Методика прочностного анализа стержневых конструкций
Растяжением (или сжатием) называется такой вид дефор мации стержня, при котором в поперечном сечении возникает только продольная сила (нормальная растягивающая или сжимающая, т. е. N * 0), а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю (Ох = Оу = О; Т = Мх = Му = 0). В стержне при этом рассматривается поперечное, т. е. перпендикулярное оси стержня сечение. Методика прочностного анализа любой конструкции содержит следующие основные разделы: 1. Определение всех внешних сил и сил реакций. 2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня (бруса). 3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений. 4. Построение графика (эпюры) деформации стержневой конструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жесткости. Проиллюстрируем вышесказанное на примере растяжения стержня. Пусть мы имеем прямой стержень АВ длины I постоянного сечения (например, квадратного со стороной а), жестко закрепленный на одном конце и нагруженный осевой силой F на другом. Стержень расположен'горизонтально, собственным весом стержня пока пренебрежем (рис. 3.1а). Выполним последовательно пункты методики прочностного анализа: 1. Определим величину реакции в заделке (саму заделку мысленно отбрасываем и заменяем силой реакции RM, рис. 3.16)- Реакцию Rм направляем влево (если в результате получим ее величину отрицательной, значит, сила реакции направлена в противоположную сторону, т. е. вправо). Все внешние силы и силы реакции направлены вдоль оси стержня, поэтому условие его статического равновесия в данном случае имеет вид (сумма проекций всех внешних сил и реакций связи на ось г): -RAz + F = 0. (3.1) Получаем величину реакции RA2 = F (заключаем, что выбранное направление силы реакции верно). 2. Применим метод сечений (РОЗУ) — рассекаем стержень в произвольном сечении I - I (рис. 3.1а, б) и рассматриваем равновесие либо правой части 2, либо левой части 1, т. е. отбрасываем одну из частей. Действие внутренних силовых факторов, заменяем равнодействующей силой N в сечении площадью А: N= J o,dA. (a) Уравновешивание любой из частей показывает, что продольная (нормальная) сила N равна F и направлена от сечения (рис. 3.1 в), следовательно по правилу знаков в сопротивлении материалов считается положительной. Когда N > 0 стержень работает на растяжение (если бы была направлена к сечению, то считалась бы отрицательной и стержневой элемент работал бы на сжатие). Поскольку сечение I - I было выбрано произвольно, эпюра продольной силы по длине стержня будет постоянной (рис. 3.1г, ордината — значение силового фактора). 3. Эксперимент показывает, что при рассматрутярмот^ ндде, нагружения плоские сечения до деформации и после приложе-! ния нагрузки остаются плоскими (это верно для всего стержня кроме краевых зон, величина которых сравнима с характерным размером поперечного сечения). Отсюда можно сделать вывод, что интенсивность внутренних силовых факторов по поперечному сечению постоянна, т. е. нормальные напряжения одинаковы в любой точке поперечного сечения и равны (рис. 3.15): 4. Процесс анализа деформации стержня при растяжении оказывает, что весь стержень удлинится на А1 (абсолютная (.формация) и его поперечные размеры сократятся на Да. Поскольку поперечные сечения остаются параллельными друг ovry 11 после нагружения, то относительная продольная деформация любого продольного отрезка (2.5) при растяжении постоянна и в нашем случае равна (рис. 3.1ж, з)\ А/ ег=у (3.4) Относительная деформация — величина безразмерная (иногда задается в %). Гипотеза упругости (физическая связь между напряжениями и деформациями) в случае растяжения (сжатия) стержневого элемента (закон Гука при растяжении - сжатии) имеет вид: сг=ег- Е, (3.5) где Е — модуль упругости материала (первого рода) или модуль Юнга — физическая характеристика, определяемая из опыта. В данной конкретной задаче (рис. 3.1з) продольная деформация постоянна вдоль оси стержня и равна Е ЕА Величина ЕА — жесткость стержня на растяжение-сжатие. Эксперимент показывает, что отношение величин поперечной деформации (например, еу = - Да/а) к продольной (е2) для изотропных материалов практически постоянно и оценивается коэффициентом Пуассона (физическая характеристика материала — коэффициент поперечной деформации): ц = (3.6) е* Эпюра поперечной деформации представлена на рис. 3.1 и. Величина ¦i для широкого класса конструкционных материалов изменяется в диапазоне: 0<ц<0,5. (3.7) Между абсолютной деформацией ДI стержня и его относительной деформацией ег существует связь: Полное удлинение стержня: при постоянном значении N ц площади сечения А равно: Ndz Fl (1)ЕА~ЕА' (3-8') На рис. 3.1k представлена линейная эпюра изменения текущего значения А1(г) в зависимости от координаты 2 (в т. Л жесткая заделка — перемещения нет). Аналитическое выра жение этой зависимости есть линейная функция = (3.9) Конкретную оценку прочности и жесткости стержня по эпюрам аг и ег поясним ниже на типовых элементах конструкций. Если наряду с внешними нагрузками имеется температурное воздействие, то согласно постулату о принципе независимости действия сил полная деформация есть суперпозиция силовой и температурной деформации, т. е. ег=^ + а-М, (3.10) hi где а — коэффициент температурного расширения, At — разность температур нагретого тела и исходного (за исходную температуру обычно принимают t = 20°С). В нашем случае при нагревании растягиваемого стержня полная абсолютная деформация его (или просто удлинение) равна: FI Д/ = —+ а/ Д*. (3.11) В таблице 3.1 приведены значения а для ряда материалов. Таблица 3.1 Коэффициенты линейного температурного расширения материалов Материал а,град 1 Материал а,град 1 Чугун 10,410 е Медь 18,510 е Сталь 1210 е Бронза 17,5-Ю"6 Алюминий 25,510-® Цинк 13,410 е