Границы применимости Соотношения неопределенности
Кроме изложенных выше опытных фактов, указывающих на правдоподобность идеи квантования применительно к свету, к началу XX столетия физика накопила и ряд строгих экспериментальных результатов, подтверждающих существование дискретных энергетических уровней у всех атомных систем. В 1913 г. Нильс Бор сформулировал правила квантования движения электронов в атомах и с их помощью объяснил известные к тому времени экспериментальные закономерности спектральных линий простейших атомов. Но в дальнейшем появились еще более ошеломляющие экспериментальные факты. Пучок электронов определенной энергии, прошедший сквозь кристалл, падал на фотопластинку и давал дифракционную картину такую же, как и прошедший сквозь кристалл пучок рентгеновских или у-лучей. При этом дифракционная картина не зависела от интенсивности электронного пучка; та же картина получалась в предельном случае весьма слабых пучков, когда можно было считать, что электроны падают на кристалл поодиночке. Таким образом, волновые свойства приходилось приписывать каждому электрону в отдельности, а не всей совокупности электронов в пучке. Вместе с тем каждый электрон, попадая на фотопластинку, давал почернение только в одном месте, в одном зерне светочувствительного слоя, и лишь совокупность почерневших зерен давала дифракционную картину распределения интенсивности прошедшего пучка. Итак, в одних условиях при прохождении сквозь кристалл электрон вел себя как протяженная волна, а в других — при попадании на зерно фотослоя — как строго локализованная частица. На основании представлений классической физики такое различие в поведении электрона в разных условиях объяснить не удалось. Появились и другие, гораздо менее экзотические на первый взгляд эксперименты, которым тем не менее не допускали объяснения в рамках классической физики. Например, опыты по столкновению атомов водорода с другими частицами показали, что в основном состоянии (а также в некоторых других) атом водорода обладает сферической симметрией — его свойства не зависят от направления. Атом водорода состоит, как известно, из тяжелого ядра — протона и одного электрона. Попробуйте представить себе какую-нибудь конфигу7 рацию из одного положительного и одного отрицательного зарядов, обладающую сферической симметрией! Все эти явления были правильно объяснены только квантовой механикой. История создания квантовой механики делится на два периода. Первый период с начала XX столетия и до конца его первой четверти — это период создания так называемой «старой квантовой теории», в основе которой лежат, гипотеза Планка о дискретном характере излучения нагретых тел, уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и теория атома Бора. Старая квантовая теория не представляла собой стройной, логически замкнутой науки. Удачно описав некоторые экспериментальные факты, она проявила полную неспособность правильно объяснить и количественно описать все многообразие удивительных явлений микромира. К концу первой четверти XX века стало ясно, что необходима теория, которая с самого начала выяснила бы, почему классическая физика непригодна при анализе явлений атомного масштаба. Какие же черты классического способа описания физических явлений делают его неприменимым к микрообъектам и где проходит грани ца применимости представлений классической физики? Классическое описание физического процесса или явления характеризуется рядом абстракций. Прежде всего это абсолютизация понятия физического процесса, заключающаяся в предположении о независимости явлений от условий их наблюдения. Единственное обстоятельство, связанное с условиями наблюдения, которое учитывалось в классической физике, есть выбор системы отсчета: по отношению к двум произвольно движущимся друг относительно друга системам отсчета одно и то же явление будет иметь различный вид. Физический процесс в инерциальной системе отсчета рассматривался как нечто, происходящее независимо от наблюдения за этим процессом, а не как явление, конкретно познаваемое при помощи определенных средств исследования. Позднейшее развитие физики показало, что абсолютизация физических процессов не является логически необходимой, а представляет собой допущение, которое прекрасно оправдывалось при изучении макроскопических явлений, но которое оказалось совершенно непригодным в микромире. Действительно, классическая физика имела дело с телами крупного масштаба, по отношению к которым воздействие, связанное с измерением, играло совершенно ничтожную роль. В тех случаях, когда оно было заметным, его можно было учесть и внести соответствующие поправки. Принципиальная возможность этого никогда не вызывала сомнений. Вторая абстракция, допускавшаяся в классической физике, была тесно связана с первой и заключалась в том, что при изучении физических явлений считалась возможной сколь угодно подробная детализация описания этих явлений. Другими словами, считалось, что можно неограниченно уточнять наблюдение и наблюдать разные стороны одного и того же физического процесса, не нарушая самого явления. С этими двумя абстракциями, используемыми в классической физике, с предположением об абсолютном характере физических процессов (в смысле их независимости от условий наблюдения) и о возможности сколь угодно детального их описания (в пределе— исчерпывающе точного и всестороннего) связано понятие о лапласовском механическом детерминизме, согласно которому можно определить состояние исследуемой системы в любой момент времени, коль скоро известно ее начальное состояние. Вопрос о применимости классического способа описания— это вопрос о возможности использования перечисленных абстракций при анализе конкретного явления. Если в каком-то конкретном случае установлено, что эти абстракции неприменимы, то классическое описание невозможно, и, следовательно, бессмысленны классические представления о свойствах изучаемого объекта, например о его движении по определенной траектории. Пределы применимости представлений классической физики, т. е. классического способа описания явлений микромира, устанавливаются так называемыми соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Рассматривая различные способы измерения положения и импульса частицы, Гейзенберг пришел к выводу, что условия, благоприятные для точного измерения положения частицы, неблагоприятны для точного измерения ее импульса и, наоборот, условия, благоприятные для измерения импульса, неблагоприятны для измерения положения частицы. Одно из соотношений Гейзенберга связывает между собой неопределенности в значениях координаты частицы х и соответствующей компоненты импульса рх в один и тот же момент времени: АхАрх^И. Величины Ах и Арх неправильно было бы понимать только как неточности одновременного измерения величин х и рх, поскольку самый термин «неточность» как бы предполагает, что существуют и «точные» значения х и рх, но только они почему-то не могут быть измерены. На самом деле невозможность точного измерения есть следствие того, что частица по своей природе не имеет одновременно точного значения координаты и соответствующей проекции импульса. Эта невозможность есть проявление корпускулярно-волновой природы материальных микрообъектов. Аналогичные соотношения справедливы и для других координат и компонент импульса: Кроме соотношений (2.1) (2.3) справедливо соотношение, связывающее неопределенность в изменении энергии частицы и неопределенность в моменте времени, когда это изменение произошло: AEAt^h. (2.4) Это соотношение получило название неравенства Бора -Гейзенберга. Оно фактически означает, что определение энергии с точностью до АЕ должно занять промежуток времени, равный по меньшей мере At~h/AE. Таким образом, если изучаемая система находился в некотором состоянии в течение времени At, то ее энергия имеет неопределенность не менее AE~h/At, поскольку Дt — наибольший промежуток времени, в течение которого можно измерять энергию. Соотношения неопределенностей Гейзенберга являются одним из фундаментальных законов природы. Они справедливы для любых материальных объектов элементарных частиц, квантов света, атомов, молекул и т. д. Справедливость соотношений неопределенностей. как и всех других фундаментальных законов природы, подтверждается всей совокупностью имеющихся экспериментальных фактов. Проиллюстрируем неравенство Гейзенберга (2.1), рассматривая дифракцию плоской световой волны на узкой щели. Пусть на непрозрачный экран А со щелью шириной A.v падает слева плоская монохроматическая волна (рис. 2.1). На удаленном экране В (на рис. 2.1 размер щели сильно преувеличен по сравнению с расстоянием между экранами) наблюдается дифракционная картина, распределение освещенности для которой показано на этом же рисунке. Почти весь дифрагированный свет приходит в область на экране В, ограниченную главным максимумом. Угловую ширину этого максимума легко вычислить. Направление на ближайший минимум характеризуется углом 0, определяемым из условия (см. формулу (2.7) на с. 433) Axsin9 = X. (2.5) Рассмотрим теперь эту дифракционную картину с точки зрения представления о свете как о совокупности световых квантов фотонов. Каждый фотон, прошедший через щель, попадает в определенную точку на экране В. Предсказать, в какую именно точку попадет отдельный фотон, принципиально невозможно. Однако в совокупности большое число попавших на экран В фотонов дает дифракционную картину, представленную на рис. 2.1. На первый взгляд могло бы показаться, что дифракционную картину можно объяснить интерференцией между различными фотонами, проходящими через щель, т. е. только в рамках корпускулярных представлений. Однако, уменьшая интенсивность света до таких пределов, когда в любой момент времени между источником света и экраном будет находиться в среднем только один фотон, можно убедиться, что распределение фотонов, попавших на экран за достаточно большой промежуток времени, по-прежнему будет определяться дифракционной картиной. Таким образом, дифракция представляет собой статистическое свойство отдельного фотона. Проследим, как происходит движение фотона в этом приборе. До щели в экране А распространяется плоская монохроматическая волна, т. е. нам точно известен импульс фотонов hv h ,ч P = — = r, (2.6) С A направленный по оси z. Составляющая импульса фотона по оси л: равна нулю, т. е. известна точно, но зато совершенно не определена х-координата фотона. При прохождении фотона через щель в экране А ширина щели A.v будет служить мерой неопределенности значения х-координаты фотона. В самом деле, факт появления фотона на экране В позволяет сделать лишь тот вывод, что фотон проник сквозь щель; в какой же именно точке щели это произошло неизвестно. Далее, по корпускулярным представлениям, возникновение на экране дифракционной картины следует истолковать в том смысле, что каждый фотон, пройдя через щель, отклоняется либо вверх, либо вниз. Но для этого фотон должен приобрести составляющую импульса Арх, перпендикулярную направлению первоначального движения. Модуль полного импульса фотона р, как видно из формулы (2.6), при этом не меняется, ибо остается неизменной длина волны. Поскольку большая часть фотонов попадает в область главного максимума, но принципиально невозможно предсказать, куда попадет каждый фотон, то из рис. 2.1 ясно, что мера неопределенности х-компоненты импульса Арх после прохождения через щель есть \px>ps\n 0. Перемножая почленно (2.5) и (2.7) и учитывая соотношение между импульсом фотона и длиной волны света (2.6), получаем для момента времени, когда фотон проходит через щель: АхД px>h, что совпадает с формулой (2.1). Подчеркнем, что проделанный вывод не является доказательством соотношений неопределенностей, а представляет собой лишь иллюстрацию их справедливости для конкретного частного случая. Соотношения неопределенностей устанавливают принципиальную границу применимости законов классической физики. Используя их, можно выяснить, справедливы ли представления классической физики для описания конкретного явления. Совершенно очевидно, что для макроскопических объектов планет, искусственных спутников, артиллерийских снарядов —классическое описание является совершенно правильным. Легко убедиться, что при любой достижимой точности измерений координат и импульсов этих объектов соотношения неопределенностей выполняются с огромным запасом и, следовательно, квантовые эффекты никак не проявляются. Рассмотрим, например, металлический шарик с массой 0,01 г. Если мы определим его положение 35 Е. И. Бутиков и др. с точностью Да» 0,001 см, доступной нашему зрению в поле микроскопа, то, согласно соотношению неопределённостей, неопределенность скорости такого шарика равна = — 10"22 см/с. т т Ах Такая точность лежит далеко за пределами возможностей измерений. Посмотрим, как обстоит дело при изучении свойств более мелких объектов, например электронов. Оказывается, что однозначного ответа на вопрос, применимы ли представления классической физики, в этом случае дать нельзя: все зависит от того, какое явление изучается. Рассмотрим вначале пучок электронов в кинескопе телевизора. В современном телевизоре ускоряющее напряжение (/«15 кВ. Разогнанный такой разностью потенциалов электрон обладает импульсом p = ^/2meU. Подставляя в эту формулу значения массы электрона т, его заряда е и ускоряющей разности потенциалов, находим в системе СГС: /? = 6,6-10~18 г-см/с. Этот импульс направлен вдоль оси трубки. Диаметр пучка, формируемого в современных телевизорах, не бывает меньше J=10~~3cm (для телевизора меньший диаметр просто не нужен). Формируя пучок, мы тем самым фиксируем координату электрона в перпендикулярном направлении оси пучка с точностью Ах, равной диаметру пучка d. В силу соотношения неопределенностей при этом электрону сообщается неконтролируемый импульс Ар, перпендикулярный оси пучка: Ар ^-к 6,6 ? 10 ~24 г - см/с. d Связанная с этим неопределенность в направлении движения электрона АО определяется отношением А0 = —»10~6 рад. р Поскольку длина пути электрона в кинескопе не превышает 1 м, то неконтролируемое смещение AS электрона на экране, вызываемое квантовыми эффектами, т. е. неопределенностью в направлении движения электрона АО, не превосходит А5