Дуга
Схема деформации вала, его элемента dz толщины и эпюра касательных напряжений в сечении при кручении Для дуги dd' этого же центрального угла Ь'ОЬ , находящейся на расстоянии р от оси вала (0 < р < R), аналогичное выражение имеет вид (рис. 5.5) ypdz = pdq>. (5.7) Закон Гука для элемента толщины dp, аналогичного тому, что вырезался из трубы, но находящегося на расстоянии р от оси вала (рис. 5.5) запишется как Tp=Gyp. (5-8) Выражения (5.6), (5.7) и (5.8) определяют характер распределения касательных напряжений по площади поперечного сечения, а именно: Тр=С.р^ = р^ = Хд.Р. (5.9) р dz R R R Выражение (5.9) позволяет сделать вывод, что, во-первых> касательные напряжения при кручении распределены нерав номерно, а во-вторых, они линейно зависят от расстояния Д® оси вала р, достигая максимального значения zR = т,пах на я^® щадках сечения у поверхности вала и равны нулю на оси. ^ как крутящий момент Т в сечении является интегральной й этих касательных напряжений (рис. 5.5), то он T=JxpPdA, (510) P pa I .. __ элемент площади. где авив выражение (5.9) в интеграл по площади попереч-^сечения А (5.10) получим: T=lxR?dA=X-±!P>dA = ^Jp. (5Л1) (А) Л (А) Л ft I г _полярный момент инерции поперечного сечения. Здесь и* уДа определяем величину максимального касательного ?напряжения хд в поперечном сечении у поверхности вала. TR _ Т Т хд-х1Ш¦Х- — -(Jp/R)-Wp> (5.12) где IV — полярный момент сопротивления сечения. После чего формула (5.9) может быть переписана в виде Т хд=—Р- (5.13) Окончательно в выбранном поперечном сечении условие прочности при кручении записывается как Г Хтах= — (5.14) " Р где [х] принятое допустимое значение касательных напряжений для материала вала. г Также как при оценке прочности стержня на растяжение — Жатие (3.16) - (3.18) условие прочности при кручении вала Р°зволяет решать следующие основные задачи: 1ц ^Двоверочный расчет. По известным размерам (даны геометрические параметры сечения) и материалу вала (задано [х]) Г*т®Ряется возможность конструкции выдержать заданную проч В виде крутящего момента Т в анализируемом на 2 Ij°CTb сечении, используя выражение (5.14). Мг(^^-?оектный расчет. По известному значению крутящего °бход''а В сечении Т и материалу вала ([х]) подбираются не-^^ Ь1е размеры поперечного сечения для обеспечения безопасности работы по величине полярного момента сопр тивления. Т *_ И' >—. ' ГО (5.15) 3. Определение допускаемой внешней нагрузки [Г] (или ус. тановление работоспособности). По известным геометрическим параметрам сечения (Wp — задано) и материалу вала ([т]) находится допускаемая величина внешней нагрузки: [T] = [x]Wp. (5.16) Выбор величины допускаемого напряжения при кручении [т] зависит как от свойств материала вала, так и от принятого коэффициента запаса прочности [п]: г_1 ^пред tT]=W <5-17) Для пластического материала при статическом нагружении обычно принимают хпред = тт (предел текучести при сдвиге), а в случае хрупкого материала — хпред = тв (предел прочности). ' Значение [п] зависит от отрасли техники, назначения и вида конструкции. При расчете стальных валов в случае статистического на-1 гружения можно использовать эмпирическую зависимость [т] = (0,5 - 0,6) [а] (табл. 3.3). Замечание. Большинство валов испытывают при работе • переменные по времени нагрузки, они также воспринимают ! одновременно и изгибные нагрузки, поэтому их нагружение нельзя считать статическим и в практике машиностроения для стальных валов в зависимости от материала и условий работы ] принимают более низкий диапазон изменения допускаемых напряжений, а именно [т] = 20...40МПа. (5.18) Проведем оценку деформации при кручении вала, т. е. определим его угол закручивания <р. Из (5.6) следует dtp = (yR / R) dz, тогда текущее значение угла закручивания при учете (5.12) и закона Гука будет При неизменном по длине I вала значении Т и постоянном пРречном сечении (Jp = const) имеем: °01 Т1 (5.20) Произведение G Jp называется жесткостью вала при кру-чеНии и характеризует способность конкретного вала сопротивляться скручиванию. В технике наряду с оценкой прочности валов очень важное значение имеет соблюдение условий жесткости, т. е. условий, исключающих появление при эксплуатации чрезмерных деформаций. Условие жесткости для валов имеет очевидный вид Т1 Ф<[(р]; т.е. <р = ^-р<[ф], (5 21) где [ф] — допускаемый угол закручивания двух сечений вала, отстоящих друг от друга на расстояние 1. На практике обычно применяют видоизмененное условие жесткости (5.21), вводя при этом понятие 0 — относительного угла закручивания 0 = ф / I: Omax^te], (5.22) где 0тах — наибольший относительный угол закручивания (в радианах и градусах соответственно): Т Т 180° 0тах=7ГГРаД/М; етах=77Т---Град/м. (5 23) СnJp LnJp Л Допускаемый относительный угол закручивания [0] принимается для разных конструкций валов и различных видов нагрузки в диапазоне 0,1-2,1 (максимально до 5 ) на один погонный метр или 0,00175 - 0,035 радиана на один метр длины вала. 5.4. Напряженное состояние при кручении Проведем более углубленный анализ напряженного состояния при кручении. На боковых гранях выделенного элементарного элемента со сторонами dz, рс?ф, dp (на поверхности dz, Rdp, dp) действует система касательных напряжений х (у поверхности х = тпшх). Рассмотрим этот элемент отдельно (рис. 5.6) и определим напряжения нормальные и касательные на грани kp, площадью А, повернутой относительно грани km, где действует положительное касательное напряжение х на угол а (ус- Эквивалентность чистого сдвига растяжению и сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям и правило знак для касательных напряжений ловное правило знаков касательных напряжений также приведено на рис. 5.6, где п — нормаль к площадке, t — направление касательной в правосторонней системе осей координат). Тогда площадь грани km есть oleosa, а грани рт — Asina. Напишем условия равновесия призмы kmp в проекции на нормаль к грани kp-n и на касательную t: п: оа А - т( A cos a) sin a - т( A sin a) cos a = 0; t: xa ? A-x(Acosa)cosa + x(Asina)sina=0, (5.24) Откуда получаем: aa =Tsin2a; Ta=tcos2a. (5.25) Формулы (5.25) показывают, что напряженное состояние чистого сдвига эквивалентно при a = 45°, 135° растяжению -сжатию по двум взаимно перпендикулярным площадкам (рис. 5.6): а45о = х; о135 = —т. Замечание. Этот вывод используется при оценке прочности таких хрупких материалов как чугуны, поскольку валы из них разрушаются по поверхностям, наклоненным к поперечно* му сечению под углом 45° от действия отрывных нормальных на" пряжений. Для этого случая условие прочности принимает вид Т ( Коэффициент 1/2 показывает, что и силовой фактор и деформация прикладываются к конструкции не сразу, а постепенно увеличиваются от нуля до конечного значения. Эта работа на основе закона сохранения энергии переходит в потенциальную энергию деформации U, т. е. U = А, или ТЫ Г и=2от; (5-28> В случае переменной жесткости GJp(z) или переменного значения крутящего момента по длине вала Т = T(z) потенциальная энергия с учетом (5.19) запишется как интеграл по длине его оси: (T(z)2dz (I) 2GJp(z)' (5.29) к выражение (5.28) можно также получить из удельной по-?ВДиальной энергии при сдвиге. В процессе деформации сдви-матеРиале накапливается потенциальная энергия, кото-т При статическом действии касательных напряжений (рис. 5.6) ? п°явлении сдвига у в единице объема равна ГЭле U = b=W (5-30) равна произведению удельной потенциальной энергии на объем элемента (рис. 5.5): т2 dU=u dV=—р dq dp dz. (5.3l) В случае постоянного значения крутящего момента Т, по-1 лярного момента инерции сечения Jp вдоль оси, интегрируя (5.31) по всему объему вала, будем иметь тт т2 ? зJ 2L L тН Следует обратить внимание, что вид выражений (5.28), I (5.30), (5.32) аналогичен соответствующим выражениям удельной и полной потенциальной энергии при растяжении - 1 сжатии стержня. Выражения для удельной потенциальной энергии при чистом сдвиге (5.30) и вывод о том, что чистый ! сдвиг эквивалентен растяжению и сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям с напряжениями а = т по- 1 зволяют найти связь между упругими постоянными материа- Я ла Е, G, (1. Удельная потенциальная энергия при одновременном рас- я тяжении и сжатии плоского элемента по двум взаимно пер- 1 пендикулярным направлениям сложится (рис. 5.6) из энергии ' растяжения по направлению п и работы напряжений сжатия по направлению t на деформациях, вызванных напряжением j растяжения: , 1 1 и =-опел+-а,ц?й (5.33)1 плюс энергия сжатия по направлению t и энергия растяжения по направлению п от деформаций растяжения, вызванными I напряжениями сжатия: „ 1 1 11 =2а'е' + 2алЦ?" (5-34> I где д — коэффициент Пуассона. Полная энергия растяжения - сжатия элемента по двум взаимно перпендикулярным направлениям есть сумма (5.33) и ;j (5.34) и равна (5.30): Заменяя в (5.33) и (5.34) о„ и at на х, а еп и et на х/Е, получим х2 т2 _ х2 + 2G' отсюда получаем связь трех упругих постоянных материала: Е (5.35) G = 2(1+ц) Следовательно, для расчета конструкций из опыта необходимо определить лишь две константы. Проще это сделать из опыта на растяжение образцов, т. е. определить Е и ц. 5.6. Приближенный расчет цилиндрических винтовых пружин с малым шагом Пружина — это один из наиболее часто встречающихся упругих элементов современных механизмов и машин. Рассмотрим достаточно простой метод расчета на прочность и жесткость витых цилиндрических пружин с постоянным малым шагом витка, когда угол наклона к плоскости, перпендикулярной оси пружины мал (5°...10°) и можно считать его близким нулю. В качестве примера возьмем пружину растяжения (рис. 5.7). Обозначим: D — диаметр пружины, d— диаметр Рис. 5.7. Силовые факторы и касательные напряжения в поперечном сечении витка цилиндрической пружины стержня пружины; п — число витков; G — модуль сдвцГа¦ териала, из которого изготовлена пружина. Заменим опору реакцией (она, очевидно, равна F). Цр^Я ним метод сечений и рассечем пружину осевой плоскост Л т. к. наклон витков мал, то поперечное сечение можно счи °' круговым. При приведении силы к центру тяжести сече получаем два силовых фактора — поперечную сдвигающ* силу F и крутящий момент Т = F-R/2 (переносим силу ото?° пружины к центру тяжести сечения), оба эти силовых фак 11 ра, являясь интегральными характеристиками внутренн2 усилий, вызывают только касательные напряжения. Так ! силы F возникают равномерно распределенные по сечению сательные напряжения среза: Тср~А' (5,36> где А — площадь поперечного сечения, а от крутящего момента Г — касательные напряжения от кручения, максимальная величина которых _ Т Тгшх - ^ • (5>37) Геометрическая сумма этих напряжений имеет наибольшую величину в т. К сечения (рис. 5.7). В этой точке _F_ T 4F F-D16 _ 8FD d_. 8 F D Tnmx~A + W~nd2+ 2nd3 " nd3 ( 2D}~ nd3 ' P (5.38) i. 1 d 2D Таким образом, условие прочности для пружины можно представить в виде SF D (5.39) Из (5.38) видно, что определяющим силовым фактором » условии прочности является крутящий момент, поэтому в РаС четах коэффициент k принимают близким к единице (с точно* стью до 10% его можно считать равным единице). ПрУ^110 _ изготавливаются из высококачественных сталей, поэтому Д пускаемые напряжения для материала пружин назначаю^ диапазоне [т] = 200... 1000 МПа. Для практики более ваЖН истиной является оценка деформации пружины под хаРа1С'геРй ее еще называют осадкой или удлинением пружи-^аГРУ "4' у Пружины к рассчитаем из условия равенства рабо-Й^' ( еннИХ и внешних сил. Так работа внешней силы F на TbI В' мцение пружины к в пределах пропорциональности, иду-оереМ' еЛИЧение потенциальной энергии пружины, равна щая на У A=U = —Fk, (5.40) С* __ удлинение пружины при нагружении. гдеПотеНЦИальная энергия пружины от действия внутренних I х факторов (в настоящем приближенном расчете учи-И*аеМ только крутящий момент Т = F D/2) стержневой конструкции равна iy2L Н (5'41> где ? — полная длина винтового стержня пружины, L = nD n. Из равенства выражений (5.40) и (5.41) получаем величину осадки X=~GdT~ (5'42) пружины. Замечания. 1. Формулы (5.38) и (5.39) показывают, что величина напряжений в пружине возрастает с увеличением диаметра пружины D и уменьшением диаметра витка пружины d. 2. В технике график зависимости осадки к от усилия F называется характеристикой пружины. 5.7. Кручение валов некругового профиля ! При кручении валов некругового профиля нарушается гипотеза плоских сечений — поперечные сечения искажаются JI роисходит так называемая депланация сечений) и радиусы L Ривляются. В сопротивлении материалов нет простого решения таких задач. Усмотрим основные сведения теории кручения валов с от- ftor» ЫМ °Т кРУга поперечным сечением, полученные метода-теории упругости. чеНии °Кажем> что касательные напряжения в поперечном се-направлены параллельно контуру сечения (рис. 5.8).