменьшение длины стойки вдвое, двутавр № 22. Решение. Определяем гибкость стойки. Коэффициент приведения длины ц = 0,5 , радиус инерции определяем из таблицы сортамента ('min 2,27 см), тогда Imin 2,27 Рис. 13.8. Схема нагру-жения двутавровой стойки Здесь при расчетах длина стойки бралась в сантиметрах, как и гга1[>. Для стали СтЗ Х„р = 100, Хлр<А. и формула Эйлера применима. 1. Определим критическую силу по Эйлеру: F *B.JrmS, 14^(2, M07) 157=440kIL "" ()2 (0,5 700) Здесь принято E=2,1105 МПа = 2,1-107 Н/см2, J^ =Jy =157 см4 (из таблицы сортамента), Z = 700 см. 2. Допускаемое значение сжимающей силы =132,5 кН h [п\ 2 3. Гибкость укороченной вдвое стойки 1 2 Значение Л-i = 77 меньше предельной, следовательно, критическую нагрузку определяем по зависимости Ясинского: акр = a -Wi! = 310-1,14 77 = 222,2 МПа; FKp = А-акр = 30,6 10 4• 222,2 106 = 680кН, здесь А - 30,6 см2 = 30,6 10~4 м2, допускаемая нагрузка [F]v=FKp/[ri\y = = 680/2 - 340 кН. Вывод. Критическая сила возросла в 2,5 раза (680/265 = 2,57). Таким образом, использование формулы Эйлера в области ее неприменимости (при X < Хпр) может привести к значительному завышению допускаемой нагрузки. Так в нашем конкретном примере для случая уменьшения длины стойки вдвое критическая сила по Эйлеру была бы равна 265-4 = 1060 кН, допускаемое значение сжимающей силы 1060/2 = 530кН ([«]„ = 2), что близко величине критического значения сжимающей силы (680 кН), если расчеты вести по формуле Ясинского. Неучет условий применимости (13.8) и (13.9), формулы Эйлера привел бы к потере устойчивости конструкции при эксплуатации. 13.4. Упрощенные расчеты стержней на устойчивость Наряду с расчетами по формуле Эйлера и эмпирическим зависимостям в инженерной практике широко распространены (особенно при расчете строительных конструкций) расчеты на устойчивость по форме аналогичные расчету на простое сжатие. Допускаемая нагрузка определяется по формуле [П,=ф[а]А, (13.17) где [а] — допускаемое напряжение на сжатие для материала стержня, ф —коэффициент снижения основного допускаемого напряжения или коэффициент продольного изгиба. Значения коэффициента ф указаны в табл. 13.1. Таблица 13.1 Произведение ф[ст] = [с]у считается допускаемым напряжением при расчете сжатых стержней на устойчивость. Расчет по коэффициенту ф называют также расчетом по нормам строительного проектирования, по форме он аналогичен расчету на простое сжатие, но этот расчет обеспечивает тот коэффициент запаса устойчивости, который был заложен при составление соответствующих таблиц коэффициента ф. Этот (внутренний) табличный) коэффициент запаса устойчивости называют нормативным. Следует иметь в виду, что нормативные фициенты запаса устойчивости, предусмотренные при состав лении таблиц параметров ф, например, для стальных стер^' ней, существенно меньше, чем принятые в машиностроение поэтому впрямую использовать эту таблицу для других отрас1 лей техники нельзя (параметры надо либо пересчитывать с дру. гим нормативным коэффициентом запаса устойчивости, либо принимать меньшие значения основных допускаемых напряжений [а]). Достоинство рассматриваемого метода расчета в его универсальности, поскольку он применим для всех значений гибкости, указанных в таблице коэффициентов ф, т. е. независимо от области применимости формулы Эйлера. Расчет по нормам строительного проектирования может быть проверочным, проектным и для определения допускаемой нагрузки: — проверочный расчет: а = — < ф[а]; (13.18) А — проектный расчет: <13Л9> — определение допускаемой нагрузки: [F] = q>[a] А. (13.20) При проектном расчете применяется метод последовательных приближений, т. к. в начале расчета значение коэффициента ф, зависящего от гибкости и, следовательно, от размеров поперечного сечения стержня, неизвестно. Местные ослабления нагруженного сжимающей силой стержня (отверстия под заклепки, технологические отверстия и т.п.) практически на его устойчивость не влияют и в формулах (13.18)-(13.20) следует учитывать полную площадь сечения без ослабления, т. е. А брутто. Пример 3. Подобрать сечение сжатого стержневого элемента конст рукции, состоящего из неравнобокого уголка (рис. 13.9). Материал сталь СтЗ, [а] = 160МПа. Концы стержневого элемента считать закрепленны ми шарнирно. Определить также коэффициент запаса устойчивости прй полученных размерах сечения. решение. расчет ведем по коэффициентам продольного изгиба <р: 1. Первое приближение. Принимаем в первом приближении ф^О.6, 0 тогда площадь поперечного сечения § составного стержневого элемента определится из условия (13.19): F Ах >—-—; 50 103 =5,21 Ю-4 м2. 1 0,6 160 10е F = 50 кН -рч 11 / / / ' / У X • —i- Ь "fTmfJ Рис. 13.9. Расчетная схема стержневого элемента Требуемая площадь сечения одного уголка есть А =5,21 10~4 м2 =5,2см2. По ГОСТ 8510-93 уголок номер 6,3/4,0 с толщиной полки t = 6 мм (Б = 63 мм, Ь = 40 мм) имеет Гибкость стержня с данными уголками: ^ = 1800 = 162 imin 1Д1 Определяем коэффициент ф для стержня с гибкостью >. = 162 потабл. 13.1 методом интерполяции (при X = 160 — ф = 0,29, при А. = 170 — ф = 0,26): =0,29-^^ 2 = 0,284, где Ф1лшв отличается от ф! значительно. 2. Второе приближение. При втором приближение берем среднюю величину между ф! и ф1тав: Ф1 + _ 0,6+0,284 _0112 Из условия устойчивости (13.19) определим новое значение площади поперечного сечения: 50 103 = 7,01 10 4 м2 =7,01 см2. ф2[о] 0,442 160 10е Требуемая площадь сечения одного уголка: А2 = 7,01 см2. По ГОСТ выбираем уголок номер 6,5/5 площадью А2 = 7,62 см. Определяем гибкость стержня (imin = iy = 1,45 см): Х = 1800/14,5 = 124. Для ф = 0,45 — X = 120, ф = 0,4 — X = 130 =0,4-^^4 = 0,38. I 3. Третье приближение. Подсчитываем среднее между ф2 и ф2та¦5: т _ — условие устойчивости выполнено, недогрузка составляет 66-65,6 Л-«> F G = — = - <4 ? 100% = 0,01%. Прекращаем расчет по методу последовательных 66 приближений на данных размерах сечения. 4. Для определения коэффициента запаса устойчивости необходимо подсчитать критическое напряжение, соответствующее потере устойчивости стержня. Для материала СтЗ Я.„р=100, поэтому в данном случае можно применить формулу Эйлера (X > Хпр): л2Е ЗД42 2,1 105 = 122,5 МПа. 1302 т. к. для ф = 0,4 — X = 130. Рассчитываем рабочий коэффициент запаса устойчивости: " о 65,6