Кручение вала
Кручение вала
Пусть в поперечном сечении вала некругового профиля действует только крутящий момент, а боковая поверхность свободна от напряжений. Возьмем элементарный элемент у края поперечного сечения и полное касательное напряжение на нем в сечении разложим на xt — напряжение, направленное по касательной t-t к контуру и т„ — ему перпендикулярное. По закону парности т'л =-т„, где т'п — напряжение на боковой поверхности; но по условию нагружения боковая поверхность свободна от напряжений, следовательно, т„ =0 , откуда хп=0 тоже и направления тих, совпадают. 2. В теории упругости доказывается, что величина касательных напряжений при кручении валов некругового профиля пропорциональна скорости потока жидкости в сосуде такого же профиля при ее кругообразном вихревом движении. В поперечных сечениях скручиваемых стержней, как и в сосудах такого же профиля, можно изобразить серию непересекающихся замкнутых линий, вдоль которых скорость тока жидкости постоянна. Эти линии являются траекториями касательных напряжений. Чем гуще расположены линии траекторий, тем больше величина скорости потока жидкости, и, соответственно, значение касательных напряжений (рис. 5.9а, б). Для объяснения этого свойства рассмотрим элемент abed (рис. 5.9б), у которого два цилиндрических сечения, параллельные от стержня, совпадают с траекториями аЬ и dc, а два других — плоские, также параллельные оси стержня. От сечения Рис. 5.8. Схема оценки направления касательных напряжений у контура сечения Траектории касательных напряжений — о; элемент, выделенный из стержня для оценки величины касательных напряжений — б толщиной 8] к сечению cb толщиной Ъ2 касательные напряжений меняют свое значение от X/ до х2. Запишем условие равновесия выделенного элемента в проекции на ось z (рис. 5.96): -Xibil + x282l-0. (5.43) Откуда получаем требуемое соотношение: хх 52 <5'44> где и б2 — расстояния между траекториями касательных напряжений. 3. Несложно показать, что в угловых точках касательные напряжения отсутствуют. В бесконечно малом элементарном объеме у угловой точки на основе закона парности касательных напряжений и отсутствии нагружения боковой поверхности имеем (рис. 5.9a): x't = х"=0, аналогично х, = 0. Таким образом, аналогия распределения касательных напряжений и вихревого тока жидкости в сосуде такой же конфигурации, что и сечение показывает, что для прямоугольного сечения самые большие касательные напряжения хтах будут по середине длинных сторон поперечного сечения у поверхности вала, по середине коротких сторон возникнут также относительно большие напряжения х^ (рис. 5.10). Решение теории упругости дает расчетные формулы для определения величины максимального касательного напряжения и угла закручивания, т. е. зависимости для оценки прочности и жесткости при кручении валов прямоугольного сечения: Т ^niax ~ TI7. » ^max~Y'^max> (5.45) Щ Т1 Ф= сТк' <5-46> где вместо полярного момента сопротивления и полярного момента инерции вводятся новые геометрические характеристики сечения Wh = а • b2h и Jk = (3 • b3h — соответственно момент сопротивления и момент инерции сечения при кручении (b -меньшая, h — большая сторона прямоугольника). Значения безразмерных параметров а, р, у, определяемые в зависимости от соотношения сторон прямоугольника приведены в табл. 5.2. Л/в а Р У 1,0 0,208 0,141 1,0 1,5 0,231 0,196 0,8 2,0 0,246 0,229 0,79 3,0 0,267 0,263 0,75 4,0 0,282 0,281 0,74 5,0 0,291 0,291 0,74 8,0 0,307 0,307 0,74 10,0 0,312 0,312 0,74 На рис. 5.10 представлены характерные эпюры касательных напряжений для прямоугольного поперечного сечения со сторонами Ь и Л. Из таблицы 5.2 видно, что для узких длинных прямоугольников величина коэффициентов а и Р становится одинаковыми и равными 1/3 (при h/b > 10). Поэтому для тонкостенных открытых профилей, составленных из п прямоугольников со сторонами bj, ht каждый (i = 1...л) момент инерции при кручении может быть определен из выражения (5.47) i=l о а момент сопротивления кручения рассчитывается по формуле Jk (5.48) наибольшая толщина профиля. Наибольшие касательные на пряжения возникают в середин^ длинных сторон, имеющих боль шую толщину. При расчете на кручение тоН* стенных валов со стандартн т Еюкатным профилем величина Jh, определенная по формуле (Ь 47), умножается на поправочный коэффициент Г¦, отражающий влияние на жесткость сечения уклонов полок, закруглений и т.п., имеющий значения: для уголка -1,00; для швеллера -1,12; для тавра -1,15; для двутавра -1,20. На рис. 5.11 приведены примеры разбивки составных профилей на прямоугольники для подсчета Jk. 5.8. Решение задач на кручение Для оценки прочности и жесткости валов при кручении применяются следующие геометрические характеристики плоских сечений: A = Tid2/4 — площадь кругового сечения диаметра d; Jp = rtd4/32 = 0,ld4 — полярный момент инерции круга; jjWp = тсс/3/16 = 0,2d3 — полярный момент сопротивления кругового сечения; L /4(1 -с2) — площадь кольцевого сечения с наружным Диаметром d и внутренним d0, где c = do/d; цз^ /32(l-c4) = 0,ld4(l-c4) — полярный момент инер-Для сечения кольцевого профиля; *Ивле =7ld3^®(l~c4)~0.2<23(l-c4) — полярный момент сопро-Ния сечения кольцевого профиля.