излучение света атомами
Квантовая механика позволяет только на основании известного заряда атомного ядра и числа электронов найти стационарные состояния электронов в свободном атоме и рассчитать многие свойства атомов, в том числе их оптические спектры. Кроме того, на основе квантовой механики можно рассчитать изменение стационарных состояний атома под действием внешних электрических и магнитных полей. Экспериментально эти изменения проявляются в спектрах испускания и поглощения света атомами. Изменения спектра под действием внешнего магнитного поля (явление Зеемана) и под действием электрического поля (явление Штарка) являются эффективными средствами изучения структуры вещества. Излучаемый атомом свет имеет длину волны, составляющую несколько тысяч ангстрем, что на три порядка превосходит размер атома. Покажем, что малости постоянной тонкой структуры а = е2/Пс, характеризующей силу взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Расстояние между уровнями энергии оптического электрона, определяющее согласно формуле E2 — El=h(o частоту излучаемого атомом света, по порядку величины равно энергии связи электрона в атоме водорода me*lh. Поэтому длина волны излучения X равна . 2 пс _ сП} К =-«271—т. (6.1) ш те4 v ' Выделим в этом выражении боровский радиус а0 = = h2/me2, характеризующий размер излучающего атома. Тогда остающийся множитель Лс/е2 равен обратной величине постоянной тонкой структуры: йо«1000яо. (6.2) а Большая длина волны излучения по сравнению с размером атома имеет, как мы увидим, важные физические следствия, заключающиеся в том, что спектральные линии излучения имеют малую ширину, а время жизни атома в возбужденном состоянии велико по сравнению с периодом колебаний в излучаемой волне. Стационарные состояния атомов, определяемые квантовой механикой, являются дискретными. Им соответствуют строго определенные значения энергии. Находящийся в возбужденном стационарном состоянии атом в отсутствие внешних воздействий, согласно квантовой механике, должен оставаться в этом состоянии сколь угодно долго. Однако опыт показывает, что это не так: спустя некоторое время возбужденный атом самопроизвольно переходит в основное состояние, испуская при этом квант света. Рассмотрим спонтанное излучение атомов подробнее. Покажем, что при спонтанном переходе в основное состояние атом испускает цуг волн конечной протяженности. Это в свою очередь означает, что излучаемый им свет не является строго монохроматическим, а распределен в некотором частотном интервале. Другими словами, спектральные линии, соответствующие спонтанному излучению атома, имеют некоторую конечную ширину. Это так называемая естественная ширина спектральных линий. для простоты будем рассматривать случай, когда спонтанное излучение происходит при переходах электрона между состояниями с большими квантовыми числами. Тогда на основании принципа соответствия процесс излучения света электроном можно рассматривать классически. Как было показано, предсказываемый квантовой теорией спектр излучения атома водорода при больших квантовых числах совпадает со спектром, предсказываемым классической теорией излучения: вращающийся по орбите электрон излучает свет, частота которого равна частоте обращения электрона. Излучая электромагнитные волны, атом теряет энергию. Радиус орбиты электрона при этом постепенно уменьшается, что на квантовом языке соответствует переходу из состояния с более высокой энергией в более низкое квантовое состояние. Оценим время, в течение которого происходит этот переход. Движение электрона по круговой орбите можно представить как суперпозицию двух гармонических взаимно перпендикулярных колебаний, сдвинутых друг относительно друга по фазе на л/2. Амплитуда этих колебаний равна радиусу орбиты, т. е., по порядку величины, размеру излучающего атома. Движущийся с ускорением заряд измучает электромагнитные волны, поэтому с каждым из этих колебаний связана электромагнитная волна. Так как длина волны велика по сравнению с размером атома, т. е. с амплитудой колебаний электрона, то для описания излучения атома можно воспользоваться результатами, полученными при рассмотрении излучения движущегося заряда. Обе излучаемые вращающимся электроном волны поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях, они не интерферируют, и поэтому их можно рассматривать отдельно. Найдем мощность, уносимую каждой из этих волн. Среднее по времени значение плотности потока энергии волны на расстоянии г от атома дается формулой (14.10) (с. 418): , .. 1 q2w*A2 . 2а 0> = =Г-Г- 3 2 Sln 9- ьо Эта формула написана в системе единиц СИ. Как записать ее в системе единиц СГСЭ, которая используется в этом разделе? Проще всего это сделать следу- ющим образом. Размерность всех величин в этой формуле, кроме заряда q, в обеих системах единиц одинакова, и переход в формуле к системе СГСЭ никак их не затрагивает. Что же касается заряда q, то с этой величиной следует поступить так же, как и в законе Кулона при переходе от единиц СИ к СГСЭ, т. е. заменить = <_y2> = = ^r2, усреднение выражения (6.4) по всем направлениям дает =¦ Поэтому полная излучаемая осциллятором мощность Р равна Излучаемая атомом мощность вдвое больше. Заменяя в (6.5) амплитуду колебаний А на боровский радиус а0 и отбрасывая несущественный при оценках множитель 2/3, получаем для излучаемой атомом мощности Р следующее приближенное выражение: Теперь мы можем оценить промежуток времени т, в течение которого продолжается единичный акт излучения, т. е. испускается один фотон с энергией Й со: h ш Tic Р е2ш3 ад С точки зрения классической физики атом начинает излучать сразу же после того, как он попадает в возбужденное состояние, и этот процесс длится в течение времени т. По квантовой теории излучение фотона и переход атома в основное состояние происходят мгновенно, скачком. В какой именно момент времени это произойдет, неизвестно. Момент самопроизвольного испускания фотона есть случайная величина, а время т есть среднее время жизни атома в возбужденном состоянии. Из формулы (6.7) видно, что обусловленное спонтанным излучением время жизни атома в возбужденном состоянии обратно пропорционально кубу частоты излучения. Рассмотрим произведение ют, которое с точностью до множителя 2 л дает отношение времени жизни возбужденного атома к периоду колебаний. Согласно классическим представлениям ют определяет число колебаний за время высвечивания. Другими словами, это есть число волн в отдельном излучаемом атомом цуге. С помощью (6.7) имеем П с3 ют е2(02 al Произведение юд0 равно скорости v электрона на орбите в атоме. Согласно формуле (5.2) отношение v/c равно постоянной тонкой структуры а. Поэтому выражение для ют принимает вид Пс 1 1 .. оч ют«— — = —. (6.8) е1 or or Так как а = 1/137, то ют%107. Для оптических частот <а«1015с-1. Отсюда получаем для времени излучения оценку т~10~8с. Таким образом, в отдельном излучаемом атомом Цуге содержится около 10 миллионов волн. Пространственная протяженность такого цуга составляет несколько метров. Это означает, что соответствующая спонтанному излучению свободного атома спектральная линия имеет конечную естественную ширину Дсо, связанную с длительностью отдельного цуга т соотношением (5.5) раздела «Оптика»: тДсо«2л. (6.9) Согласно формуле (6.8) отношение естественной ширины А со к частоте линии а) равно ^1*1<Г7. (6.10) ш 2л На опыте положение уровней энергии атома определяется по наблюдению спектральных линий. Так как линия излучения имеет конечную ширину, то частота излучения со и, следовательно, энергия возбужденного состояния атома не имеют строго определенного значения. Ширина возбужденного уровня энергии А Е равна произведению постоянной Планка на ширину спектральной линии Асо, излучаемой при переходе с этого уровня: Д?=Й Дсо. (6.11) Отношение ширины возбужденного уровня к расстоянию между уровнями, как видно из (6.10), равно всего одной десятимиллионной. Таким образом, из-за спонтанных переходов возбужденные уровни энергии атома имеют хотя и малую, но конечную ширину, а даваемые квантовой механикой строго дискретные значения энергии этих уровней следует понимать как средние значения. Бесконечно узким является только наинизший уровень энергии, соответствующий основному состоянию атома. Возбужденные состояния атома, строго говоря, не являются стационарными. Они получаются строго дискретными тогда, когда рассматривается изолированный атом. Для получения истинной картины необходимо даже свободный атом рассматривать вместе с электромагнитным полем. Уширение возбужденных уровней энергии атома вследствие спонтанных переходов находится в полном соответствии с соотношением неопределенностей Бора Гейзенберга. Подставляя в (6.11) Дсо = 2л:/т из (6.9), получим Неопределенность в значении энергии возбужденного уровня ДЕ связана с неопределенностью в моменте спонтанного перехода в основное состояние х соотношением (6.12), совпадающим с неравенством Бора Гейзенберга (2.4) этого раздела. Уширение уровней энергии атома проявляется не только в испускании, но и в поглощении света: линии поглощения также имеют конечную ширину. Атом может перейти из основного состояния в возбужденное, поглощая свет в определенном интервале частот, причем ширина этого интервала обусловлена шириной возбужденного уровня энергии. До сих пор мы рассматривали ширину спектральных линий изолированного атома, находящегося в покое относительно наблюдателя. Эта ширина является внутренним свойством атома. Наблюдаемые на опыте значения ширины спектральных линий, как правило, значительно больше их естественной ширины. Дополнительное уширение линий спектра разреженного газа обусловлено тепловым движением атомов и их столкновениями. Если среднее время свободного движения атомов между столкновениями х1 меньше времени жизни атома в возбужденном состоянии т, то эффективное время непрерывного излучения цуга волн сокращается до значения х1. Ширина линий Дю в этом случае определяется формулой (6.9), в которой т заменено на xt. Так как частота столкновений зависит от концентрации атомов, то уширение спектральных линий за счет столкновений уменьшается при понижении давления. При низком давлении преобладающим становится уширение, обусловленное явлением Допплера. Из-за теплового движения излучающие атомы имеют различные проекции скорости vx на направление наблюдения. Поэтому допплеровский сдвиг частоты излучения относительно частоты ш0 излучения неподвижного атома (со —со0)/со 0 — vx/c будет различен у разных атомов. В результате наблюдаемая спектральная линия, являющаяся суперпозицией узких естественных линий излучения многих атомов, уширяется. Интенсивность излучения /(со) пропорциональна числу атомов, излучающих свет в этом интервале. Чтобы найти число таких атомов, нужно в формуле для максвелловской функции распределения по скоростям заменить vx на с (со — со0)/(о0. В результате получим / (со) rfa> = /0 ехр ¦ - ^ " J rfco, (6.13) где /0 —интенсивность излучения на частоте со0, а Л/ масса атома. Контур спектральной линии, описываемый формулой (6.13), показан на рис. 6.2. Принимая за ширину линии интервал частот До, на границах которого интенсивность в е раз меньше, чем в центре линии, получим Рис. 6.2. Контур спектральной > ч 2 линии, обусловленный доппле- Мс I Аса \ _. ровским уширением 2кТ I 2(0 / откуда для допплеровской ширины линии имеем 2ш" ^ (6.14) м Допплеровская ширина спектральных линий пропорциональна корню из абсолютной температуры газа. Так как допплеровская ширина значительно превышает естественную, то увидеть естественную ширину линии можно лишь в специальных условиях, например наблюдая излучение пучка атомов в направлении, перпендикулярном скорости.