Расчетная схема оценки касательных
получаем следующую зависимость для опредеЛе j касательных напряжений: эта формула носит имя ее автора Для центральных осей Здесь А* — площадь верхней относительно а-а части сечения А** — нижней. Вывод. Касательные напряжения в поперечном сечении при изгибе прямо пропорциональны величине поперечной силы Qy и статическому моменту относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения S™, обратно пропорциональны моменту инерции Jx всего сечения относительно той же оси и ширине сечения Ь(у) в месте определения напряжений. (Напомним, что положение нейтральной и центральной осей совпадают.) Пример 2. Проанализируем характер распределения касательных напряжений при плоском изгибе для прямоугольного поперечного сечения (рис.8.9). Площадь сечения А*, находящаяся над местом определения напряжения, характеризуемого координатой у, есть А'=Ъ Статический момент площади А* относительно нейтральной (центральной) оси Оу будет равен величине этой площади, умноженной Рис. 8.9. Расчетная схема оценки касательных напряжений в балке прямоугольного сечения тояние у* от ее собственного центра тяжести до нейтральной fft А/2-yW У 2 2 2 асс ца Р 0сИ:¦ ,2 Л bh2 2 + У)~- 4у Л2 1- 2^ 2 Замечание. При вычислении статического момента части площа-оперечного сечения безразлично какую часть (верхнюю или ниж-\ относительно выбранного уровня у брать по абсолютному значе-Я — оба статических момента будут одинаковы. Г д1Я прямоугольного поперечного сечения момент инерции площади относительно Ох равен: _ bh3 J*=l2' поэтому окончательно для прямоугольного поперечного сечения формула (8.19) принимает вид 3 Q (л ^ 1 2bh\l h2 I Выводы. S 1. Величина касательного напряжения в поперечном сечении при плоском изгибе в прямоугольном поперечном сечении меняется по закону параболы. ! 2. У верхнего и нижнего торцов касательные напряжения равны нулю, что соответствует закону парности касательных напряжений, так же верхняя и нижняя поверхности балки при изгибе свободны от касательных напряжений. I 3. Касательные напряжения достигают максимума в точках на нейтральной оси (где нормальное напряжение равно нулю) и равны: Пример 3. Рассмотрим касательные напряжения в балке двутаврово-поперечного сечения. Сечения двутавровых и тавровых балок можно Рассматривать с достаточным приближением как составленные из прямоугольников (рис. 8.10). Для расчета касательных напряжений справедлива зависимость для В~ок прямоугольного поперечного сечения, где ширина сечения меня-к скачком от величины ширины полки bit к значению ширины стен-f^ 2 (рис.8.10). На участках полки и стенки наблюдается параболичес- кое изменение касательных напряжений. Рис. 8.10. К оценке касательных напряжений в двутавровой балке пр j изгибе (уги у2 — расстояние от оси Ох до собственных центров тяжести прямоугольников 1 и 2) Для практических расчетов достаточно иметь значения касательных напряжений в месте перехода от полки к стенке — т^ (в этой зоне обычно величина нормальных напряжений еще велика), а также максимальные значения касательных напряжений тП1ЯХ на уровне нейтрального слоя (где нормальные напряжения равны нулю). Значение осевого момента инерции Jx берется из таблицы сортамента (см. приложение), либо вычисляется для сложного сечения (состоящего из нескольких прямоугольников), тогда величины и tmax рассчитываются по формулам: Jxb2 т =- "тях _ Qy ? ух+1)2/12 -у2] ^тах , , » Jxb2 где b2 = Л2 /2, 6, = 0,5[Л2 + (Й2 + лг)3- 8.4. Расчеты на прочность при изгибе На рис. 8.11 представлены конструктивные схемы исполнения опор балок и их моделирование силовыми факторами (реакциями) при изгибе. Пример 4. Проверить прочность деревянной клееной консольной балки (рис. 8.12). Допускаемое напряжение для дерева [о] = 10 МПа, для клеевоГЧ слоя — [т] = 5 МПа. ^Тдтодика полной проверки прочности при изгибу. Полная проверка прочности при изгибе проводится в следующем порядке: 1. Строится эпюра перерезывающей силы Qy и изгибающего момента Мх вдоль оси балки. 2. Определяются сечения балки, где найдены максимальные значения Qymia и М.^ , а также сечения, в которых одновременно достаточно велики и Qy и Мх. 3. В сечении с максимальной величиной изгибающего момента МХтах проводится проверка условия прочности по напряжениям "max' 4. В сечении с максимальной величиной перезывающей силы QVmBX проводится проверка условий прочности по максимальным касательным напряжениям ттах. 5. В сечении (сечениях), в которых одновремено велики Qy, Мх и сравнимы с их максимальными величинами, проводится проверка прочности по одной из теорий прочности. Проверка проводится для тех точек поперечного сечения, где одновременно велики и нормальные и касательные напряжения (а^ , тшах)> значения сравнимы с их максимальными величинами, определенными в п. 3 и п. 4. 6. Для ряда конструктивных элементов, рассчитываемых по балочной теории, проводится также оценка жесткости, т.е. определяется максимальный прогиб и сравнивается полученное значение с допускаемым прогибом (эта тема будет рассмотрена в следующем разделе). Методику полной проверки прочности балки при изгибе рассмотрим на типовом примере. Пример 5. Подобрать двутавровое сечение для балки, схема нагруже-ния которой представлена на рис. 8.13. Провести полную проверку прочности. Исходные данные: F = 64 кН, а = 0,5 м; [о] = 140 МПа. 1. Для решения задачи прежде всего определяются опорные реакции и строятся эпюры перерезывающей силы и изгибающего момента. На-гружение балки симметричное, поэтому реакции опор вертикальны, направлены вверх и равны F. Проводим проверку прочности по теории максимальных касатедь' ных напряжений и по теории удельной энергии изменения формы для т А (место перехода от полки к стенке двутавра). Двутавровое сечение при этом представляем упрощенно как составное (состоящие из трех прямоугольников, рис. 8.13). Для точки А: Sf =110-8,7 105,65 = 101107 мм3 =101Дсм3; дляу = 101,3мм а^=^^ = ^^ = 12710«Па = 127МПа; 1 Jx 2550 10-8 ? QWm„ ST 64 103 101,МО"6 т' -•?шах-- - = 47-10вПа = 47МПа; Jx b(y) ~ 2550 10"8 (5,410_3) I