Ранее были последовательно рассмотрены случаи нагруже-ния стержневых систем на растяжение-сжатие, кручение, изгиб. Нагружение бруса в любой совместной комбинации данными нагрузками (растяжение и кручение, кручение и изгиб и т.п.) называется сложным сопротивлением. Напряженно-деформированное состояние конструкции в этом случае на основе принципа независимости действия сил есть суперпозиция напряжений и деформаций от воздействия каждого силового фактора в отдельности (при этом конечно, предполагается, что деформации малы, а материал работает в области упругости, т.е. подчиняется закону Гука). В инженерной практике наибольший интерес представляют такие случаи сложного нагружения, как косой изгиб, изгиб с растяжением (сжатием) и изгиб с кручением, представленные ниже. 11.1. Косой изгиб Под косым изгибом понимается такой вид изгиба, когда силовая плоскость действия внешних нагрузок (рис. 11.1) не совпадает ни с одной из главных плоскостей балки (главная плоскость содержит ось балки и одну из главных осей инерции сечения). Возникающее при косом изгибе напряженно-деформированное состояние проиллюстрируем на примере консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой (рис. 11.2). Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух главных плоскостях xz и yz. Для наглядности рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, возьмем произвольное ее сечение на расстояние С, от конца консоли. Разложим изгибающую силу F на составляющие: Fx = -F sina; Fy = -F cosa. (11.1) В сечении с координатой ? (отсчет ведется справа налево) имеем сочетание двух плоских поперечных изгибов, каждый из ко- Косой изгиб консольной балки прямоугольного поперечного сечения торых происходит в своей главной плоскости. В этом сечении изгибающий момент относительно оси х численно равен: Мх = FyC, = Fcosa • <;. Изгибающий момент относительно оси у численно равен: Му =FX q-Fsina c,, (11.2) тогда напряжение в произвольной точке сечения с координатами х, у определяется как суперпозиция нормальных напряжений от двух плоских поперечных изгибов: Мх Му o = -rLy+~yLx-, (11.3) Jx J у или У х . —-cosa +—sina yJX Jy J Уравнение нейтральной линии в исследуемом сечении найдем, положив а = 0, т. е. У=~х Ytga' (11-4) "у т. к. в общем случае Jx то можно сделать вывод, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к линии действия силы F. Так как нормальные напряжения в поперечном сечении при косом изгибе распределены линейно (11.3), то максимальное о-М нормальное напряжение возникает в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии, пусть эта точка имеет координаты xv У\, тогда условие прочности при косом изгибе принимает вид Мх Му Omax=-^Lyi+-JLX1<[o]. (11 5) Это условие прочности позволяет как и в случае поперечного изгиба решить три основных типа задач: — проверочный расчет; — подбор сечения балок; — установление допускаемых внешних нагрузок. Касательные напряжения в поперечном сечении, как и раннее, подсчитывают по формуле Д.И. Журавского: (11.6) Jyb(x)' у Jxb(y) В случае консоли, нагруженной одной силой F (рис. 11.2) Qx = Fx; Qy = Fy (численно). Полное касательное напряжение в точке есть геометрическая сумма \х и ту: Перемещения при косом изгибе определяются раздельно в разных плоскостях (хг и yz). Так составляющие проги- Рис. 11.2. Разложение косого изгиба на два плоских поперечных и положение нейтральной линии составляющие конца консоли (рис. 11.2) определяются так: / e Fxl3 F sincc Z3 § —___=_; 3EJy 3EJy . Fy-l3 Fcosal3 (П.7) Ьу = —— = —--. 3EJX 3EJx Полный прогиб есть § = I Направление полного перемещения определятся отношением Ьх/Ьу или: 6, Fsina-3EJX Jx S„ Y 3EJyF cosa Jy (П-8) Сравнение (11.4) и (11.8) показывает, что направление полного прогиба при косом изгибе перпендикулярно к нейтральной линии и в общем случае, не совпадает с направлением внешней силы F (рис. 11.2). Пример 1. Определить наибольшие напряжения в двухопорной балке, нагруженной вертикальной силой F и горизонтальной силой F. Сечение балки — прямоугольник со сторонами b и h = 2b (рис. 11.3). Решение. Для данной балки необходимо определить по отдельности напряжения от изгиба в главной плоскости уг (вертикальной), в главной плоскости хг (горизонтальной) и оценить их суперпозицию, т. е. фактически выполнить все те же действия, что мы ранее разбирали при косом изгибе консольной балки, нагруженной одной силой. 1. Рассмотрение условий равновесия балки от плоской системы сил, действующей в вертикальной плоскости (3 уравнения равновесия), а затем и в горизонтальной плоскости (также 3 уравнения равновесия) позволяет нам определить реакции в опорах (на рис. 11.3 они приведены к оси балки). 2. Раздельно строятся эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Рассмотрим наиболее загруженный средний участок балки. На расстоянии г от левой опоры имеем: Mx=-Fz-F(z-l) = ?-(3l-zy, о о F Рис. 11.3. Расчетная схема и эпюры изгибающих моментов для двухопорной балки Наиболее нагруженными на сжатие будут точки на ребре АВ а на растяжение - на ребре CD. Для точек ребра CD Ci/x - У™а*. *i Мх u My щ, где b(2i»2_2b3 —T' 6 3 Окончательно получаем: c *<8!+z). CTmax з wx 3 W„ 2b3 На двух крайних участках нормальные напряжения будут меньше, а для среднего участка условие прочности примет вид (при г - 21): 5f / , п 11.2. Изгиб с растяжением (сжатием) В случае, когда на брус одновременно действуют внешние силы, направленные как поперек его оси, так и вдоль (рис. 11.4), то в поперечных сечениях возникают следующие внутренние силовые факторы: изгибающие моменты Мх и Му< поперечные силы Qx и Qy, а также продольная сила N. На основе принципа независимости действия сил нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения бруса определяется формулой Рис. 11.4. Изгиб с растяжением СТ = ±—±-- A Jr м„ ?х, (11.9) где знаки «плюс» или «минус» ставятся в зависимости от того, растяжение или сжатие вызывается в данной точке сечения соответствующим силовым фактором. Касательные напряжения в этом случае рассчитываются по формулам (11.6) для косого изгиба. Условие прочности при изгибе с растяжением (сжатием) составляется для наиболее загруженных точек поперечного сечения на растяжение (сжатие): К ?У1±-г-Хх<[с1 A Jr где А— площадь поперечного сечения, хх, ух— координаты точки, наиболее нагруженной на растяжение (либо сжатие). Замечания. 1. Если допускаемые напряжения [а] на растяжение и сжатие разные, то это необходимо учесть в расчете. 2. При прочностном расчете монолитных балок влиянием касательных напряжений часто пренебрегают. 11.3. Внецентренное растяжение (сжатие прямого бруса) Деформация бруса — изгиб с растяжением или сжатием реализуется при внецентренном приложении внешней нагрузки F, параллельной оси. Рассмотрим прямой брус, нагруженный сжимающей силой F (рис. 11.5). Для определения внутренних силовых факторов в произвольном поперечном сечение силу F приводим к центру тяжести сечения. При таком приведении сил в центре тяжести сечения действуют: сжимающая сила N = -F и изгибающий момент, составляющие которого равны: Мх = Fly; Му = Flx, где 1Х, 1у координаты точки приложения силы F (эксцентриситет действия силы). Условие прочности при сжатие будет иметь вид N Мх Му -----г/i— A Jr J„ где [а] допускаемое напряжение на сжатие, Ух — координатой точки, наиболее нагруженной на сжатие. Но при таком нагружении в сечение могут быть и области, нагруженные на растяжение. Уравнение нейтральной линии из (11.11) примет вид Мг F Мх — +—- A Jr Выразим моменты инерции поперечного сечения через радиусы инерции этого сечения: Jу =iyA; Jх =ixA, (11.13) тогда уравнение (11.12), сократив его члены на N/А Ф 0, можно представить в виде 1г -Ь=о. (11.14) Выражение (11.14) характеризует прямую, смещенную относительно центра тяжести сечения. Расстояние нейтральной линии от центра тяжести и размер области сжатия и (возможно) растяжения в сечение зависят от эксцентриситета нагрузки, т. е. координат 1Х и 1у. В инженерной практике часто необходимо оценить то максимальное значение эксцентриситета нагрузки F, при котором касаться сечения. Зона около центра тяжести сечения, bhvt которой приложение силы F вызывает во всех точках поперед ^ го сечения напряжения одного знака, называется ядром В строительстве, например, крайне важно определение сечения при возведении колонн, опор из материалов, плохо с противляющихся растяжению. ^ яДер У 4° X С' Нейтральная линия Рис. 11.6. К определению ядра сечения для бруса круглого поперечного сечения Пример 2. Определить размерь, ядра сечения для бруса, имеющего круглое сечение с радиусом Л. Решение. По условиям симметрии ядро сечения должно иметь форму круга Пусть радиус этого круга — г, а нейтральная линия касается контура сечения (рис. 11.6) в т. С (ОС = R), в т. F, приложена сила F: xF = 0, yF = ly = г. Если имеется прямая ах + Ьх + с = О, то расстояние от начала координат (т. О) до этой прямой (т. С) определяется выражением С V^fr2' •2 Я2 (, =—, имеем 1 4 ОС = лД4 Из уравнения (11.14) учитывая что А = nR2: Jx = R2\ 4 R = ir, таким образом радиус ядра равен R г = —. 4 11.4. Совместное действие изгиба и кручения Сочетание изгиба и кручения имеет место в валах машин, коленчатых валах и других конструкциях и элементах машин и механизмов. При совместном действии изгиба и крУ4® ния в поперечных сечениях возникают такие силовые факТ® ры, как изгибающий момент М, поперечная сила Q, крутяШи0 момент Т. 7. Совместное действие нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении при изгибе с кручением Рассмотрим вал (рис. 11.7) круглого поперечного сечения. Тогда от действия изгибающего момента М в сечении возникают нормальные напряжения, максимальные значения которых в краевых зонах сечения равны _ М "max — Т17. • Woc Касательные напряжения от действия крутящего момента Т также достигают своего максимального значения в краевых зонах поперечного сечения: Т Xmax'wp' Касательными напряжениями от действия поперечной силы Q обычно при этом пренебрегают в силу их малости по сравнению с напряжениями, вызванными крутящим моментом. Для круглого сечения осевой и полярный момент сопротивления соответственно равны: WK = 7ti?3/4; Wp = тсД72, Т'е-^Р = 2^ = 2^ = 2^. 1 аким образом выделенный в точке А элемент у поверхно-и вала (в плоскости действия изгибающего момента) испытает плоское напряженное состояние (рис. 11.7), поэтому