Световые кванты
К началу XX века в физике накопился ряд экспериментальных фактов, не допускавших объяснения в рамках той теории, которая называется теперь классической физикой. Обобщение данных различных опытов привело к следующим не известным ранее важным выводам: во-первых, к представлению о двойственном характере электромагнитного излучения, проявляющего то волновые, то корпускулярные свойства, и, во-вторых, к утверждению о существовании дискретных значений некоторых из тех физических величин, которые, по представлениям классической физики, могли меняться непрерывно. Начнем с обсуждения явления фотоэлектрического эффекта. Опыты показали, что кинетическая энергия электронов, испускаемых поверхностью металла, освещаемой видимым или ультрафиолетовым светом, не зависит от интенсивности излучения, а зависит лишь от рода металла и от частоты излучения v по следующему закону: (1.1) 2 - = h\—A В этом выражении А — так называемая работа выхода электрона из металла, т. е. энергия, необходимая для удаления электрона из этого металла. В 1905 г. Эйнштейн связал этот результат с гипотезой Планка *' В этом разделе, посвященном атомной физике, используется система единиц СГСЭ, как это повсеместно принято. излучается отдельными порциями, причем энергия каждой такой порции определяется формулой E=hv. Соотношение (1.1) получило название уравнения Эйнштейна. Детальное изучение опытных данных показало, что h в выражении (1.1) совпадает с универсальной постоянной, входящей в теорию Планка: h = 6,626 0755 • 10 ~34 Дж с. Попытаемся понять, почему электрон обычно поглощает только один квант энергии независимо от интенсивности излучения *'. Самое простое объяснение этого явления заключается в следующем: свет состоит из частиц, т. е. из излученных порций световой энергии E=h v, которые сохраняют свою индивидуальность в процессе распространения и в дальнейшем, при столкновении с электроном, передают ему всю свою энергию. Это предположение подкрепляется различными опытами, например такими, когда на фотопластинку направляются лучи очень низкой интенсивности. На пластинке получаются хаотически расположенные темные пятна со средней плотностью, пропорциональной интенсивности света. Для очень интенсивного пучка распределение пятен становится настолько плотным, что они практически непрерывны. При такой интенсивности пучка света он становится эквивалентным тому, что в классической физике называется световой волной. Хотя предположение, что свет состоит из локализованных частиц, позволяет просто объяснить фотоэлектрический эффект, оно не согласуется с огромной совокупностью экспериментов, приводящих к выводу, что свет является формой волнового движения. Вспомним чередование интенсивности дифракционных полос света, падающего на экран после прохождения через одну или несколько щелей. Часто имеет место такое явление, что при двух открытых щелях, близких друг к другу, интенсивность света в некоторых местах экрана будет очень мала, в то время как в тех же местах при пропускании света только через одну щель наблюдается высокая интенсивность. Эти результаты При очень высокой интенсивности сфокусированного лазерного излучения возможен многофотонный фотоэффект, когда одному электрону передается энергия сразу нескольких фотонов. Для многофотонного фотоэффекта красная граница отсутствуем. легко объясняются предположением, что свет представляет собой волны, которые, интерферируя, могут усиливаться или ослабляться. Но их совершенно невозможно объяснить, если предположить, что свет состоит из классических частиц. Такие частицы должны были бы проходить или через одну, или через другую щель, и наличие второй щели едва ли могло бы влиять на характер движения частиц, проходящих через первую щель. Но, может быть, возможно объяснить закономерности фотоэффекта, исходя из волновых представлений о свете? Попробуем рассмотреть фотоэффект с классической точки зрения. Взаимодействуя с электроном, находящимся внутри атома, излучение передает ему свою энергию. Электрон будет поглощать энергию световой волны, пока он не освободится из атома. Объяснить уравнение (1.1) можно* предположив, что свойства атома таковы, что электрон будет сохранять полученную от света энергию и находиться в атоме до тех пор, пока не накопит ее до величины /;v, после чего он покидает атом. Если бы атом действительно обладал такими свойствами, то для света с очень маленькой интенсивностью фотоэффект не должен был бы наблюдаться в течение очень долгого времени, так как должно было бы пройти значительное время, чтобы накопилась необходимая порция энергии. Соответствующие опыты проводились с металлическими пылинками и очень слабым светом. Пылинки были настолько малы, что потребовалось бы много часов для накопления энергии //v. Однако немедленно после начала их освещения появлялось некоторое количество фотоэлектронов. Итак, эта попытка объяснения не удалась. Такова же была судьба всех остальных подобных попыток объяснения закономерностей фотоэффекта на основе волновых представлений. Это означает, что волновая теория не способна объяснить внезапную локализацию конечных порций энергии на одной классической частице. Итак, одна группа опытов указывает, что свет — это частицы, которые могут быть локализованы; другая же группа не менее убедительных опытов доказывает, что свет — это волны. Какое же из этих утверждений правильно? Положение напоминает притчу о слепом и глухом путниках, застигнутых грозой: для глухого молния только яркая вспышка света, а для слепого-—только раскаты грома. Вопрос стоит так: можно ли найти единое представление, объясняющее все наши сведения о природе света, так же как наше понятие о молнии объединяет представления о ней слепого и глухого путников? Позже мы вернемся к обсуждению этого вопроса, а пока будем просто считать, что свет существует в форме квантов-фотонов, которые при некоторых условиях проявляют себя подобно частицам, а при других — подобно волнам. Мы уже подробно рассматривали волновые свойства света. Теперь рассмотрим бодее детально свет с корпускулярной точки зрения. В теории Планка энергия фотона Е связана с его релятивистской частотой света v соотношением E=h\. (1.2) Согласно теории относительности энергия всегда связана с массой соотношением Е=тс2. Поэтому релятивистская масса фотона (1.3) с Поскольку фотоны не существуют в состоянии покоя, то их масса покоя т0 — 0, а масса т, определяемая этой формулой,— это масса фотона, движущегося в вакууме со скоростью с. Импульс фотона равен произведению его релятивистской массы на скорость: hv Е л р = тс——=-. (1.4) с с Отметим, что формула (1.4), дающая связь между энергией фотона Е и его импульсом р, является частным случаем общего соотношения, связывающего энергию, импульс и массу покоя любой частицы: Опыт показывает, что свет может взаимодействовать с веществом только путем дискретных процессов, при которых испускается или поглощается целый квант. С корпускулярной точки зрения взаимодействие между веществом и светом описывается как поглощение, испускание или рассеяние фотонов, сопровождающееся изменением их энергии и импульса. Экспериментально рассеяние фотонов на электронах было исследовано Комптоном в 1923 г. В его опытах через вещество с легкими атомами (графит, парафин) пропускался пучок рентгеновских лучей частоты v. Измерения Ком-птона показали, что в рассеянном рентгеновском излучении, наряду с излучением неизменной длины волны, появляется рентгеновское излучение с несколько большей длиной волны. Наблюдаемое изменение длины волны АХ = Х' — Х зависит от угла 0 между направлением первичного пучка и направлением рассеянного света следующим образом: АХ = 2 к sin2- причем постоянная к, найденная из эксперимента, равна 0,0024 нм. Для объяснения эффекта Комптона применим законы сохранения энергии и импульса к столкновению рентгеновского фотона с электроном. Поскольку в атомах легких элементов энергия связи электрона порядка 10 эВ, что примерно в тысячу раз меньше энергии рентгеновского кванта /;у«10кэВ, то электроны в этих опытах можно считать практически свободными. Энергия покоя электрона т0с2 — 0,5 МэВ; поэтому отношение Лv/(т0с2)<^\. Следовательно, покоившийся до столкновения с фотоном или двигавшийся в атоме с нерелятивистской скоростью электрон и после столкновения останется нерелятивистским. Закон сохранения энергии при столкновении в пренебрежении начальной энергией электрона записывается в виде (1.6) где р—импульс электрона после столкновения с фотоном. Закон сохранения импульса где p^ и р ф— импульсы фотона до и после рассеяния, запишем с помощью теоремы косинусов (рис. 1.1) в виде р2=р1+рф-2рфр'фс0$в. (1.8) Подставляем в это равенство выражение для импульса фотона через его частоту p$ = hv/c и квадрат импульса электрона из р/ закона сохранения энергии (1.6): 'гч> / ' 1г2 / 2m0h(v — v') =—(v2 + v'2 — 2vv'cos9). Переписав это уравнение в виде hv Рис. 1.1. К объяснению эффекта Компт она 2/и0с и учитывая, что hv/(т0с2)<^\, видим, что изменение частоты Av = v' —v мало по сравнению с самой частотой v. Поэтому в правой части (1.9) можно v' заменить на v. Тогда для относительного сдвига частоты Av/v при рассеянии сразу получаем ^=_^(l_cos6). (1.10) v т0с14 ' Знак « —» показывает, что частота рентгеновского излучения при рассеянии уменьшается. Это естественно, поскольку фотон отдает часть своей энергии электрону. Теперь перейдем от частот к длинам волн. Это легко сделать, учитывая, что относительное изменение частоты при рассеянии мало: Av/v«:l. Тогда v+Av v\ v Так как c/v = A,, то из этого выражения имеем АХ— —XAv/v, и соотношение (1.10) переписывается в виде версальных постоянных получила название комптоновс-кой длины волны электрона. Интересно отметить, что изменение длины волны рентгеновского излучения в явлении Комптона, как видно из (1.11), не зависит от длины волны падающего излучения. А как объяснить существование в спектре рассеянного излучения еще и несмещенной линии? Все дело в том, что внутренние электроны, особенно в тяжелых атомах, связаны настолько прочно, что их энергия связи уже сравнима с энергией рентгеновских квантов и, следовательно, их нельзя рассматривать как свободные. Поэтому при соударении фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом, а так как масса атома очень велика, то по закону сохранения импульса фотон практически не передает ему своей энергии. Следовательно, энергия кванта hv при таком рассеянии не изменяется. Гамма-кванты, рассеянные внутренними электронами, образуют несмещенную компоненту, а внешними—смещенную. Из приведенных рассуждений ясно, почему эффект Комптона нельзя наблюдать в видимой области спектра. Вспомните, что энергия фотона видимого света составляет лишь несколько электрон-вольт. Для такого света даже внешние электроны в легких атомах нельзя считать свободными. Опыты Комптона ярко продемонстрировали, что энергия и импульс фотона действительно выражаются формулами (1.2) и (1.4), а также то, что законы сохранения энергии и импульса выполняются при индивидуальных процессах рассеяния. Законы сохранения могут быть проверены еще более полно, если исследовать электроны отдачи. Соответствующие измерения показали, что при этом электроны приобретают те же самые импульс и энергию, которые теряет фотон. Как и в случае фотоэффекта, объяснить особенности явления Комптона, исходя из волновой точки зрения на свет, не удается. Взаимодействуя с электромагнитной волной, классический электрон мог бы получать любое количество энергии. В спектре рассеянного излучения при наблюдении под заданным углом 9 можно было бы обнаружить различные значения Для изменения длины волны при изменении интенсивности излучения или времени экспозиции. Однако в опытах было однозначно показано, что при заданном угле наблюдается только одно значение смещения длины волны независимо от интенсивности излучения и времени облучения. Эти факты указывают на то, что процесс передачи энергии и импульса не является непрерывным, как это предсказывает классическая теория, а является дискретным, как следует из квантовой теории. Но не всегда вопрос о природе света стоит так категорично: или кванты, или классические волны. Существует ряд явлений, допускающих корректное объяснение с любой из этих точек зрения. Таков, например, рассмотренный ранее эффект Допплера. Это типично волновое, на первый взгляд, явление может быть объяснено с точки зрения представления о свете как о потоке фотонов. Покажем это. Пусть «закрепленный» неподвижный атом испускает фотон с энергией hv при переходе атома из одного стационарного состояния в другое. Разность энергий этих стационарных состояний hv не зависит от того, покоится атом или движется. При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Следовательно, кинетическая энергия атома также изменяется. Энергия фотона hv', испущенного движущимся атомом, отличается от hv вследствие изменения кинетической энергии атома. На основании закона сохранения энергии 2 М 2 М hv' - (1.12) где р — импульс атома до испускания фотона, Pi—после испускания, М—масса атома. Начальный и конечный импульсы атома можно связать с импульсом испускаемого фотона />ф с помощью закона сохранения импульса (рис. 1.2): Р=Р1+РФ- (113) Перенося в равенстве (1.13) в левую часть, возводя полученное равенство в квадрат и учитывая, что импульс фотона крайне мал по сравнению с импульсом излучающего атома, получаем С помощью (1.14) соотношение (1.12) можно переписать в виде //v'-/JV = ^-^COS0. (1.15) Подставляя в (1.15) импульс испущенного фотона Рф — hv'/с и учитывая, что р/М есть скорость движения v излучающего атома, находим с точностью до членов порядка v/c. Это есть обычное, нерелятивистское выражение для явления Допплера.