РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
К расчету балок на жесткость Разработка инженерных методов оценки прогибов и углов поворота поперечных сечений балочных конструкций необходима прежде всего для проверки условий жесткости, т. е. таких условий работы, при которых максимальный прогиб и максимальный угол поворота поперечных сечений не превосходят их допускаемых значений: Ушах = ^шах — [у1 Фтах ^ [ф]. (9-21) где [у] и [ф] — допускаемые для данной конструкции значения прогиба и угла поворота поперечного сечения (девиации). При расчете балок на жесткость эти величины должны быть заданы. Они подбираются на основе опыта создания и эксплуатации конкретных конструкций в различных отраслях техники. В строительстве допускаемое значение прогиба принимается обычно как 1/500 -I, где I— величина пролета балки или длина консоли. В машиностроении допускаемое значение прогиба назначается в пределах 1/1000-/... 2/1000-i, где I — характерный размер балки. В приборостроении требования к жесткости еще выше, они во многих случаях являются даже основными, поскольку для абсолютного большинства механических элементов приборов геометрические параметры поперечных сечений определяются из расчета на жесткость, а не на прочность. Значения допускаемых величин прогибов и девиаций принимаются, как правило, следующие: для прогиба [у] = 2/10000 /, а для девиации [ф] = 5/10000. Здесь I — характерная длина изгибаемого элемента. Ранее в разделе 9 частично были рассмотрены вопросы, связанные с понятием статической неопределимости, но для решения большинства встречающихся на практике задач описанные приемы оказываются недостаточными. Один из наиболее распространенных в инженерной практике методов раскрытия статической неопределимости конструкций — метод сил. Метод сил применяется для раскрытия статической неопределимости в стержневых системах, т. е. в конструкциях, состоящих из элементов, имеющих форму бруса. Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или сжатие, то стержневая система называется фермой (рис. 10.1а). Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники, нагрузка в ферме обычно прикладывается в узлах. Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамой (рис. 10.16, в). В этом разделе будут подробно разобраны плоские системы (рис. 10.1а, б), т. е. рамы или фермы, у которых оси всех составляющих элементов расположены в одной плоскости, которая одновременно является главной плоскостью сечений и в которой действуют внешние силы (и реакции опор). I, Рис. 10.1. Плоская ферма — а; плоская рама — б; пространственная рама — в Далее, под степенью статической неопределимости стер^. невой конструкции понимается разность между общим числом реакций связей и количеством уравнений статики, которые можно составить для данной системы сил. Введение, например, для балок дополнительных опорных закреплений приводит, с одной стороны, к уменьшению по сравнению с подобной статически определимой балкой величин наибольшего изгибающего момента и прогиба, т. е. повышает прочность и жесткость, а с другой стороны, возможное (например, при сборке) незначительное смещение одной из опор относительно другой в направлении, перпендикулярном оса балки, приводит к резкому возрастанию напряжений в балке. Связи в стержневых системах делят на связи внешние и внутренние. Так балка, изображенная на рис. 10.2а, б имеет одну лишнюю связь. Замкнутый плоский контур (рис. 10.2в, г) трижды внутренне статически неопределим. Путем освобождения стержневой системы от лишних связей и приведения ее к статически определимой можно получить так называемую основную систему. Процесс приведения исходной стержневой системы к основной должен проводиться так, чтобы, во-первых, основная система была статически определима, а, во-вторых, геометрически неизменяема. Так в раме (рис. 10.3а), имеющей одно лишнее опорное закрепление, было бы ошибкой принять основную схему рис. 10.36, так как при этом рама как целое могла бы поворачи- I ваться относительно левой опоры. Схема на рис. 10.Зв — правильная. ( Если в стержневой системе есть шарнир, то он не препятствует свободному повороту сходящихся в нем стержневых элементов, но снимает одну связь (рис. 10.4). Таким образом переход от исходной стержневой конструкции к основной, т. е. раскрытие статической неопределимости начинается с отбрасывания дополнительных связей (внешних и внутренних). а ~Ж rfh R Q=X2 Х3=М/ Uf=x Я=Х2 Х~У X V Рис. 10.2. Один раз статически неопределимая балка — а; ее основная схема — б; трижды статически (внутренне) неопределимый замкнутый контур — в; его основная схема — г Исходная один раз статически неопределимая рама — а; неверный вариант основной системы — б; верный вариант основной системы — в Рис. 10.4. Раскрытие внутренней статической неопределимости в месте шарнира Для каждой статически неопределимой конструкции можно подобрать, как правило, произвольное число основных систем. Наиболее рациональный выбор основной системы приобретается с опытом. Итак, вместо связей введены неизвестные силовые факторы (в тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, — это сила, а где запрещены угловые перемещения вводятся моменты). Неизвестные силовые факторы будем обозначать Xt, где i — номер неизвестного фактора. Для внутренних связей силы Xj являются взаимными. Так в раме (рис. 10.2г, 10.4) равные и противоположные силовые факторы прикладываются как к правой, так и к левой частям конструкции. 10.2. Канонические уравнения метода сил При применении метода сил для раскрытия статической неопределимости составляются канонические уравнения метода сил. Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно представить в следующем виде А, = Aj{-X"i> Х2, ... ,Х„, F} = - AniXJ + Al2(X2) + ... + 4 (Хп) + AtF = 0, (10.1) где Aj — полное перемещение конструкции в направлении i-ого силового фактора в месте его приложения, Atk _ перемещение конструкции в направлении г-ого силового фактора от действия силового фактора Xh, AiF — перемещение точки приложения г-ого фактора в его направлении от действия внешней системы сил {F} = Fi, ... , Fn, т. е. мы имеем основную статически on делимую систему, нагруженную заданными силами {F} и пе циями отброшенных связей. Эта система полностью эк» валентна исходной статически неопределимой и носит назван эквивалентной системы. Условие эквивалентности основной 6 исходной (заданной) стержневой систем сводится согласи (10.1) к удовлетворению системы п алгебраических уравнений 5П + Х2 812 + ... + Хп 8ln + = 0, Х2 621 + Х2 822 + ... + Хп 82„ + A2F = 0, Х2 8п1 + Х2 8„2 + ... + Хп 8nn + АпР = 0, где обозначив через Хк реакцию k-ой связи, перемещение Д. выражено через единичное перемещение 5ik: = Xk 8ik, где bik есть перемещение по направлению i-ого силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего каждый силовой фактор. Уравнения (10.2) носят названия канонических уравнений метода сил, поскольку составляются по определенному канону (правилу). Число неизвестных в системе уравнений (10.2) равно числу уравнений или степени статической неопределимости исходной стержневой конструкции. Единичные перемещения 8U называются главными перемещениями, 5ik— побочными (i^k). Для определения коэффициентов Ь1к необходимо построить эпюры изгибающих моментов Mt и Мк от действия силовых факторов Xt = 1 и Хк = 1 соответственно. Единичное перемещение Ъ1к есть перемножение эпюр Mt и Мк: rMkMj , Грузовое перемещение AjF определится умножением эпюры Mt на грузовую эпюру MF: ?M,MF -dz• (10.4) / EJX В выражениях (10.3) и (10.4) пренебрегаем влиянием попе' речных и продольных сил при вычислении перемещений. Оче видно, также из (10.3), что 8ik = 8W. Пример 1- Проверить прочность заданной балки (рис. 10.5а) при - 150 МПа. Сечение балки — двутавр № 40, длина балки 1 = 6 м. решение. для оценки прочности необходимо оценить загруженность балки, т. построить эпюру изгибающего момента и найти его максимальное зна-ееНйе> а для этого нужно знать величины реакций в заделке и опоре. 1 Балка один раз статически неопределима. Один из вариантов выбора основной системы — это отбрасывание шарнирно-подвижной опо-ры (рис- Ю.56, в). 2. Для определения неизвестного составляем каноническое уравнение метода сил (в данном случае одного неизвестного, система (10.2) превращается в одно уравнение): X, • 5, + AlF = 0. 3. Эпюра изгибающего момента от заданной нагрузки {F} (в данном случае это распределенная нагрузка q) для основной системы представлена на рис. 10.5г. 4. Прикладываем к основной системе единичную силу по направлению силового фактора Xj и строим эпюру М, (рис. 10.5е). 5. Умножаем эпюру саму на себя и находим: bim±J(lu\h-. 13 EJX\2 J 3 3EJ Перемножаем эпюры М] и MF A 1F=- ¦»JL 4 EJX Подставляем полученные значения 5ц и Alf в каноническое уравнение Х1 ? I3 /3EJX - ql4/8EJX = 0 или = 3/8 ql. 7. Основная система, нагруженная внешними заданными силами (распределенная нагрузка q и найденная реакция X,) показана на рис. 10.Ъж. Из условия равновесия балки под действием плоской системы сил (Яд, МА, q, Х^ = 3/8 ql) определим реакции в заделке: Дд= 5/8 ql, МА = ql2/S. 8-Строим эпюры поперечной силы изгибающего момента (рис. 10.5з, и). Опасное сечение в заделке: Wx = 953 см3 (для двутавра № 40): -ql2 0max = 8-= (ЗОЮ3 6^) = 10б 141 6 Н = Ы2 мш Wx (8 953 (10 2)3) м2 нельзя отбросить вертикальную составляющую реакции в т. А (систе^ может вращаться вокруг опоры В). 1. Отбросим опору С (можно опору В) и заменим ее силой % (рис. 10.6(5) — основная система. 2. Основная система, нагруженная силой F и грузовая эпюра пред. ставлены на рис. 10.бе, г. 3. Основная система, нагруженная единичной силой, приложенной взамен X! и единичная эпюра Mj представлены на рис. 10.63, е. 4. Каноническое уравнение метода сил имеет вид Xj-5 п + A1F = 0. 5. Умножаем эпюру М, на саму себя: 1 EJX (а > 2 , " 2 —а -а+(аа)а _ I2 J 3 5 а3 3EJX 6. Перемножаем грузовую эпюру MF и единичную Мх для определения грузового перемещения (фактически рассматриваем только правую половину балки АВ): (1 ЛП 2 Ma2 -a-— ka =--, 2 2 3 6EJr 7. Решая каноническое уравнение, получаем 10а 8. Рассматриваем условия равновесия основной системы и определяем опорные реакции (рис. ДО.вж). 9. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 10.6з). Пример 3. Для заданной рамы (рис. 10.7) раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры внутренних силовых факторов, жесткость на изгиб EJX всех участков одинакова. Al F=- EJr ч я 2 а ... 7 —»> — - L ^з V '/fjM, vrjn/r. v/ш Г а Выбор основной системы для рамы: заданная конструкция — а; первый вариант основной системы — б; второй вариант основной системы — в Решение. 1. Во многих аналогичных задачах при раскрытии статической неопределимости имеет смысл за основную систему принять вариант, изображенный на рис. 10.76. Но в данной задаче при симметричном действии внешней нагрузки q рациональнее использовать симметрию рамы и нагрузки и выбрать за основную систему схему, представленную на рис. 10.7в. Рама при этом «разрезается» по оси симметрии, а лишними неизвестными в этом случае будут внутренние силовые факторы — продольная сила Xlf поперечная сила Х2 и изгибающий момент Х3. 2. Канонические уравнения метода сил примут для трех неизвестных Хи Х2, Х3 вид: Первое уравнение характеризуют отсутствие смещения в месте разреза левого и правого сечений в горизонтальном направлении, второе — в вертикальном, третье — отсутствие поворота этих сечений друг относительно друга. 3. Строим грузовую эпюру изгибающего момента MF (рис. 10.8а). Эпюры изгибающих моментов от единичных силовых факторов пред- /вч' 7 mm у/ж в Рис. 10.8. Эпюры изгибающих моментов в основной системе: грузовая эпюра MF — а; эпюра М, — б; эпюра М2 — в; эпюра М3 — г