Принцип эквивалентности. Гравитационное смещение спектральных линий
Заканчивая знакомство с основами теории относительности, остановимся коротко на основных физических идеях, которые легли в основу созданной Эйнштейном релятивистской теории тяготения. Математическая сторона этой теории очень сложна, однако ее физические основы весьма просты и могут быть изложены в доступной форме. Релятивистская теория тяготения основана на экспериментальном факте равенства инертной и гравитационной масс, который установлен с исключительно высокой степенью точности. В классической физике это равенство носило случайный характер. Основываясь на равенстве инертной и гравитационной масс, Эйнштейн сформулировал так называемый принцип эквивалентности, послуживший отправным пунктом при создании релятивистской теории тяготения. Для того чтобы легче было понять содержание принципа эквивалентности, рассмотрим следующий мысленный опыт. Пусть в однородном поле тяжести напряженности g неподвижно висит лифт. Все тела в лифте подвергаются действию земного поля тяготения и, предоставленные самим себе, свободно падают относительно лифта с одним и тем же ускорением g. Вообразим теперь, что лифт настолько удален от Земли и прочих небесных тел, что он практически не подвергается с их стороны никаким гравитационным воздействиям. Но пусть зато кто-то гянег за трос лифта, сообщая ему постоянное ускорение a=—g, направленное «вверх». Что будет происходить со свободными телами в таком поступательно движущемся лифте? Так как гравитационного поля в лифте нет, то в инерциальной системе отсчета первоначально покоившиеся тела будут продолжать покоиться. Однако относительно ускоренно движущегося лифта эти тела будут двигаться с одинаковым ускорением g. Таким образом, наблюдатель, находящийся в закрытом лифте и не имеющий возможности «выглянуть наружу», по поведению свободных тел не сможет решить, покоится ли лифт в однородном поле тяжести напряженности g или движется с ускорением a——g в отсутствие гравитационного поля под действием каких-то внешних сил. Оказывается, что такая эквивалентность поля тяжести и ускоренного движения системы отсчета имеет место для любых механических явлений: все механические явления в движущемся с ускорением лифте будут в точности такими же, как и в неподвижном лифте, но висящем в поле тяжести. Эйнштейн предположил, что это утверждение справедливо не только для механических, но и для любых физических явлений вообще: все физические явления в равномерно ускоренном лифте будут происходить точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Это и есть принцип эквивалентности. Ему можно придать несколько иной вид. Предположим, что внешние силы, сообщающие лифту ускорение а в отсутствие гравитационного поля, исчезли. Тогда система отсчета, связанная с лифтом, будет инерциальной. Но эквивалентность поля тяжести и ускоренного движения системы отсчета иод действием внешних сил означает, что и в свободно падающем в поле тяжести лифте законы физики такие же, как и в инерциальной системе отсчета. Другими словами, ускорение системы отсчета, свободно падающей в поле тяжести, полностью компенсирует действие силы тяжести. Это связано с тем, что всем без исключения телам гравитационное поле сообщает одно и то же ускорение. Дальнейшее математическое развитие принципа эквивалентности приводит к релятивистской теории тяготения. Эта теория пришла на смену ньютоновской теории тяготения, но в той области, где ньютоновская теория блестяще выдержала многочисленные проверки на опыте, эйнштейновская теория приводит к тем же результатам. Для всех практических нужд, например для космических полетов и расчетов движения планет и других небесных тел, ньютоновская теория является явления, которые можно объяснить только с помощью релятивистской теории тяготения. Принцип эквивалентности может с успехом использоваться и при анализе обычных физических явлений. Часто его применение позволяет очень просто решить задачи, исследование которых без использования принципа эквивалентности представляет значительные трудности. Проиллюстрируем это на следующем примере. Пусть на горизонтальной плоскости находится закрытый сосуд кубической формы, наполовину заполненный водой. В некоторый момент времени сосуд начинает двигаться в горизонтальном направлении с ускорением a=g (рис. 14.1а). Выясним, на сколько градусов при этом нагреется вода в сосуде. То, что вода в сосуде действительно должна нагреваться, по-видимому, не вызывает сомнения; ведь а Рис. 14.1. о—Сосуд с водой начинает движение с ускорением; б—положение воды в сосуде после прекращения колебаний; в — к вычислению изменения потенциальной энергии воды в эффективном поле тяжести при начальном толчке возникают колебания воды, которые постепенно благодаря трению о стенки и вязкости воды затухают. Но как подсчитать выделившуюся энергию? Попытка «в лоб» применить закон сохранения энергии обречена на неудачу: чем больше мы будем об этом думать, тем очевиднее станет безнадежность .этой загеи. Действительно, мы не только не сможем подсчитать работу внешней силы, разгоняющей сосуд, мы не сможем даже найти значение этой силы до тех пор, пока не прекратятся колебания воды в сосуде. Попробуем применить в этой задаче принцип эквивалентности. Вместо того, чтобы рассматривать ускоренно движущийся сосуд, будем считать, что сосуд неподвижен, но на воду в нем действует дополнительное «гравитационное» поле напряженности gi = —a (рис. 14.16). Это поле, складываясь с истинным полем тяжести Земли, дает эффективное поле тяжести, напряженность которого g2=g+gl а Теперь осталось только представить себе начальное и конечное положение воды в сосуде в этом эффективном поле тяжести. В начальный момент поверхность воды в сосуде была горизонтальной, т. е. по отношению к вектору, напряженности эффективного поля тяжести g2 она занимала наклонное неравновесное положение, указанное пунктиром на рис. 14.1 е. Затем возникли колебания жидкости, в процессе которых происходили многократные превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Благодаря трению кинетическая энергия воды постепенно переходила во внутреннюю энергию, и в конце концов вода успокоилась в новом равновесном положении, в котором ее поверхность перпендикулярна вектору g2. Конечное положение уровня воды в сосуде для рассматриваемого случая a = g показано на рис. 14.1 е. На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что увеличение внутренней энергии воды равно убыли ее потенциальной энергии в эффективном поле тяжести g2 при переходе из начального состояния в конечное. Из рис. 14.1 в видно, что перемещение воды в сосуде в конечном счете свелось к тому, что часть жидкости в объеме, обозначенном А, перешла в положение В. Теперь убыль потенциальной энергии воды вычисляется элементарно. Учитывая, что g2 = ^'2g, найдем где р — плотность воды, / длина ребра куба. Изменение температуры воды А Т найдем, разделив увеличение ее внутренней энергии, равное Е1 — Е2, на теплоемкость всей массы жидкости: где св — удельная теплоемкость воды. Интересно отметить, что изменение температурь: веды зависит от размеров куба, но для разумных размеров сосуда м) это изменение ничтожно. Применимость принципа эквивалентности не только к механическим, но и к любым физическим явлениям вообще можно проиллюстрировать на примере гравитационного смещения спектральных линий, которое было в начале шестидесятых годов зарегистрировано в лабораторных условиях на Земле. Источник монохроматического гамма-излучения располагался у поверхности Земли, а приемник на высоте Я=22 м над источником. Частота регистрируемого приемником излучения была сдвинута в «красную» сторону, т. е. в сторону меньших частот по сравнению с частотой источника. Чем может быть вызвано изменение частоты электромагнитной монохроматической волны? Вспомним эффект Допплера: при относительном движении источника монохроматического излучения с частотой v0 и приемника происходит сдвиг частоты. Он определяется соотношением (см. формулу (1.16), стр. 539) Эта формула написана для случая, когда v <§; с и движение происходит по прямой, соединяющей источник с приемником. В (14.1) скорость v нужно считать положительной при сближении источника и приемника и отрицательной при удалении. Но как же использовать это явление в рассматриваемом случае ~ : ведь источник и приемник неподвижны? Воспользуемся принципом эквивалентности: наличие однородного гравитационного поля напряженности g в инерциальной системе отсчета эквивалентно ускоренному движению системы отсчета с ускорением - g в отсутствие гравитационного поля. Применительно к нашей задаче это означает, что можно «забыть» о поле тяготения, но считать, что источник и приемник движутся с ускорением a=—g, которое направлено вверх. Если считать, что излучение волны с частотой v0 происходит в тот; момент, когда скорость источника равна нулю, то спустя время At = H/c, когда волна достигнет приемника, его скорость будет равна gAt=gH/с. При вычислении относительной скорости v, входящей в формулу (14.1), скорость источника следует брать в момек. излучения, а скорость приемника — в момент прихода волны. Поэтому использование формулы (14.1) немедленно показывает, что вследствие эффекта Допиле-ра будет наблюдаться сдвиг частоты, равный Av (14.2) Л1 .2 ' Используя значения 10 м/с2, #=22 м, с = 3 • Ю8 м/с, видим, что Av/v0 « —2,4 • 10~15. Знак минус означает, что частота у-излучения уменьшается, т. е. в данных условиях, когда приемник находится выше источника, наблюдается «красное» гравитационное смещение. Если поменять местами источник и приемник, то частота увеличится. Замечательно, что, несмотря на столь малую величину эффекта, его удалось не только обнаружить на опыте, но и измерить с точностью до нескольких процентов! Метод, позволивший наблюдать столь ничтожный сдвиг частоты, основан на использовании эффекта Мёссбауэра. Чтобы лучше представить себе чувствительность этого метода, позволившего зарегистрировать относительное изменение частоты, равное 10" , отметим, что это эквивалентно возможности заметить изменение массы тела в миллион тонн при добавлении к нему одного миллиграмма! Явление гравитационного смещения спектральных линий можно, разумеется, объяснить и не прибегая к принципу эквивалентности, а используя законы сохранения энергии или импульса. Хотя постоянная Планка И не входит в выражение (14.2) для относительного сдвига частоты и, следовательно, эффект гравитационного смещения не связан с квантовой природой излучения, для применения законов сохранения удобно представить гамма-излучение как поток фотонов или гамма-квантов с энергией hv и импульсом Av/c. Применим к процессу распространения гамма-кван-гов в гравитационном поле закон сохранения энергии. Каков бы ни был характер взаимодействия у-квантов с гравитационным полем, полная энергия системы остается неизменной, ибо поле тяготения потенциально. Пусть у-квант, испускаемый источником на поверхности Земли, имеет частоту v0. Тогда энергия каждого У-кванта есть E0 = hv(). Гамма-квант, зарегистрированный приемником на высоте //, будет иметь другую частоту: vt ибо при подъеме в поле тяжести потенциальная энергия этого кванта увеличилась на соотношением m = hv/c2. На основании закона сохранения энергии Лv0 = ЛVj + mgH. (14.3) Легко убедиться, что изменение потенциальной энергии у-кванта много меньше hv0, ибо mgH/(hv)=gH/с2 14. Покажите, что релятивистское выражение (12.7) для кинетической энергии частицы переходит в обычное классическое при v <к с. 15. В чем заключается принципиальное отличие релятивистского выражения для полной энергии тела от соответствующего классического выражения? 16. В каких физических явлениях обнаруживает себя энергия покоя? Приведите примеры проявления эквивалентности массы и энергии. 17. Сохраняется ли масса вещества при химических превращениях? 18. Покажите, что при ускорении частицы постоянной силой ее скорость стремится к конечному пределу. 19. В чем заключается преимущество использования встречных пучков в физике высоких энергйй? 20. Разъясните на примерах физическое содержание принципа эквивалентности.