геометрические характеристики плоских сечений
Определение основных геометрических параметров I При прочностном анализе стержневых конструкций, работающих на растяжение — сжатие, использовались такие геометрические параметры как длина стержня, площади поперечного и наклонного сечений. При иных видах нагружения (кручение, изгиб, ...) в расчетных формулах используются и другие геометрические параметры — моменты площади поперечного сечения. Описание их начнем с формального определения самой площади поперечного сечения. Длошадь поперечного сечения. Пусть имеется сечение произвольной формы. Рассмотрим его относительно некой заданной декартовой системы координат uOv (рис. 4.1). В сечении выделим элементарную площадку cLA с координатами и, v. Тогда под площадью сечения А понимается интеграл по области сечения: (4.1) Очевидно, что данный интеграл инвариантен (независим) от выбора системы осей координат. Размерность площади — длина в квадрате (мм2, см2, м2,...). Сз&тические моменты площади. Статическими моментами ^•Щади (или моментами площади первого порядка) относи-ЛЬНо °сей и, v соответственно называются интегралы: Sv = J udA = ис -А. (А) м3, а'!МеРн°сть этих характеристик — длина в кубе (мм3, см3, Центр тяжести сечения — точк, С с координатами ис, vc через введен ные понятия статических моментов определится как Я. А' Su V<=A? Оси координат х0Су0, проходящие через тяжести сечения, называются центральными осями. Статические моменты площади сечения относительно центральных осей равны нулю Моментами инерции сечения (или моментами площади второго порядка) относительно осей и, v называются интегралы] по области сечения: Ju= j v2dA; (А) Jv= J u2dA. (A) Центробежный момент инерции сечения есть интеграл Juu=\uvdA. (Л) 1 V 'а Полярный момент инерции сечения задается интегралом Jp=jp2dA, (4.6) где р — расстояние от начала принятой системы осей координат до элементарной площадки dA(р2 = и2 + v2), поэтому поляр-1 ный момент инерции сечения есть сумма осевых моментов инерции: Jp = J p2dA= J (и2 +v2)dA = Jv+Ju. (A) (A) Размерность моментов инерции — длина в четвертой степени (мм4, см4, м4, ...). При прочностном анализе балок используются также такие характеристики сечения, как моменты сопротивления площа- ди сечения относительно центральных координатных осей (ХосУоУ- W = • I I ¦УОтах¦ w = Jyo YYtm I I» 1*0 Где ¦j/omax¦' ¦-*-0пшх¦ —максимальные расстояния от центральных координатных осей до наиболее удаленной от них точки сечения. Здесь J* - J УоdA,JM = J хо dA. (А) (А) При прочностном анализе валов используется понятие полярного момента сопротивления: Ротах где полярный момент инерции J^ определяется относительно начала координат центральных осей: (А) Рассмотрим примеры вычисления основных геометрических характеристик для прямоугольного и круглого сечений. Пример 1. Имеется прямоугольное сечение со сторонами b и h. Рассчитаем геометрические характеристики относительно центральных осей симметрии ХоСуо и оси и, смещенной относительно центральной на h/2. 1. Площадь прямоугольника A = bh. 2. Статические моменты площади относительно центральных осей равны нулю (S^ =Sm =0). 3. Считаем момент инерции сечения относительно центральной оси х0: h/2 J* = j Уо<1А~ f УоьаУо=ь J yody0=—- (4.8) (A) (A) -h/2 ltl Здесь принято, что элемент площади dA = bdy0 (рис. 4.2). Аналогично определяем момент инерции сечения относительно оси у0: оменты сопротивления сечения тельно центральных осей определяются как ~ h/2~ 6 * _ И" № Ы 2 6 5. Рассчитаем статический момент и момев» инерции площади сечения относительно оса которая параллельна центральной оси х0 и с щена относительно ее на расстояние ft/2: S„= J vdA = bjvdv = ^—, (A) 0 2 где dA = bdv, т. е. он равен произведению площади сечения A = b h На расстояние между осями А/2 Ju= J v2dA = bjv2dv = , (A) 0 3 или момент инерции относительно оси и есть момент инерции относительно центральной оси =Ьй3/12), плюс произведение площади сечения A-b h на квадрат расстояния между осями ft2/4. Пример 2. Определим геометрические характеристики сплошного круглого сечения диаметра d = 2R и трубчатого сечения с внутренним радиусом г и внешним R (рис. 4.3). 1. Площадь круга А = kR2 = кd2 /4. 2. Статические моменты относительно центральных осей равны нулю. 3. Для определения полярного момента инерции выберем элементарную площадку в виде тонкого кольца шириной dpu(0 <р0 , тогда J* = I PodA = 2Ttjpgdp0 = nR 2 32 ' (4.Ю) то осевые моменты инерции равнв ** -МП (4- 64 4. Полярный момент сопротивления равен У о" и а Ш W/y. •о Ш Уо Ш т О/УУу *0 ь и Рис. 4.2. Расчетная схема прямоугольного сечения С А) И JP0=JXQ+Jy0, т. к. для круга J^ = J и I I I I I I I I I I I а о к ш X X * d/2 16 Осевые моменты сопротивления определяется как W =W = ^ Для трубчатого поперечного сечения Епярный момент инерции есть (на основе шаяпа аддитивности) разность моментов И^цяи сплошных сечений радиусом R и г соответственно: kR4 яг4 KR4 (1 ,4 (4Л2> nd : 32 где с-г/R- Диалогично определяются осевые моменты инерции: ¦ , nR4 ,Л 4. nd4 ., .v К» =Ло ( ) = -64" ( (413) полярный момент сопротивления: I (4.14) осевые моменты сопротивления: (4.15) Рис. 4.3. Расчетные схемы круглого и трубчатого сечений «^ро 2 2 '4- (1-е4), 4.2. Некоторые свойства геометрических характеристик плоских сечений Перечислим основные свойства геометрических характеристик плоских сечений, используемые при прочностном анализе элементов конструкций, работающих на кручение, изгиб. 1. Если сечение имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно координатных осей, одна из которых есть ось симметрии, равен нулю. , Разобьем сечение на две симметричные части I и II, определим центробежный момент инерции сечения как сумму двух моментов JI и (рис. 4.4): Ju»=Jl + Ju„. (4-16) [*ИРСИлУ симметрии фигур I и II для элементарных площадок 0оРдинатой иг = v2 имеем щ = -и2, поэтому Часто в практике прочностного анализа приходится рассм ривать сложные (или составные) сечения, под которыми лГ нимаются сечения, составленные либо из нескольких связ^ ных простых геометрических профилей (имеющих в сече прямоугольники, треугольники, круги, ...), либо из так в^ ваемых специальных стандартных профилей (имеющих вХ^ чении формы двутавра, швеллера, уголка,...). Геометрически характеристики сечений специальных профилей даются в Tat лицах, называемых сортаментами. В приложении привело ны таблицы наиболее употребляемых профилей. Для сложных сечений специально оговаривается еще одв0 свойство геометрических характеристик. 2. Из определения основных геометрических характеристик (4.1) - (4.7) следует, что площади, статические моменты и осевые моменты инерции площади сложного сечения относительно некоторой оси соответственно равны сумме площадей, статических моментов, осевых моментов инерции отдельных частей сечения, определенных относительно этой же оси (рис. 4.5). Координаты центра тяжести сложных сечений определяются по формулам: sv Su Хл-ц ,, Я <4Л8) где Ai, щ, vt — соответственно площадь и координаты центра тяжести каждой из составляющих фигур (i = 1, 2 ,... п), п — число dA , 1> ~т и1 dA "г т^1 "1 "2 О Рис. 4.4. Расчетная схема определения центробежного момента инерции сечения с осью симметрии Рис. 4.5. Сложное сечение: Л,, и,, и, — соответственно площадь и коорД наты центра тяжести каждой из соответству" ющих фигур (i - 1, 2 , ... п), п — число такй^ сечений, ?А(, Su, So — площадь и статически моменты всего сечения (х3Оэу3 — собствевн^ центральные оси части 3 Зависимость между мостами при параллельном пе-м )Се осей координат. Пусть Ре® сиТельно первоначально бранных координатных осей Впа определены основные геометрические параметры — ста-ические и моменты инерции Епошади сечения (Su, Sv, Ju, Jv, геометрических характеристик j ) Пересчитаем эти характе- при параллельном переносе осей ристики для новой системы осей координат, полученной из исходной параллельным переносом осей: щ - и+b; Vi = v + а; Гео**" iKHX Рис. 4.6. Схема для расчета SUl = J VidA= J vdA+a J dA = Su+aA; (A) S^ = J UjdA= J udA + b J dA = SU+ bA. (A) (A) (A) Вывод 1. При параллельном переносе осей координат статический момент площади изменяется на величину, равную произведению площади сечения на расстояние между осями. Вывод 2. Статические моменты возрастают с увеличением расстояния от центральных осей (оси и Сй) (рис. 4.6), относительно которых они равны нулю (S^ =0;SW) =0). Моменты инерции сечения относительно новых осей будут Равны: амечание. Если исходные оси координат — центральные,! то формулы для моментов инерции приобретают вид {щ = х0 + ^,; v\ = i/o + «1): JUx =Jxo +а?А; JVl=Jyo+b12A; (4 24) Лщщ = Jxoyo +а1Ь1А. Вывод 3. Минимальные значения моментов инерции сече-j ния получаются относительно центральных осей. Вывод 4. При параллельном переносе осей координат моменты инерции рассчитываются по формулам (4.21) - (4.23). В случае, если исходные оси центральные, то по формулам (4.24). 4.3. Главные оси инерции и главные моменты инерции Рассмотрим, как меняются моменты инерции произвольного сечения при повороте системы координат. Пусть известны моменты инерции Ju, Jv, Juv относительно исходной системы осей координат uOv. Определим эти же геометрические характеристики относительно осей щОи^ повернутых на угол а (принятое] положительное направление вращения показано на рис. 4.7). Переход к новой системе осей координат задается соотношениями: В случае когда одна из исходных координатных осей является осью симметрии (Juv = 0), то выше приведенные формулы приобретают более простой вид: Ju, = J и cos2 a + Ju sin2 a; и J = Ju sin2 a+Jv cos2 a; (4.29) Замечания. 1. Легко видеть, что при повороте координатных осей на угол a = 90° моменты инерции сечения меняются местами, т. е. (4.30) Рис. 4.7. Расчетная схема к определению моментов инерции при повороте координатных осей (4.31) 2. Сумма осевых моментов инерции остается величиной инвариантной (постоянной) при повороте осей и равняется полярному моменту инерции: Jul + Jvi = Ju (cos2 a + sin2 a) + +JV (sin2 a + cos2 a )-Ju+Jv=Jp. Следовательно, существует такое значение угла а, при котором осевые моменты инерции приобретают экстремальные значения, когда один из них достигает максимальной величины, а другой — минимальной. Введем определения. 1. Оси координат, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции, а соответствующие значения осевых моментов — главными моментами инерции сечений. 2. Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения называются главными центральными осями сечения, а соответствующие моменты — главными центральными моментами инерции сечения.