Плазма и электроны в металлах
При изучении электронных свойств твердых тел, таких, как теплоемкость и электрическая проводимость, систему свободных электронов можно было рассматривать как совокупность невзаимодействующих частиц. Однако существует целый ряд явлений, в которых взаимодействие электронов играет определяющую роль. В таких случаях говорят о проявлении электронами плазменных свойств. Вообще, плазмой называют систему, состоящую из большого числа подвижных частиц, по крайней мере часть которых обладает электрическим зарядом. Термин «плазма» широко используется в современной физике. Этот термин применяют к ионизированному газу при таких условиях, когда силами взаимодействия составляющих его частиц нельзя пренебрегать. Плазмой называют и электронный газ в металлах и полупроводниках. Плазма — это наиболее распространенное состояние вещества в природе. Звезды представляют собой гигантские сгустки горячей плазмы. Внешний ионизированный слой земной атмосферы, радиационные пояса, некоторые типы кометных хвостов, наконец, пламя мартеновской печи — все это примеры систем, являющихся плазмой. Отличительные свойства плазмы связаны с тем, что в ее состав входят частицы, обладающие электрическим зарядом. Новые, необычные для нейтрального газа свойства плазмы обусловлены тем чрезвычайно сильным воздействием, которое оказывают электрические и магнитные поля на движение заряженных частиц. На нейтральные частицы электрические и магнитные поля оказывают гораздо меньшее воздействие. В газе нейтральных частиц информация о локальном изменении состояния, например об увеличении концентрации частиц в каком-либо месте, передается лишь в результате столкновений частиц. В плазме картина иная. В отличие от нейтральных частиц, которые взаимодействуют друг с другом только на малых расстояниях, заряженные частицы взаимодействуют с помощью даль-нодействующих кулоновских сил. При локальном изменении состояния в плазме возникают электрическое и магнитное ноля, которые действуют на всю плазму в целом. В результате в плазме возникают коллективные движения частиц — колебания и волны. Скорость передачи информации о локальных возмущениях определяется скоростью распространения электромагнитных волн в плазме. Именно наличие таких специфических коллективных процессов в плазме- волн, в которых происходят колебания как частиц плазмы, так и сопровождающих движение заряженных частиц электро- магнитных полей,— и позволяет говорить о плазме как о четвертом состоянии вещества. Газоразрядная плазма, как правило, представляет собой смесь трех компонент: свободных электронов, положительных ионов и нейтральных атомов или молекул. Электроны —это наиболее подвижная часть плазмы, и именно с движением электронов связаны ее наиболее интересные свойства. Ионы же вследствие гораздо большей массы ведут себя более «пассивно», благодаря чему во многих случаях можно вообще пренебрегать их движением и рассматривать ионную часть плазмы как неподвижный положительный фон, на котором происходит движение электронов. Такое приближение однокомпонентной плазмы тем более оправдано для электронов в металлах, где движение ионов вообще ограничено колебаниями вблизи положений равновесия. Одним из важнейших свойств плазмы является ее стремление к сохранению равенства плотностей электрического заряда положительных и отрицательных частиц. В самом деле, при высокой плотности заряженных частиц в плазме даже малое пространственное разделение положительных и отрицательных зарядов привело бы к появлению очень сильных электрических полей, стремящихся восстановить локальное нарушение электронейтральности. Поэтому в среднем (в достаточно большом объеме или за достаточно большой промежуток времени) плазма должна быть почти нейтральной, или, как говорят, квазинейтральной. Оценим величину объема и промежутка времени, в которых выполняется квазинейтральность плазмы. Представим себе, что в плоском слое однородной нейтральной в целом плазмы все электроны сместились на расстояние .х в одном и том же направлении (рис. 11.1). Возникающее в результате такого смещения электронов результирующее распределение зарядов будет таким же, как и в плоском конденсаторе. Электрическое поле в плазме определяется плотностью заряда на «обкладках» такого «конденсатора». При смещении электронов в слое толщиной / (рис. 11.1) нарушение нейтральности происходит только в тонких областях толщиной д- вблизи границ слоя: слева образуется избыток положительного заряда, справа — отрицательного. Если концентрацию электронов в нейтральной плазме обозначить через п, то при смещении всех электронов в слое на расстояние х заряд а на единице площади «обкладки» будет равен епх. Поэтому напряженность поля Е в «конденсаторе» будет равна Е=4ка = 4пепх. (11.1) Действующая на каждый электрон в слое сила F=—eE будет пропорциональна смещению электрона х и, как видно из рис. 11.1, направлена в сторону, противоположную смещению: F=-4nne2x. (11.2) Поэтому электроны будут совершать гармонические колебания, частота которых сор определяется выражением Липе = —(П.З) где т — масса электрона. Эта частота сор—одна из важнейших ларактеристик плазмы. Ее называют плазменной частотой, а сами колебания — плазменными или ленгмюровскими. по имени американского физика Ленгмюра, впервые исследовавшего эти колебания. Таким образом, в результате разделения зарядов в плазме возникают электрические поля, вызывающие колебания частиц. Эти колебания стремятся восстановить квазинейтральность плазмы. Ясно, что заметить отклонения плазмы от квазинейгральносги можно только на протяжении времени, малого по сравнению с периодом плазменных колебаний. В среднем (за много периодов колебаний) плазма ведет себя как квазинейтральная среда. Период плазменных колебаний Тр = 2п/(йр — это характерный временной масштаб разделения зарядов в плазме. Теперь оценим пространственный масштаб разделения зарядов в классической плазме. Очевидно, что отклонение плазмы от квазинейтральности может проявляться только в области, размер которой меньше амплитуды плазменных колебаний. Но эта амплитуда не может быть сколь угодно большой из-за теплового движения электронов, которое приводит к разрушению электрических полей, связанных с плазменными колебаниями. Возникающее при плазменных колебаниях пространственное разделение зарядов «смазывается» в результате теплового движения электронов. Максимальное расстояние, на котором еще возможно разделение зарядов, не может превышать расстояния, проходимого электроном с характерной тепловой скоростью за время существования пространственного разделения зарядов. Поскольку это время порядка периода плазменных колебаний, то для пространственного масштаба разделения зарядов в плазме получаем следующее выражение: (11.4) Эта величина носит название дебаевского радиуса экранирования, по имени английского физика Дебая, который впервые ввел ее при изучении экранировки кулоновского взаимодействия заряженных частиц. На расстоянии дебаевского радиуса происходит экранирование кулоновского поля любого заряда. Причиной этого экранирования является преимущественная группировка вокруг любого заряда заряженных частиц противоположного знака. Кулоновские силы стремятся максимально приблизить к внесенному в плазму пробному заряду заряженные частицы противоположного знака, а хаотическое тепловое движение препятствует этому. В результате вокруг пробного заряда возникает пространственно неоднородное распределение электронов, приводящее к нейтрализации всей системы на расстоянии порядка дебаевского радиуса г0. Полностью ионизированная однокомпоненгная квазинейтральная плазма в состоянии термодинамического равновесия характеризуется четырьмя параметрами: зарядом частиц е, их массой т, концентрацией п и температурой Т. Нетрудно убедиться, что из этих величин можно составить только один независимый безразмерный параметр у: „2_1/3 (11.5) Постоянная Больцмана к в этом выражении появляется потому, что в системе единиц СГС температуру, характеризующую среднюю энергию теплового движения, необходимо выразить в эргах. Другими словами, если через Т обозначена температура в градусах Кельвина, то в эргах ей соответствует величина к Т. Безразмерный параметр у имеет простой физический смысл: с точностью до множителя порядка единицы он равен отношению потенциальной энергии электростатического взаимодействия двух частиц плазмы, находящихся на расстоянии л-1/3 друг от друга, равном среднему расстоянию между частицами, к средней энергии теплового движения частиц. Если этот параметр ycl, то потенциальная энергия мала по сравнению с кинетической и плазма по своим термодинамическим свойствам близка к идеальному газу. Таким образом, классическая плазма, как видно из формулы (11.5), является тем более идеальной, чем выше ее температура и чем ниже концентрация частиц в ней. До сих пор молчаливо предполагалось, что к частицам, из которых состоит плазма, можно применять законы классической физики. В газоразрядной и тем более в ионосферной плазме это действительно так, ибо расстояние между электронами много больше их деб-ройлевской длины волны. А как обстоит дело для плазмы, представляющей собой электроны в металлах или полупроводниках? В этом случае поведение электронов описывается квантовой механикой, и мы должны ожидать, что в формулах, выражающих свойства такой плазмы, наряду с параметрами е, m, п и кТ появится постоянная Планка h. Теперь наряду с безразмерным параметром у, даваемым формулой (11.5), появляется еще один независимый безразмерный параметр Г: h2n213 (11.6) mkl Физический смысл этого параметра легко уяснить, обращаясь к формуле (10.5): Г представляет собой отношение энергии Ферми Ег к характерной тепловой энергии кТ. Если Г<1, т.е. EF<^.kT, то электронный газ по своим свойствам близок к рассмотренной выше классической плазме. Так бывает в полупроводниках при не слишком больших концентрациях электронов проводимости и достаточно высоких температурах. Как мы видели в предыдущем параграфе, для электронов в металлах при всех температурах вплоть до точки плавления, EF^>kT и, следовательно, Г»1. Для такой плазмы потенциальную энергию кулоновс-кого взаимодействия электронов е2п11 следует сравнивать не с кинетической энергией теплового движения кТ, а с энергией Ферми Ег=р\\2т~к2п2,ъ\т. Степень близости электронной плазмы в металлах к идеальному газу характеризуется безразмерным параметром, который принято обозначать rs: _ е2п1/3 __ е2т (1 1 ~ h2n2li/m ~ h2n1/3' U ' Нетрудно видеть, что параметр rs пропорционален отношению среднего расстояния между электронами я-1/3 к боровскому радиусу a0 = h2/(те2). Электронный газ в металле был бы близок к идеальному газу при rs «с 1. Из формулы (11.7) видно, что, в противоположность классической плазме, электронный газ тем ближе к идеальному газу, чем выше его концентрация. Конечно, при увеличении концентрации электронов п потенциальная энергия их взаимодействия возрастает. В случае классической плазмы, где кинетическая энергия не зависит от концентрации, степень близости плазмы к идеальному газу при этом убывает. Для электронов в металле, как мы видели, вследствие принципа Паули кинетическая энерия растет с увеличением концентрации, как п2'3. Поэтому, несмотря на увеличение потенциальной энергии, которая растет, как л1/3, отношение потенциальной энергии к кинетической убывает. Другими словами, относительная роль взаимодействия при увеличении концентрации электронов становится все меньше и меньше. Оказывается, что для реальных металлов параметр rs больше единицы, г. е. концентрация электронов все-таки недостаточно высока для того, чтобы электронный газ можно было считать идеальным. Для электронов в металле более подходящим является название «электронная жидкость», чем «электронный газ». Тем не менее последовательная теория электронной жидкости металлов показала, что многие свойства, полученные в модели свободных электронов, качественно остаются справедливыми и при учете электронного взаимодействия. Частота плазменных колебаний представляет собой граничную частоту для электромагнитных волн, которые могут распространяться в плазме. Волны с частотой, меньшей не могут проникать в плазму, так как низкочастотные электромагнитные поля таких волн экранируются заряженными частицами плазмы. Падающая на границу плазмы волна при а><сор отражается от границы. Если же частота электромагнитной волны выше плазменной частоты, то такая волна проникает в плазму. Концентрация свободных электронов в щелочных металлах такова, что частота плазменных колебаний соответствует ультрафиолетовой области спектра. Поэтому в ультрафиолетовой области щелочные металлы прозрачны, хотя в видимой и инфракрасной областях спектра хорошо отражают падающее на них излучение. Для ионосферной плазмы граница прозрачности попадает в диапазон метровых радиоволн. ВОПРОСЫ 1. Чем отличается заполнение энергетических зон в диэлектриках, полупроводниках и металлах? 2. Что такое эффективная масса электрона в кристалле? 3. Что такое энергия Ферми и импульс Ферми? Как эти величины зависят от концентрации свободных электронов в металле? 4. Чем объясняется малый по сравнению с кристаллической решеткой вклад электронов проводимости в теплоемкость металлов? 5. Как объясняется закон Ома на основе представлений о свободных электронах в металлах? 6. Каковы физические причины возможности существования в плазме большого числа разнообразных колебательных и волновых процессов? 7. Как плазменная частота зависит от концентрации электронов? 8. Па какое расстояние простирается кулоновское поле внесенного в классическую плазму электрического заряда? 9. Почему, строго говоря, свободные электроны в металле некорректно рассматривать как идеальный газ? 10. Чем объясняется прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра и. прозрачность ионосферы для радиоволн метрового диапазона?