УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЕЙ Задача Эйлера
Понятие равновесия устойчивого и неустойчивого относится как к твердым телам, так и к стержневым системам, пластинам, оболочкам. Шарик (рис. 13.1а), расположенный на дне вогнутой сферы, находится в состоянии устойчивого равновесия, как при малом его отклонении, так и при большом отклонении. Шарик (рис. 13.1 б), находящийся на вершине выпуклой сферы находится в состоянии неустойчивого равновесия (любое малое или большое его отклонение из этого положения вызовет потерю устойчивости). Шарик (рис. 13.1 в) на горизонтальной плоскости находится в состояние безразличного равновесия. Шарик (рис. 13.\г) в лунке на вершине выпуклой сферы имеет устойчивость при малых его возмущениях и неустойчивость при значительных смещениях из этого положения. Прямолинейная форма равновесия упругого стержня, заделанного нижним концом и нагруженного центрально приложенной внешней сжимающей силой F, при некотором значе- нии этой силы может оказаться неустоичивои и стержень резко искривится (рис. 13.2). i Рис. 13.1. Иллюстрация понятия устойчивости равновесия: устойчивость в малом и в большом — а; неустойчивость в малом и в большом — б; безразличное равновесие — в; устойчивость в малом,но неустойчивость в большом — г В реальных условиях всегда существует причины, из-за которых может произойти отклонение от исходного равновесного состояния. В сопротивлении материалов принято считать, что форма равновесия упругой стержневой системы, является устойчивой, если будучи выведенной из состояния равновесия каким-то малым возмущением (силой, перемещением, ...), система сохраняет свое состояние. При потере устойчивости система может вести себя по-разному, чаще всего это явление сопровождается большими перемещениями в конструкции или полным разрушением. Возможен случай, когда при потере устойчивого положения равновесия в системе возникают колебания. Наиболее ярко потеря устойчивости проявляется в легких тонкостенных конструкциях: сжатых оболочках, тонких стенках и т.п. Для увеличения устойчивости усиливают их изгибную жесткость, подкрепляя конструкции стрингерами, нервюрами. Устойчивость формы равновесия упругой стержневой системы зависит от ее размеров, конструктивного исполнения, материалов, величин и направлений внешних сил. Величины сил, напряжений, при которых первоначальная форма равновесия упругой стержневой конструкции становится неустойчивой, называются критическими. Понятие устойчивости стержневой конструкции не тождественно понятию прочности. Так сжатый стержень может потерять устойчивость при сжимающих напряжениях, меньших предела текучести, т. е. при сохранении в классическом понятии своей прочности. Для анализа устойчивости основной моделью стержневой конструкции является следующая: — ось сжатого стержня строго прямолинейна; — материал однороден; — силы действуют строго вдоль оси стержня; — такой идеальной системе сообщается малое (очень малое) отклонение от положения равновесия. Если после устранения причин, вызвавших отклонение, система возвращается к исходному состоянию равновесия, то это состояние равновесия считается устойчивым. Силы инерции, возникающие при этом не учитываются. Рассмотрим равновесие стержня, сжатого центральной силой F (рис. 13.3). Эту важную для инженерной практики задачу о продольном изгибе прямого стержня решил в середине XVIII в. Леонард Эйлер. Пусть по какой-то причине сжатый стержень несколько изогнулся (рис. 13.3). Проанализируем условия при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью. Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид d2y^ Мх dz2 MJX' изгибающий момент в сечение с координатой z равен: Mx=-Fy. Подставим это выражение изгибающего момента в уравнение упругой линии, получим d2y { Fy dz2 MJr ?У = 0. (13.1) тогда (13.1) перепишется в виде d2y + Wy = 0. dz2 Обозначим 9t2 = - EJr (13.2) Решение этого обыкновенного дифференциального уравнения есть функция у = Cicos9tz + C2 sin 3iz, (13.3) где произвольные постоянные С^Сг определяются из граничных условий: у = 0 при 2 = 0, следовательно, 0 = Сх + С2 0, т. е. Сх = 0; у = 0 при z = l, т. е. C2sin9t/ = 0. (13.4) Условие (13.4) выполняется при С2 = 0 или при sin9M = 0. Положив С2 = 0 мы получили исходную форму равновесия — прямолинейный стержень с у = 0, что не соответствует условию задачи. Рис. 13.3. Расчетная схема задачи Эйлера Условие sin9^ = 0 выполняется при 3il = nn; где п — целое; п = 1, 2, 3 ... (п = 0 дает F = 0, что также не соответствует условию задачи). При п = 1 мы получаем минимальное значение сжимающей силы (носящей название первой критической, или эйлеровой силы), при которой сохраняется равновесие изогнутого стержня: F=FKp=4R2 EJx= р х, (13 5) где под Jx понимается минимальный момент инерции поперечного сечения Jmin. Если сжимающая сила меньше критической силы FKp, то для стержня возможна только прямолинейная (первоначальная) форма равновесия, которая тогда является устойчивой. Формула (13.5) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Для стержней с произвольным закреплением концов формула Эйлера приобретает вид n2EJn]in кр (цО2 ' (13,6) где Jmin — минимальный момент инерции поперечного сечения, ц — коэффициент приведения длины, зависящей от способов закрепления концов стержня (рис. 13.4). Произведение \il носит название приведенной длины стержня. Определение приведенной длины для стержней с различными способами крепления концов рассмотрим на примере стержня, жестко заделанного нижним концом (рис. 13.5). Возможная форма равновесия стержня АВ длины I при F = FKp имеет вид (пунктир), показанный на рис. 13.5. Из сравнения рис. 13.3 и рис. 13.5 видно, что стержень длинной I с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 21 с шарнирно закрепленными концами, ось которого показана на рис. 13.5 пунктиром, т. е. ц = 2. Формула Эйлера, выведенная на основе закона Гука, применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня апц. Из формулы (13.6) следует FKP к2Е 0kp=~A=U~' (13-7) где A-^pi/imin — гибкость стержня ,i^n=y[j~JA —минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня. Рис. 13.4. Определение коэффициента приведения длины (i в зависимости от способа закрепления стержня длины I Рис. 13.5. Схема определения приведенной длины для жестко закрепленного одним концом стержня Условие применимости формулы Эйлера окр<спц (13.8) обычно выражается через гибкость стержня Ь>Кр, (13.9) где A.np — предельная гибкость, зависящая только от физико-механических свойств материала стержня: При использовании в расчетах формулы Эйлера должна быть произведена проверка ее применимости (условия 13.8 или 13.9). Допускаемая нагрузка при оценке устойчивости Fy=FKp/[n]y, (13.11) где [п]у — требуемый коэффициент запаса устойчивости Пример 1. Проверить на устойчивость сжатую стойку трубчатого сечения (рис. 13.6). Принять <зпц = 540 МПа, ? = 2,15106 МПа (хромомолиб-деновая сталь), коэффициент запаса устойчивости [п\у = 3,5. Подсчитаем предельную гибкость материала стойки: 62,7. р Vопи \ 540 2. Определяем гибкость стойки: 50 по схеме рис. 13.6 d = 60 мм, с = ^ = 0,83; ^nun = Хпр), то критическую силу определяем по формуле Эйлера: п2Е^п _ 3,142 (2,15 105 • 106) 298850 • 10 (ц02 - = 206,8 кН. FKP = (0,7 • 2,5)2 Здесь при расчете принято: модуль упругости ? = 2,15 105 МПа = 2,15 105 10е Н/м2, J^ = 298850-Ю-12 м4, I = 2,5 м, поскольку все размерные величины в формулах должны представляться в одной системе единиц (по возможности в СИ). 4. Определяем фактический коэффициент запаса устойчивости: _ FKp 206,8 Пу F 50 F=50kH 060 050 = 4,14. Вывод. Фактический коэффициент запаса устойчивости («^ = 4,14) больше требуемого ([п]„ = 3,5), т. е. условие устойчивости выполняется. Ш77Ш7777Г ц = 0,7 Рис. 13.6. Расчетная схема стойки