Электронные свойства простых металлов
Многие макроскопические свойства металлов, обусловленные наличием в них электронов проводимости, невозможно объяснить на основе классической статистической механики. Объяснение поведения коллектива электронов проводимости требует обязательного привлечения квантовых закономерностей. Рассмотрим подробнее свойства электронов проводимости в металлах, считая для простоты, что их эффективная масса изотропна, а число электронов проводимости в образце равно числу атомов металла N. Именно так обстоит дело, например, у щелочных металлов. Хотя поведение отдельного электрона проводимости в кристалле очень сходно с поведением классической свободной частицы, свойства коллектива таких электронов резко отличаются от свойств классического газа. Причина этому принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Принцип Паули приводит к тому, что даже при абсолютном нуле температуры электроны не могут находиться в состоянии покоя, так как нельзя все электроны поместить в состояние с равным нулю импульсом. Оказывается, что уровню энергии с нулевым импульсом соответствуют только два различных квантовых состояния. Поэтому только два из N электронов могут иметь равные нулю импульс и энергию. Всем остальным электронам придется занимать состояния с отличными от нуля импульсом и энергией. При температуре 7 =0 К система электронов будет иметь наименьшую возможную энергию, если все состояния с импульсами, меньшими некоторого предельного значения, называемого импульсом Ферми pF, будут заняты, а все состояния с большими импульсами-пусты. Функция распределения электронов по состояниям /(р), дающая вероятность заполнения данного состояния с импульсом р, будет, следовательно, при Т—0 К равна единице при \p\^pF и равна нулю при \p\>pF (рис. 10.1). Значение импульса Ферми зависит от объемной концентрации электронов в зоне проводимости n=N/V, где V—объем образца. Характер этой зависимости можно установить на основании соотношений неопределенностей Гейзен-берга. Пусть образец металла имеет форму прямоугольного параллелепипеда, со сторонами Lx, Lr, Lz. Для электрона, находящегося внутри образца, наибольшая неопределенность в значе- Рис. 10.1 Функция распределения электронов при абсолютном нуле НИИ * "КООрДИНаТЫ равна температуры размеру образца в этом на- правлении; поэтому наименьшая неопределенность его л:-компоненты импульса Арх определяется соотношением А(10.1) Lx Такие же соотношения справедливы и для Ару, А р.. Поэтому для произведения неопределенностей имеем Поскольку Арх есть наименьшая неопределенность значения рх, совместимая с условием пребывания электрона внутри образца, то Арх есть та наименьшая величина, на которую следует изменить значение рх для того, чтобы можно было считать, что электрон находится уже в другом квантовом состоянии. Поэтому произведение ApxApyApz дает объем ячейки в пространстве импульсов, прй изменении импульса электрона в пределах которой его состояние не меняется. Это означает, что N электронов в соответствии с принципом Паули занимают в пространстве импульсов объем, пропорциональный NApxApyApz. В соответствии с (10.2) NApxApyApz~N~ = hin. (10.3) С другой стороны, этот объем равен объему шара радиуса pF с центром в начале координат: (4/3)npF. Поэтому pF~hzn, откуда pF~hn1/3. (10.4) Наиболвшая энергия, которую может иметь электрон проводимости в металле при Т= 0 К,— это энергия электрона с p—pF: „2 л 2 2/3 (10.5) * 2m* m* v ' Интересно сравнить энергию Ферми^ Ег с характерной тепловой энергией кТ. Для типичных металлов концентрация электронов проводимости составляет около 1021 1023 см-3, а эффективная масса т* близка к массе свободного электрона. Поэтому по формуле (10.5) легко подсчитать, что Ег оказывается порядка нескольких электронвольт. Легко убедиться, что тепловая энергия кТ становится сравнимой с энергией Ферми только при температурах порядка 50 000 К! Для всех металлов при всех температурах вплоть до точки плавления kT направленного движения электронов проводимости (10.9) имеет в точности такой же вид, что и уравнение движения тела в вязкой среде под действием силы трения, пропорциональной скорости: FTO= —— v. Это наводит т на мысль, что взаимодействие электронов проводимости с колебаниями решетки и примесями, приводящее к описываемой уравнением (10.9) релаксации средней скорости, можно учесть путем введения некоторой эффективной, непрерывно действующей на электрон силы трения Frp=—-v. При наличии постоянного электрического поля Е на электрон, кроме силы трения, действует еще сила — еЕ, где — е — заряд электрона. В стационарном состоянии электрон движется с такой постоянной скоростью, при которой эти силы уравновешиваются: —eE=-v. Такой же будет и средняя скорость движения электронов в металле под действием поля Е: =--Е. Плотность тока j рав- m на—en(v}. Подставляя сюда значение , находим . пе2т ,, .. 7 =-Е=аЕ. m Это и есть закон Ома. Вычисление времени релаксации т и, следовательно, удельной электрической проводимости а требует детального рассмотрения механизмов рассеяния электронов проводимости.