Внутренние силовые факторы
Как уже отмечалось в разделе 1 под изгибом понимается такой вид нагружения бруса, когда в его поперечных сечениях возникают только изгибающие моменты (Мх, Му) и поперечные (перерезывающие) силы ((?*, Qy), а такие силовые факторы как продольная сила, крутящий момент (N, Т) отсутствуют (рис 8.1а). Прямой брус, работающий, главным образом, на изгиб, называется балкой. Для систематизации и упрощения анализа элементов конструкций, испытывающих изгиб, вводится следующая классификация: — чистый изгиб, если в поперечных сечениях действует единственный силовой фактор — изгибающий момент (рис. 8.16); — поперечный изгиб, если в поперечных сечениях наряду с изгибающим моментом действует также поперечная сила (рис. 8.1в). Начнем анализ напряженно-деформированного состояния балок с плоского изгиба. Он реализуется, когда внешние изгибающие моменты и поперечные силы действуют в одной силовой плоскости и эта плоскость является плоскостью симметрии балки (рис. 8.16, в). В разделе 8.2 это будет подтверждено аналитически. Такой изгиб носит также название прямого изгиба. На первом этапе анализа основная цель заключается в определении и построении эпюр (графиков) внутренних силовых факторов (при плоском изгибе Мх, Qy) в поперечных сечениях вдоль оси балки для последующего выбора наиболее опасного в прочностном отношении сечения. Этот этап прочностного анализа проиллюстрируем на примере двухопорной балки с грузом F. К модели (или расчетной схеме) балки сводится расчет конструкций пролетов мостов, эстакад, машин, станков и т.п. Расчетная схема балки (рис. 8.2а) му поступательному перемещению вдоль оси балки, но не позволяет балке смещаться перпендикулярно оси балки. Поэтому воздействие шарнирно подвижной опоры В заменяется одной вертикальной реакцией RB. Влияние груза моделируется сосредоточенной силой F (рис. 8.2в). Прогностной анализ начинается с определения опорных реакций (RAy, RAz, Rb). При плоском изгибе для балки как жесткого тела можно составить три уравнения равновесия, следовательно, заданная расчетная схема балки является статически определимой. В сопротивлении материалов принято записывать уравнения равновесия в следующей форме: 1) сумма проекций всех сил на ось балки (ось г) равна нулю, в нашем случае это уравнение примет вид 0=^=0; 2) сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю: 3) сумма моментов всех сил относительно опоры В равна нулю: Замечание. 1. Выбор опорА и В за центры приведения объясняется тем, что через опоры проходят линии действия неизвестных реакций RAy, RB и уравнения получаются проще по виду. 2. В уравнениях моментов условно принято, что момент силы, пытающийся повернуть балку относительно выбранного центра против часовой стрелки, положителен, в другую — отрицателен. 3. Для проверки полученных результатов рекомендуется использовать уравнение — сумма проекций всех сил на вертикальную ось у равна нулю. В нашем случае из первого уравнения RM = 0, из второго RB =F a/(a + b), из третьего RAz=F b/(a + b). Проверка: Ray - F + RB = 0, подставляем выражения для разобьем балку на два характерных участка нагружения (рис. 8.2г) и проведем произвольное сечение I-I на первом участке на расстоянии z от опоры А. Применяем метод РОЗУ и заменяем действие отброшенной (правой) части на оставшуюся силовыми факторами Мх и Qy (рис. 8.2d). Использование метода сечений на втором участке проиллюстрировано на рис. 8.2е. Цз условия равновесия оставшейся (левой) части получаем: — поперечная сила в сечении I-I численно равна реакции в опоре A: Qy = Ray. Поперечная сила Qy равна сумме проекций всех внешних сил (активных и реактивных), приложенных к оставшейся части балки. — изгибающий момент в сечении I-I равен моменту силы RAy относительно сечения: Мх — RAyz. Изгибающий момент Мх равен сумме моментов всех внешних сил приложенных к оставшейся части балки относительно выбранного сечения. Правило знаков поперечной силы Qy и изгибающего момента Мх: 1. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, вниз — отрицательной. Если сумма внешних сил, лежащих по правую сторону от сечения, дает равнодействующую направленную вниз, то поперечная сила в сечении положительна, вверх — отрицательна (рис. 8.2ж). 2. Если относительно выбранного сечения внешний силовой фактор стремится изогнуть балку так, что сжатые волокна сверху, то момент от этого силового фактора положителен, в противном случае — отрицателен (рис. 8.2з). В нашем случае на первом участке балки поперечная сила постоянна и положительна а изгибающий момент положителен и задается линейной по z функцией (силовой фактор RAy пытается изогнуть балку относительно сечения I-I так, что сжатые волокна сверху — балка как бы «зажата» в этом сечении): Можно для определения внутренних силовых фактор0в сечении II—II рассмотреть равновесие правой части, тогда (балка «зажимается» в сечении и сжатые волокна оказываются сверху), где Таким образом, эпюра поперечной силы Qy постоянна вдоль оси балки (рис. 8.2и). Она испытывает скачки в местах приложения сил RAy, F, RB (если идти слева направо, то в сторону их действия). Эпюра изгибающего момента Мх имеет два характерных линейных участка, где на первом значение этого фактора возрастает от нуля (в шарнире А) до максимальной величины F ab / (a + b) в месте приложения силы F, а на втором — линейно убывает до нуля (в шарнире В). С точки зрения прочности опасным является место приложения внешней силы F, так как здесь изгибающий момент достигает максимальной величины и поперечная сила (в зависимости от соотношения а и b) также имеет наибольшее значение. Правильность построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента можно проверить при помощи дифференциальных зависимостей Журавского между Мх, Qy и распределенной нагрузкой q. Для вывода этих зависимостей рассмотрим произвольную балку (рис. 8.3). Пусть к ней приложены внешние силы Flt F2, ..., Fn и распределенная нагрузка q(z), действующая по произвольному закону (положительное направление указано на рисунке — вверх). Выделим из бруса элемент длины dz. В пределах длины dz можно считать нагрузку q Рас" пределенной равномерно. Слева и справа в поперечны* сечениях выделенного элемента приложены положительные силовые факторы Qy, Мх в соответствии с обусловлен-' ным выше правилом знаков, отличающиеся на dQy и dMx соответственно. Рис. 8.3. Расчетная схема к определению дифференциальных зависимостей Журавского Условия равновесия элемента в проекции на ось у дает Условие равенства нулю моментов всех сил относительно центра тяжести сечения (т. С) приводит к соотношению: откуда, полагая q dz2 / 2 величиной более высокого порядка малости, чем другие слагаемые и отбрасывая ее, имеем Таким образом, поперечная сила Qy есть производная от изгибающего момента Мх по длине бруса, а интенсивность внешней распределенной нагрузки q — это, в свою очередь, производная от поперечной силы. Обращаясь к задаче об изгибе балки силой F (рис. 8.2), видим, что на участке, где поперечная сила Qy постоянна и положительна график изгибающего Момента Мх линейно возрастает (тангенс угла наклона графи-изгибающего момента и есть значение Qy), а на участке, где Чу постоянна и отрицательна — эпюра изгибающего момента линейно убывает с тангенсом угла наклона, равным значе-ю Qy на этом участке. Для вывода основных расчетных формул рассмотрим част ный случай плоского изгиба балки — состояние чистого изги ба. Это состояние деформации наблюдается тогда, когда на ка ком-то участке балки действует только изгибающий момент Мх, а поперечная сила равна нулю: Qy = О (например, рис. 8.1б) Экспериментальные исследования балок при чистом изгибе показывают, что: 1) плоские сечения балки остаются плоскими после нагру-жения, испытав лишь некоторый поворот друг относительно друга; 2) продольные волокна балки не давят на выше и ниже расположенные волокна, они либо растянуты, либо сжаты. Деформация волокон по ширине сечения не меняются; 3) нейтральный слой, перпендикулярный плоскости симметрии балки, отделяет область растянутых волокон от области сжатых волокон. На рис. 8.4 представлена схема деформации участка балки при чистом изгибе. Возьмем на этом участке балки элемент, выделенный двумя сечениями I-I и П-П, находящимися на расстоянии dz друг от друга, и рассмотрим характер его деформации. При принятом положительном знаке изгибающего момента верхние волокна будут сжаты, а нижние — растянуты. Слой волокон, который не деформируется при нагружении зазовем нейтральным, с ним свяжем плоскость хг. Изменение кривизны нейтрального слоя в результате поворота поперечных сечений I-I и II-II на угол dtp относительно друг друга будет следующим (рис. 8.4): Отрезок cd (cd = ab = dz), удаленный от нейтрального слоя вниз на расстояние k, получит приращение длины c'd'-cd, которое можно выразить через кривизну балки: Его относительная продольная деформация будет с учетом (8.3) равна тогда напряжения о, вызвавшие эту деформацию, будут положительны и по закону Гука при растяжении определяются как Здесь учтено, что для нижней зоны растяжения координаты у являются отрицательными (рис. 8.4). При чистом изгибе продольная сила N и изгибающий момент относительно оси у — Му отсутствуют (N = 0; Му = 0), но их формальное определение позволит нам сделать ряд выводов: Равенство нулю статического момента Sx площади сечения относительно нейтральной линии (оси х) говорит о том, что нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Нулевое значение центробежного момента инерции сечеа Jxy определяет оси хну как главные центральные, т. е. п^ сматриваемый вид чистого плоского изгиба реализуется ког ° балка деформируется в главной плоскости (такой изгиб явд** ется прямым). Значение изгибающего момента в сечении есть (с учетом зд ка момента и положения осей х, у) интеграл: Величина EJX называется жесткостью балки при изгибе, она характеризует способность конкретной балки сопротивляться изгибу, тогда расчетная формула для подсчета напряжений запишется следующим образом: Замечание. В формуле (8.10) знак минус обычно опускается (он связан с выбором направления осей координат сечения и знаков изгибающего момента). В расчетах учет знака изгибающего момента определяет зоны растянутых и сжатых волокон, а у характеризует расстояние до соответствующих волокон. Поэтому общепринятая форма записи зависимости (8.10) следующая: ° X Таким образом, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно оси. Максимальное напряжение в анализируемом сечении при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии: Величина Wx = Jx / ¦z/max¦ называется моментом сопротив ления сечения при изгибе, она рассчитывается относительн0 пальной (центральной) оси Ох поперечного сечения. В наи-1*е" -же опасном сечении по длине балки <5оЛее ^ ; а условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе примет вид Условие прочности (8.13) при изгибе позволяет решать три основные типа задач: I Проектировочный расчет— подбор сечений балок (т.е. Ьасчет Wx) при известных нагрузках (Мх) и материале балки ([о]) по формуле: 2. Проверочный расчет — проверка прочности балок: При рациональной конструкции отах > [о] не более 10%, °шах < не более 5%. 3.Определение допускаемых внешних нагрузок, т.е. расчет Пример 1. Рассмотреть конструктивные варианты назначения размеров сечения стальной балки (рис. 8.2 и рис. 8.5). Допускаемое напряжение [о] = 160 МПа; a = 2 м, F = 90 кН, Ь = 1 м. i Сравнить веса балок. Решение. В наиболее загруженном сечении (в месте приложения груза F) величина изгибающего момента Мх определится, как • При проектировочном расчете считаем Wx: Расчетная схема балки и эпюры нормальных напряжений в наиболее загруженном сечении различного вида балок Двутавровое сечение. Для обращения к сортаменту стандартных профилей (см. табл. приложения) выражаем полученное значение Wx че- рез см" Наиболее близким значением момента сопротивления обладает балка двутавровая из прокатной стали № 27 с Wx = 371 см3. В этом случае будет незначительный перегруз Балка № 27а с Wx = 407 см3 обеспечит требуемую прочность, но недогруз будет существенен 7,9% ((407 - 375) / 407 - 100% = 7,86%), что на грани неприемлемости (10%). Окончательно принимаем балку с двутавровым поперечным сечением № 27. Прямоугольное сечение. Примем, что большая сторона (высота) сечения Л в два раза больше ширины сечения, тогда h >165 мм, принимаем h = 165 мм. принимаем h = 131 мм. Вес балок пропорционален площади поперечного сечения. Поэтому, если площадь поперечного сечения двутавра №27 принять за единицу (А = 40,2 см2), то площадь прямоугольного сечения (А = Л2/2 = = 13612,5 мм2 = 136,1 см2) есть 3,4 площади двутавра, а квадратное сечение (А= h2 = 17161 мм2 = 171,6 см2) 4,3 площади двутавра. Соответственно вес балки прямоугольного поперечного сечения в 3,4, а балки квадратного поперечного сечения в 4,3 раза больше веса балки двутав-рого поперечного сечения, т. е. при поперечном изгибе двутавровая балка обеспечивает наиболее рациональное использование материала в силу большей разнесенности площади поперечного сечения относительно нейтрального слоя при той же прочности (см. рис. 8.5). 8.3. Касательные напряжения при изгибе Проведенный анализ чистого изгиба балки позволяет вывести формулу для расчета касательных напряжений в поперечных сечениях и при поперечном изгибе, когда наряду с изгибающим моментом Мх действует поперечная сила Qy, являющаяся интегральной характеристикой касательных напряжений (рис. 8.6). Наличие в поперечных сечениях касательных напряжений, а по закону парности (см. раздел 7.1) и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою, можно проиллюстрировать сравнением характера деформируемости монолитной и составной балок, когда составная балка состоит из отдельных, не связанных друг с другом пластин (рис. 8.7). Видно, что для обеспечения целостности монолитной балки в ее продольных сечениях неминуемо возникнут касательные напряжения, препятствующие отдельному искрив- Рис. 8.6. Силовые факторы и напряжения при плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях Характер деформирования монолитной и составной балок при поперечном изгибе лению каждого слоя. А это, в свою очередь, вызовет искажение поперечных сечений. Экспериментально доказывается, что имеющее место нарушение гипотезы плоских сечений при изгибе балок незначительно и практически не сказывается на величине нормальных напряжений, определяемых по формуле (8.10). При выводе формулы для определения касательных напряжений выделим из балки малый элемент длины dz поперечными сечениями I-I и II—II (рис. 8.8а). Вырежем плоскостью а-а (параллельной нейтральному слою) выделенный элемент (рис. 8.86, в) и рассмотрим условие равновесия его нижней части. Действие верхней отброшенной части на оставшуюся заменяем касательным напряжением х. Полагаем, что в силу малости элемента касательные напряжения в продольном слое площадью bdz распределены равномерно. По закону парности касательных напряжений в поперечных сечения I-I и II-II на уровне у возникают такие же по величине касательные напряжения х. Условие равновесия нижней части выделенного элемента длины dz в проекции на ось балки г имеет вид где " — результирующая нормальных напряжений, прихо дящаяся на нижнюю часть выделеннРасчетная схема определения касательных напряжений при поперечном изгибе: в а — выделение из балки элемента длины; б — действие нормальных напряжений на выделенный элемент; в — уравновешивание нижней части выделенного элемента По формуле для определения нормальных напряжений при изгибе имеем: где Sot __ статический момент отсеченной верхней части выделенного элемента длины dz. Поскольку из дифференциальных зависимостей между Qy и Мх следует, что dMx / dz = Qy, то окон- SOT * » ого элемента в сечен I-I площадью А" (аналогично N**+ dN" — в сечении П-Ш-