Метод начальных параметров Интеграл Мора Правило Верещагина
В инженерной практике большое значение имеет оценка прогибов и сопоставление их наибольших значений с допуска-емыми, определяемыми условиями работы балки, т. е. расчет балок на жесткость. Опираясь на гипотезу малости деформации, можно считать, что tg ip = ф и, следовательно, / ч dy ~dz' (9-D Из аналитической геометрии известно, что радиус кривизны р(z) кривой у = y(z) выражается как 1=± d2y/dz2 р [1 Hdy/dzff2' Ввиду малости деформаций (у'= dy/dz « 1) это выражение упрощается: 1 А2 у Г л?' (9'2) При вводе формулы нормальных напряжений при изгибе была получена зависимость: 1 мх Р EJX тогда окончательно две последние формулы позволяют получить дифференциальное уравнение упругой линии или дифференциальное уравнение изгиба балки в виде: d2y_ Мх dz2 EJ X В формуле (9.3) учтено, что положительный изгибающий момент (сжатые волокна сверху) соответствует положительной кривизне балки. Значения прогибов балки получаются таким образом двукратным интегрированием уравнения (9.3). В уравнении (9.3) под Мх следует понимать его аналитическое выражение как функцию от координаты z — Mx(z). Проинтегрировав один раз уравнение (9.3), получим зависимость углов наклона касательных к упругой линии <р, равных углам поворота поперечных сечений. В результате второго интегрирования получаем уравнение упругой линии (уравнение прогибов). Пример 1. Определить прогиб консольной балки длины I под действием F. Жесткость балки на изгиб EJX. решение. 1. Эпюры Q, Мх по длине балки првдставлены на рис. 9.2. Аналитическое выражение для изгибающего момента по всей балке (см. сечение с координатой г на рис. 9.2): М, = -Гг. Q = F ь M=Fl г. О l,EJt груза О ЙЮ 2. Уравнение (9.3) для нашего случая запишется в виде d?y = Fz dz2 ~ EJX' 3. Интегрируя один раз, получим выражение для угла поворота поперечных сечений: dz ^ ' EJX{ ? 2EJr где С — константа интегрирования, определяемая из граничных условий (в нашем случае жесткого крепления правого торца балки ф = О при г = I): Fl2 F12 Рис. 9.2. Расчетная схема консольной балки Таким образом 4. Интегрируя еще раз полученное выражение для (р(г), определим прогибы балки y(z): Константу интегрирования D определяем из условия равенства нулю прогиба при z = I: Аналитическое выражение для прогиба примет вид Fz3 Fl2z Fl3 По всей длине балки координаты прогиба у(г) отрицательны, макс мальный прогиб (перемещение конца консоли при 2 = 0) численно рав ymax = 6 = Fl3/3EJx. Заметим, что если балка имеет несколько участков нагру жения, то определение ее упругой линии непосредственны интегрированием дифференциального уравнения (9.3) стано вится сложным из-за необходимости нахождения большого числа произвольных постоянных из граничных условий. По этому в общем случае нагружения балок упругую линию, как правило, ищут другими методами, где упрощено нахождение постоянных интегрирования. Разбиение балки на характерные участки нагружения сосредоточенный момент, так и сосредоточенная сила F (при г = Ь), на четвертом участке в уравнение изгибающего момента войдет слагаемое от равномерно распределенной нагрузки q (начало ее приложения г = с), при этом ее окончание (г = d), соответствующее началу пятого участка, моделируется как бесконечным ее продолжением, так и приложением такой же, но противоположно направленной нагрузки (от z = d до бесконечности), и т. д. 2. Составим выражение изгибающих моментов для каждого из участков: Участок 1 — Мх = 0 (0 < 2 < а) -МХ = М = M(z -a)°(a. (9.6) Поскольку из формул (8.3), (8.9) следует, что dz = рс*ф 0 1/р = MJEJ х, то энергия данного бесконечно малого элемента определяется как JTJ 1 M2xdz du-2l5Г <9Л) Это выражение получено для случая чистого изгиба. ПРЙ поперечном изгибе энергия деформации от поперечных сил СУ" щественно меньше энергии от изгибающих моментов. Во мно гих практических расчетах энергией деформации от попере4 ных сил пренебрегают, ниже представлено ее выражение, гД ; фИциент k характеризует форму поперечного сечения я прямоугольного сечения, например k = 1,2): jc И I™ kQydz 2GA бал- dU = (9.8) вычисления энергии деформации балки в целом необ-о?мо подсчитать интеграл от dl/ по всей длине балки. Если имеет несколько характерных участков нагружения, на ясдом из которых изгибающий момент Мх, поперечная сила л имеет свои аналитические выражения, то с учетом поперечных сил полная потенциальная энергия деформации балки определяется следующим выражением и=Ц 1 h где i — число характерных участков нагружения, lt - длина соответствующих участков интегрирования. В большинстве практических расчетов в выражении (9.9) учитывают только первую группу слагаемых. В основу наиболее общей методики определения перемещений балки при изгибе положена теорема Кастильяно: частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы. Здесь под перемещением точки по направлению силы понимается полное перемещение точки как от действия самой силы, приложенной в этой точке, так и от воздействия других сил, действующих на конструкцию. Для доказательства рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольной системой сил Flf F2, ... , Fn и закрепленное так, чтобы было исключено его перемещение как жесткого целого (Рис. 9.8). Обозначим полную потенциальную энергию деформации, накопленную в теле U. Дадим произвольной силе Ft элементарное приращение dF,. При ®Том потенциальная энергия полу-ЧИт приращение: dU = (dU/dFi)dFi. Для Рис. 9.8. Произвольное тело под действием внешней системы сил Flt... F Новое значение потенциальной энергии будет U+dU = U+QU/bFl)-dFi. (9.10) Поменяем порядок приложения сил. Вначале приложим к телу силу dFt. Пусть dbt — проекция элементарного перемещения на направление силы dFt, вызванного этой силой. Тогда работа силы dFl на вызванном ею перемещении <28, равна: \/2dFi d&i. Приложим теперь к телу всю систему сил Flt F2,... , Fn. При этом тело получит дополнительно к энергии U (от системы сил Fu F2, ... , Fn) приращение, равное работе силы dFf на перемещении 8„ вызванном системой сил Fu F2, ... , Fn равное dF,-8; (множитель 1/2 отсутствует, поскольку на перемещении 8, сила dFt остается постоянной). В результате при обратном порядке приложения сил значение полной потенциальной энергии деформации тела составит U + dFt-bt+l/2dFr <Й,. (9.11) Приравнивая выражения (9.10) и (9.11) и отбрасывая слагаемое 1/2 <2-Р,-<28„ как величину более высокого порядка малости, получаем (dU/dFi) dFi=dFi bi или b,=dU/dFt. (9.12) Вывод. Для нахождения перемещения точки приложения силы необходимо взять частную производную от потенциальной энергии упругого тела по силе, приложенной в данной точке. Под силой F, при выводе выражения (9.12) принимается обобщенная сила, т. е. если под силой Ft следует понимать приложенный сосредоточенный момент (рис. 9.8), то тогда 8, — это угловое перемещение в точке приложения момента. Теорема Кастильяно справедлива для упругого тела, т. е. для тела, подчиняющегося закону Гука. Пример 4. Определить прогиб консольной балки от действия силы F. Жесткость на изгиб постоянна и равна EJX (рис. 9.9). Решение. Потенциальная энергия балки длины I, постоянной жесткости EJX при изгибе определяется (9.7) как v_\ Wdz J 2EJX' Изгибающий момент Мх в сечении с координатой г равен: Мх — -Fz, тогда значение потенциальной энергии балки будет равно: T_\(-Fzfdz_F2l* 2EJX 6EJX и.р О перемещение конца балки составит -K-dU-jL ^'^'dF'dF F2l* ) 6 EJr Fl3 3 EJr Это значение совпадает с ранее определенными величинами методом интегрирования уравнения упругой линии (раздел 9.1 пример 1). 9.4. Интеграл Мора Теорема Кастильяно позволяет определить перемещения только тех точек, где приложены силы и только в направлении этих сил. Для определения при помощи теоремы Кастильяно перемещения произвольной точки в упругом теле под действием системы сил Fi, F2,..., Fn (рис. 9.8) необходимо, во-первых, приложить в этой точке внешнюю силу, например Ф, в интересующем направлении перемещения, во-вторых, подсчитать потенциальную энергию системы U с учетом силы Ф, в-третьих, взять частную производную от потенциальной энергии U по силе Фив полученном выражении положить значение силы Ф равным нулю. Это и будет искомое перемещение точки. Проиллюстрируем данный порядок выполнения на примере определения прогиба балки в точке К (рис. 9.10а) — 8КР. Будем при вычислении потенциальной энергии учитывать только вклад в потенциальную энергию изгибающих моментов. Пусть на балку действует система Fit F2, ... , Fn< которую на рис. 9.10а мы условно изобразим одной силой {F}. AL \{F) Ф К\\ а б Рис. 9.10. Применение интеграла Мора для оценки прогиба балки Изгибающий момент в балке запишется как Мх = МхР + МКФ, (9.13) где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы сил {.F} = F1, F2, ... , F„ а второе слагаемое — дополнительный момент, который появляется в результате приложения в точке К силы Ф. Очевидно, что дополнительный изгибающий момент МКф пропорционален силе Ф, поэтому его можно представить следующим образом: МКФ = МЩФ, (9.14) здесь МК{ -изгибающий момент в балке под действием единичного углового фактора, приложенного в исследуемой точке К по направлению силового фактора Ф (рис. 9.10б). Полная потенциальная энергия деформируемой балки определится интегралом по ее длине r_((MxP+MKl- Ф)2 2EJr dz = MxFM* = \^dz+ f-J 9Р.Г J EJr (MKl Ф)Чг (9.15) Ml dz+j- ;2 EJX Частная производная от этого выражения по силе Ф запишется следующим образом: Ф -dz• (9.16) xF EJr Перемещение точки К в направлении силы Ф определяет- СЯ КАК ЭС/_¦М ЭФ EJ I MxF ? м, ф=о I dU дФ =1- К dz. (9.17) EJr Выражение (9.17) носит название интеграла Мора, который определяет величину перемещения произвольного сечения балки. Физический смысл интеграла Мора — это работа единичной силы на перемещении ее точки приложения от заданной нагрузки. Отсюда следует, что если при вычислении интеграла Мора результат получается положительным, то это значит, что направление единичной силы совпадает с направлением искомого перемещения. В противном случае — направление единичной силы и искомого перемещения прямо противоположны. _ 2 EJr ассмотрим последовательность операций для определения перемещений с помощью интеграла Мора. 1. Определяются опорные реакции и составляется уравне-нИе изгибающих моментов MxF от заданной нагрузки {F} = Flt F2, - 2. Освобождается конструкция (балка) от заданной нагрузки {F}, к такой «свободной» конструкции прикладывается единичный силовой фактор (сила, равна единице, или момент, равный единице) в направлении искомого перемещения (линейного или углового) в заданной точке К. 3. Определяются заново опорные реакции от единичного силового фактора и составляется уравнение изгибающего момента MKl от этого единичного силового фактора. 4. Вычисляется перемещение искомой точки К по формуле (9.17). Примечание. Если балка имеет несколько характерных участков нагружения, на которых аналитические зависимости MxF и MKl различны, то выражение (9.17) удобнее представить как (9.18) где — характерные участки нагружения балки. Пример 5. Определить прогиб посередине пролета балки и угол поворота поперечного сечения на левой опоре. Жесткость балки на изгиб — EJX, длина балки — I (рис. 9.11а). Решение. Для определения перемещений по методу Мора необходимо составить выражения для изгибающих моментов для двух характерных участков нагружения балки I и II. 1. Определяем опорные реакции RA и RB в опорах путем составления и решения уравнений равновесия для плоской системы сил (рис. 9.11 б). 2. Выражение для изгибающего момента: на первом участке: MjcF = F/2 г,(0<г<1/2); на втором участке: M% = F/2z-F(z-l/2), (1/2 5). Пример 6. Определить горизонтальное и вертикальное перемещение т. А бруса (рис. 9.12). Жесткость бруса постоянна и равна EJX. Решение. В брусьях малой кривизны линейный дифференциал dz заменяется дифференциалом дуги, где ds = R-dy, т. е. интеграл Мора для кривого бруса примет вид Ьар = Xirr J M*F''R St 1. Выражение изгибающего момента в точке с координатой, заданной полярным углом ф, запишется как 2. Выражение для изгибающего момента от единичной силы, приложенной горизонтально, будет (рис. 9.12б). MAir- l-J?-sinq> = .R-sin взятая под центром тяжести грузовой (рис. 9.13). Таким образом, по правилу (способу) Верещагина операцИя интегрирования заменяется умножением площади грузовой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры, взятую под цеа. тром тяжести первой. В случае, когда обе функции MxF и MKl — линейные, операция умножения обладает свойством коммунативности, т. е. на результате не сказывается, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры —-на ординату первой. Окончательно математическое выражение правила Верещагина записывается следующим образом (9.20) Каждое из слагаемых, входящих в интеграл Мора, есть произведение площади (?2,) нелинейной эпюры изгибающих моментов на ординату (т^) линейной эпюры, соответствующую центру тяжести нелинейной, деленое на изгибную жесткость сечения i-oro участка балки (EJX). Для вычисления интеграла Мора следует просуммировать указанные слагаемые для всех участков балки. Замечание. Правило Мора неприменимо для случаев: — брусья с криволинейной осью; — балки с изменяемой по длине изгибной жесткостью. Для удобства использования правила Верещагина в таблице 9.1 приведены значения площадей и координат центров тяжести наиболее часто встречающихся в инженерной практике геометрических фигур. Пример 7. Определить прогиб посередине пролета балки (рис. 9.14) и угол поворота левого сечения при нагружении балки равномерной нагрузкой интенсивности q. Жесткость балки на изгиб — EJх. Решение. 1. Строим эпюру изгибающего момента от внешних сил MxF — грузовую эпюру. Для этого определяем опорные реакции RA и RB из условия равновесия балки под действием плоской системы сил (RA, q, RB). При построении эпюры MxF учитываем, что в точке с координатой г распределенная нагрузка изгибает балку так, что сжатые волокна снизу и вклад от нее в изгибающий момент есть (qz)z/2, а реакция ВА изгибает балку относительно сечения с координатой г так, что сжатые во- локна сверху, поэтому ее вклад в выражение для изгибающего момента есть Ra z = (ql/2)-z. Полное же выражение для MxF: MxF = -qz2/2 + (ql/2)z. Эпюра этой квадратичной параболы представлена на рис. 9.14а. 2. Для определения прогиба в середине пролета (точка К) освобождаем балку от внешней нагрузки q и прикладываем в направлении искомого перемещения единичную силу (рис. 9.146). Значения опорных реакций в точках RA и RB и эпюра изгибающего момента от единичного силового фактора приведена на рис. 9.146. Единичная эпюра (эпюра от единичного силового фактора) состоит из двух одинаковых линейных участков. Грузовую эпюру также разбиваем на два соответствующих линейной единичной эпюре участка. В данном конкретном случае можно...