Законы движения в квантовой физике. Принцип соответствия
так, мы видели, что многие явления в микромире не описываются классической физикой и, пользуясь соотношениями неопределенностей Гейзенберга, можно установить границы применимости классического способа описания при рассмотрении тех или иных конкретных явлений. В тех случаях, когда классическое описание оказывается непригодным, необходим более описания физических явлений, который должен учитывать возможность проявления изучаемыми объектами как корпускулярных, так и волновых свойств. Современная квантовая теория ведет свое начало с 1926 г., когда Шрёдингером было предложено уравнение, носящее ныне его имя и лежащее в основе квантовой механики. Разумеется, изложение квантовой механики выходит за рамки этой книги, но мы можем обсудить разобранные выше экспериментальные факты и четко сформулировать, какой должна быть квантовая теория, способная последовательно объяснить все своеобразие явлений микромира. Обсуждая причины неприменимости представлений классической физики в микромире, мы видели, что эта неприменимость обусловлена рядом абстракций, допускавшихся в классической физике. В классической физике молчаливо предполагалась независимость физических процессов от способов наблюдения и возможность наблюдать одновременно все стороны данного процесса. В области квантовых явлений это не так. Вспомните, например, опыт с дифракцией фотонов на двух щелях: определяя, через какое отверстие проходит каждый фотон, мы этим измерением принципиально изменяли протекание физического процесса, так что дифракционная картина на экране оказывалась полностью размытой. Анализируя этот опыт, мы приходим к выводу, что основой нового способа описания явлений должен быть явный учет реальных возможностей измерений, проводимых над микрообъектами. Необходимым посредником при изучении таких объектов являются приборы: атомный объект может проявить свои свойства, только провзаимодействовав с прибором. Например, путь микрочастицы становится видимым в результате конденсации паров в камере Вильсона или в результате почернения зерен фотоэмульсии, и т. п. При этом приборы и условия опыта должны описываться классически, путем задания значений параметров, характеризующих приборы. Параметры этих приборов могут, разумеется, задаваться лишь с точностью, допускаемой соотношениями неопределенностей. В основу нового способа описания поведения микрообъекта следует положить результа.ы взаимодействия этого объекта с классически описываемые прибором. Свойства атомного объекта выводятся из рассмотрения результатов таких взаимодействий. Это не исключает возможности введения таких величин, которые характеризуют сам микрообъект независимо от прибора (заряд, масса частицы и т. д.), но в то же время позволяет изучать поведение объекта с той его стороны (например, корпускулярной или волновой), проявление которой обусловлено устройством прибора. Таким образом, появляется возможность рассматривать и тот случай, когда разные стороны и разные свойства объекта не проявляются одновременно. По Бору, свойства, проявляющиеся при взаимно исключающих условиях (вспомните обсуждение корпускулярно-волнового дуализма), дополняют друг друга в том смысле, что только их совокупность характеризует объект полностью. Рассматривать' одновременное проявление дополнительных свойств не имеет смысла. Таким образом, в новом подходе и не возникает внутреннего противоречия в понятии «корпускулярно-волновой дуализм». Итак, в основе описания результаты взаимодействия микрообъекта с прибором. Но опыт показывает, что при данных внешних условиях результат взаимодействия объекта с прибором не является однозначно определенным, а обладает лишь некоторой вероятностью. Вспомните тот же дифракционный опыт: каждый фотон попадал в определенное место экрана, но предсказать точно, в какое именно, было невозможно; существовала лишь определенная вероятность попадания фотона в то или иное место. Таким образом, в описание микрообъекта, его состояния и поведения вводится новый элемент — понятие вероятности, а тем самым и понятие потенциальной возможности. Понятие вероятности рассматривалось и в классической физике при изучении свойств систем, состоящих из большого числа частиц. Вероятности вводились тогда, когда условия опыта не были полностью известны и по неизвестным параметрам приходилось проводить усреднение. Например, при рассмотрении броуновского движения нам неизвестны координаты и скорости всех молекул, сталкивающихся с броуновской частицей. Поэтому мы могли предсказать толькр вероятность попадания частицы в то или иное место. В классической физике вероятности отражали неполноту формулировки задачи, которая, быть может, практически и неизбежна, но в принципе устранима. В примере с броуновской частицей нам неоткуда взять значения координат и скоростей всех молекул, но классическая физика допускает возможность измерить все эти величины, не нарушая течения изучаемого процесса, и однозначно предсказать движение броуновской частицы. В квантовой физике вероятности имеют совсем иной характер. Здесь они принципиально необходимы; их введение характеризует не неполноту условий, а объективно существующие при данных условиях потенциальные возможности. Следует отметить, что в процессе создания квантовой теории высказывалась, точка зрения, что введение понятия вероятности и в квантовой механике все-таки связано с тем, что на самом деле микрообъекты обладают определенной, неизвестной нам внутренней структурой. Поэтому в квантовой механике, как и в статистической физике, приходится считать, что переменные, описывающие эту внутреннюю структуру, распределены случайным образом. Иными словами, в квантовую теорию понятие вероятности вводится только потому, что она не является полной; она станет полной только тогда, когда будут найдены величины, характеризующие внутреннюю структуру частиц. Но в настоящее время можно утверждать, что квантовая теория, основанная на понятии вероятности результата взаимодействия объекта с прибором, оказалась исключительно успешной и, наоборот, нет никаких экспериментальных фактов, которые свидетельствовали бы о неполноте квантовомеханического описания поведения микрообъектов. Продолжим обсуждение основ квантовой теории. Из сказанного выше ясно, что задать состояние квантового объекта — значит задать распределение вероятностей, или потенциальных возможностей получения того или иного результата взаимодействия объекта с прибором. То обстоятельство, что должны задаваться вероятности также и для тех величин, измерения которых несовместимы, показывает, что речь идет именно о потенциальных возможностях, а не о значениях величин самих по себе, вне связи с условиями их измерения на опыте. Теперь можно сказать несколько слов и о том, каким должен быть математический аппарат квантовой теории по сравнению с математическим аппаратом классической физики. В классической физике математический аппарат должен давать значения определенных физических величин, т. е. числа. В квантовой теории математический аппарат должен давать не только возможные значения физических величин, но и вероятности получения на опыте тех или иных возможных значений этих величин. В квантовой теории сформулированные требования удовлетворяются следующим образом. Состояние изучаемой системы характеризуется определенной функцией, называемой волновой или \¦/-функцией, в том смысле, что через эту функцию выражаются все вероятности для результатов измерения над системой. Волновая функция определяется из уравнения Шрёдин-гера —основного уравнения квантовой механики. Каждой физической величине сопоставляются определенные математические операции, которые следует проделать над vjz-функцией, чтобы получить необходимую информацию. Эта совокупность математических операций называется оператором соответствующей физической величины. В квантовой механике каждой физической величине, например энергии, координате, импульсу, сопоставлен определенный оператор. Как выбираются сами операторы? При построении квантовой теории огромную роль сыграл так называемый принцип соответствия, сформулированный Бором: законы квантовой физики должны быть сформулированы таким образом, чтобы в классических границах, когда, например, в изучаемый процесс вовлечено много квантов, эти законы приводили бы к классическим уравнениям для усредненных величин. Использование принципа соответствия позволило найги вид операторов, сопоставляемых определенным физическим величинам. Но общих правил составления операторов для физических величин указать нельзя. Требование удовлетворения принципу соответствия отнюдь не является тривиальным. Возникает вопрос, как согласовать квантовый подход, основанный на рассмотрении вероятностей, с классическим, допускающим тачное предсказание поведения системы. Рассмотрим с этой точки зрения уже разобранный выше пример рассеяния фотонов свободными электронами. Как видно из формулы (1.11), максимально возможное уишна равно 2 h/(m0c), что примерно составляет 10"10 см. Это слишком маленькая величина, чтобы ее можно было заметить при рассеянии радиоволн с длиной волны порядка 1 см и больше. Соответствующие таким волнам частоты оказываются порядка 1010 Гц, так что энергия одного фотона составляет 10 16 эрг, или 10~4эВ. Легко подсчитать, какую наибольшую энергию может приобрести электрон в результате рассеяния одного такого фотона. С помощью формулы (1.10) находим, что AEmax = hAvmsix составляет 10~14эВ. Для того чтобы в результате рассеяния радиоволн приобрести энергию всего в 1 эВ, электрон должен рассеять по меньшей мере 1014 квантов! Разумеется, нельзя точно предсказать результат каждого индивидуального акта рассеяния, но результаты рассеяния такого большого числа квантов, которое фактически представляет собой непрерывный процесс, являются вполне определенными и совпадают с тем, что дает для этого случая классическая электродинамика. Проиллюстрируем справедливость принципа соответствия на примере модели Бора для атома водорода. В теории Бора частота света, излучаемого атомом при переходе из стационарного состояния с энергией Ек в состояние с энергией ?„, выражается формулой (4.1) В применении к атому водорода принцип соответствия означает, что чем больше квантовое число п стационарного состояния, тем лучше выполняются для него законы классической физики. По мере увеличения п радиус орбиты электрона возрастает, а разность энергий двух соседних уровней стремится к нулю. При этом скачкообразные переходы между соседними уровнями становятся почти эквивалентными непрерывному процессу. В этом предельном случае результаты квантовой теории должны совпадать с результатами классической теории. Применим формулу (4.1) для перехода атома между двумя соседними уровнями Еп и Еп_1, считая квантовое число п большим: п» 1. Тогда и (4.1) для частоты излучаемого света дает те4 V = 2^ <4"2> Используя выражение для радиуса орбиты электрона в п-м состоянии 2 й2 г ~п--- ' П 1 2 ' те1 перепишем формулу (4.2) в виде v—---. (4 3) Но точно такое же выражение для частоты света, излучаемого электроном, обращающимся по круговой орбите радиуса г„, дает классическая теория. Действительно, с точки зрения классической электродинамики вращающийся по круговой орбите электрон должен излучать электромагнитные волны с частотой v, равной частоте обращения электрона вокруг ядра. Применяя к движению электрона по круговой орбите с частотой v второй закон Ньютона, т -4л2\2гп = ~, получаем 2пт1,г гУ1' Итак, в области больших квантовых чисел квантовая теория дает тот же спектр излучения, что и классическая. Мы построили качественную картину квантовой механики, выяснили на отдельных примерах, что в пределе, при переходе к классическим условиям, результаты квантовой теории переходят в результаты, даваемые классической физикой. С помощью соотношений неопределенностей можно делать оценки границы применимости законов классической физики. Однако эта граница не является четко очерченной, и развитие физики не раз давало примеры вторжения квантовых эффектов в область, кажущуюся абсолютно классической. С некоторыми из этих примеров мы еще встретимся ниже. 1. Проиллюстрируйте на примерах связь между корпускулярными и волновыми свойствами фотона, выражаемую соотношениями ?=/iv и р = ЛД. 2. Как проявляются корпускулярные свойства электромагнитного излучения в явлении Комптона? 3. На чем основана корпускулярная трактовка явления Допплера? 4. Разъясните физический смысл соотношений неопределенностей Гейзенберга. 5. Как в конкретных случаях с помощью соотношений неопределенностей выяснить возможность использования классической механики для описания движения электрона? 6. Как объясняется исчезновение интерференционной картины при прохождении света через две щели, если в эксперименте регистрировать, через какую щель проходит каждый фотон? 7. Покажите, почему возможность проявления электроном взаимоисключающих корпускулярных и волновых свойств не приводит к логическому противоречию? 8. Что такое волны де Бройля? Как на основе представлений о волнах де Бройля интерпретируются правила квантования электронных орбит в атомах? 9. Как применить представление о волнах де Бройля к выяснению возможности классического описания? 10. В чем принципиальное отличие использования понятия вероятности в квантовой механике и в классической статистической физике? 11. Проиллюстрируйте проявления принципа соответствия на примере модели Бора для атома водорода.