Решение статически определимых задач
показывает, что одноосное наЛ женное состояние при растяжении (рис. 3.4) эквивалентное повороте площадок плоскому напряженному состоянию* действуют на боковых гранях напряжения аа, та, аа+90, та Д Анализ выражений (3.23) позволяет сделать следую* выводы: 1. При а = 0 в поперечном сечении имеет место наибольМ нормальное напряжение а„ = а = F/A и реализуется однооД напряженное состояние. 2. При а = 45°, аа = а/2, 1а = а/2, т. е. имеем и нормальМ и касательные напряжения в наклонном сечении, причемX сательные напряжения достигают своего экстремального зва чения, равного а/2. ^Н 3. На взаимно перпендикулярных площадках касательА напряжения равны и противоположны: = —^а+90 Я (иллюстраций закона парности касательных напряжений).! 4. При а = 90°, т. е. в продольных сечениях, параллельных оси стержня, нет никаких напряжений: '^Н <590=0. ^90 =0- V Иными словами, при растяжении стержня его продольные волокна не давят друг на друга и не сдвигаются друг относительно друга. Рассмотрим процесс деформирования стержня с энергетических позиций. Пусть нагружение стержня силой (рис. 3.1» 3.4) происходит при медленном увеличении силы от нуля Д* своего конечного значения, равного F. Такое нагружение называется статическим. Внешние силы (F, RЛг), приложеные К стержню, совершают работу W, которая частично переходит в> потенциальную энергию деформации тела U и кинетическую j энергию К. При статическом нагружении можно считать К = т. е. U = W (рис. 3.5). Построим диаграмму растяжения стержня силой F на уЯ" ругом участке (по оси координат отложим значение силы а на оси абцисс— соответствующие им абсолютные переМе*1 щения ДI). Множитель 1/2 показывает, что сила и удлинение постепенно достигают своих конечных значений — работа есть площадь заштрихованного треугольника на рис. 3.5. Так как объем всего стержня V - А ? I, то значение удельной потенциальной энергии стержня, т. е. энергии, приходящейся на единицу объема будет Потенциальная энергия U (как и работа W) выражается в I джоулях (Дж). Удельная потенциальная энергия и выражается в отношении джоуля на метр кубический Дж/м3 (1 Дж/м3 = = 1 Нм/м3 = 1 Н/м2 = 1 Па). Расчет удельной потенциальной энергии конструкции необходим при прочностном анализе на основе энергетических критериев прочности (т.е. условий или гипотез прочности). уравнения равновесия: — сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из коор¦ динатных осей равна нулю, например: ^^ — сумма проекции всех сил и сил реакций на другую ось плоскости действия сил равна нулю, пусть 2Л-* Я — сумма моментов всех внешних сил и сил реакций относи-' тельно любой точки этой плоскости равна нулю: ^momA(Fi)=0, ( где т. А произвольна. Иногда для плоской системы сил бывает рациональнее принять три уравнения в другом виде, но «новые» уравнения суть следствия трех вышеназванных: — сумма проекций всех сил и сил реакций на одну из координатных осей плоскости равны нулю, например: 1^=0; — сумма моментов всех сил и сил реакций относительно! любой точки плоскости равна нулю, пусть JjmomA(Fi)=0; 4 — сумма моментов всех сил и сил реакций относительно дру-' гой точки плоскости равна нулю, пусть ^jmomB(Fi)=0 Л (т. А и В выбираются из соображений рациональности составления уравнений равновесия). Типичное моделирование условий закрепления концов стержней для плоской системы сил показано на рис. 3.6. В общем случае пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия для стержня: — сумма проекций всех сил и сил реакций относительно одной координатной оси равно нулю: 1^=0; Моделирование видов закрепления действием реактивных силовых факторов: шар-нирно-подвижная опора — а (реакция вертикальная); шарнирно-неподвижная опора — б (направление реакции неизвестно, ищутся две ее составляющие RAy, Д^); жесткая заделка — в (три неизвестных силовых фактора — две силы и один момент); стержень, шарнирно закрепленный с двух концов — г (принято считать, что он работает на растяжение или сжатие) ® — сумма проекций всех сил и сил реакций относительно другой координатной оси равна нулю: 1^=0; сумма проекций всех сил и сил реакций относительно третьей координатной оси равна нулю: 1^=0. К ним добавляются три уравнения равенства моментов всех ил и сил реакций относительно этих координатных осей: ^,momx(Fi)=0, '?momy(Fi) = 0, Y,momz(Fi )=°- Ня ' о ' ' ' Рис- 3.7 представлено моделирование жесткого закреп- ия балки — заделка заменена шестью реактивными сило- Ми Факторами. Рис. 3.7. Замена жесткой заделки силовыми факторами — реактивным: силами (RAx, RAi/, R^) и реактивными моментами (Мх, Мц, Мг = Т) j В статически определимых задачах число неизвестных де^ ций равно числу уравнений статики для анализируемого т^Д Пример 1. Провести оценку влияния собственного веса на продоль ную деформацию стержня. Пусть длина стержня I, площадь поперечного сечения А, собстве ный вес G, модуль упругости материала стержня Е. Решение. 1. Условие равновесия (сумма проекций всех сил на ось г) позволя определить реакцию в заделке (сила веса G направлена вдоль оси г): Х32=0: С-ДЛ2=0, RA2 = G. 2. Применяем метод РОЗУ и определяем продольную силу в сечени I - I, она равна весу оставшейся части конструкции: G G' = j (l-z), N = G'=j V-z). Максимальные нормальные напряжения, очевидно, будут в задел при г = 0: _GI G1_ Gmax ~ 1А~ V ~Т> где V = А1 — объем стержня, у— удельный вес. Проведем численную оценку: имеем стержень из мягкой стали длиЯ / = 100 м, у= 10е 0,0785 Н/м3, [о] = 180 МПа. Тогда =10" 0,0785 100= = 7,85 10е Н/м2 = 7,85 МПа, что составляет меньше 5% от величины [о]-Рис. 3.8. Расчетная схема стержня при оценки собственного веса Таким образом можно сделать вывод, что влияние собственного веса стержневой конструкции следует учитывать при очень длинных стержнях (например, для канатов подъемников). 4. Оценим деформацию стержня: о (l-z) 2 Е ' Е Текущее значение абсолютного удлинения Дl(z): A l(z) = \*0l(l-z)dz = l\*0(l-z)dz. Полное абсолютное удлинение стержня при z=l равно: Л7 Gl АI = у-=- 2-Е 2 ЕА или удлинение стержня под действием собственного веса вдвое меньше, чем удлинение под действием такой же по величине, как вес, нагрузки, но приложенной к концу стержня (сравните последнее выражение с (3.8)). Пример 2. Проверить прочность и жесткость ступенчатого стержня натуженного, как показано на рис. 3.9а. Материал стержня Ст 3, [Ai] = 2 мм. Решение. Для материала стержня из стали принимаем: Е = 2 • 105 МПа, [о] = 160 МПа. Мысленно отбросив заделку в т. D заменяем ее действие реакцией ог и из условия равновесия стержня (сумма проекций всех сил на ось z а нулю) определяем неизвестную реакцию: 2Х=0: F+2 F-RD2=0, RDz=3F. Применяем метод сечений и находим продольную силу n. У да ного стержня три характерных участка I - АВ, II - вс, III - cd (з0ц? приложения сил и изменения площади поперечного сечения). Проводя сечения I - I и II - II на участках АВ и вс и, оставляя дЯ уравновешивания левую часть, очевидно, получаем ni = iVn = f (рис. 3.9 0 (направлена от сечения). На рис. 3.9в представлена эпюра продольной силы вдоль оси стержня. 3. Эпюру нормальных напряжений получим, разделив силы n на площади соответствующих участков (рис. 3.9г). Проверим условие прочая сти Ощ, =150 МПа < [о]. Расхождение около 6% нормально. 4. Оцениваем деформацию стержня. Эпюру перемещений строим, начиная от заделанного правого конца. В пределах каждого участка (где 0 = C0nst) эпюра А1 — линейная функция (рис. 3.1к). Так, например, на участке III в сечении III - III (рис. 3.95): niuz дЦг) = еа, Здесь координата г отсчитывается от т. d влево (рис. 3.9а). Определяем перемещения сечений, совпадающих с границами участков (записав их в размерностях ньютона и метра, полученные ответы — в метрах, переведены в миллиметры): nma (З 120 103)1 ? ш - V ' - = 75-10"5 м = 0,75мм; еа2 (2 105 106)(2400 104) nua_ (120 103)1 ел2 (2 10510в) (2400 Ю-6)-' nv2a (120 103) 2 ыав=—-= т-г—„ч / -— = 12010"5м = 1,2мм. EAl (2 105 106 )• (1000 10 е) Абсолютное перемещение точек С, В, а составят: Дс = tdcD = 0,75 мм; Ав =А1СВ + А1ВС =0,75+0,25=1 мм; aa=mcd + aibc+aiab=0,75+0,25+1,2=2,2mm. Эпюра продольных перемещений представлена на рис. 3.95. Для про" верки жесткости следуют сравнить полученное максимальное значение aiad=aia=2,2 мм с допускаемым [Д/] для данной конструкции. Условие жесткости не выполняется, т.к. Al^ >[А/] = 2,0 мм, превы-1в 6 Составляет и находится вне области возможной перегрузки, ^^ьтвод. Условие прочности выполняется, условие жесткости не вы-яется. Следовательно, конструкция требует увеличения жесткости ков ув°личения площадей участков либо уменьшения длин участ-Или уменьшения приложенной нагрузки.