Примеры релятивистского движения частиц
Прежде всего получим формулу, связывающую энергию и импульс релятивистских частиц. Напомним релятивистские формулы для энергии и импульса частиц (12.8) и (12.1): Сравнивая (13.1) и (13.2), получаем простую формулу, связывающую энергию, импульс и скорость частицы: Е P=-2V. Возводим обе части (13.1) в квадрат и записываем в виде 2 „4 С, — L -Z = ГПоС с Заменяя, согласно (13.3), во втором слагаемом в левой части E2v2 на р2сА, находим Е2 —р2 с2 — ШоС4. (13.4) Полученное соотношение (13.4), связывающее энергию и импульс частицы, является одной из важнейших формул релятивистской физики. Обратим внимание на то, что в правой части этой формулы стоит величина, не зависящая от выбора системы отсчета. Поэтому, хотя каждое из слагаемых в левой части имеет разное значение в различных инерциальных системах отсчета, вся левая часть не зависит от выбора системы отсчета, т. е. представляет собой релятивистский инвариант. В качестве первого примера рассмотрим движение первоначально покоившейся частицы с зарядом q и массой покоя т0 в однородном электрическом поле напряженности Е. Действующая на частицу сила F постоянна и равна qE. Поэтому из закона изменения импульса Ap = FAl немедленно следует, что p = Ft. (13.5) Подставляя это выражение для импульса частицы в формулу (13.4), получим E2 = (Ft)2c2 + m20cA. (13.6) Теперь с помощью (13.3) находим скорость частицы v, спустя промежуток времени t после начала движения: V—- Ft (13.7) т0 v'l + (Fl/m0c)2 Если Ft/m0c 1, то под корнем в (13.7) можно пренебречь единицей по сравнению со вторым слагаемым. Видно, что при этом скорость v стремится к с. На рис. 13.1 показана зависимость скорости v от времени. Перейдем к рассмотрению движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Поскольку действующая на частицу со стороны магнитного поля сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то скорость не меняется по модулю и, следовательно, не меняется и релятивистская масса частицы т. Поэтому закон изменения импульса частицы запишется в виде dv ,, т — = а у х В. dt Если скорость v перпендикулярна вектору индукции магнитного поля /?, то частица движется по окружности и ее ускорение равно v2 /R, где R радиус окружности. В этом случае уравнение (13.8) дает Рис. 13.1. Скорость частицы при движении в однородном электрическом поле R Для угловой скорости вращения сос, связанной с линей- ной скоростью v обычным с помощью (13.9) находим qB со = —. соотношением v = со, R. (13.10) Выражение (13.10) имеет точно такой же вид, как и нерелятивистская формула для угловой скорости вращения в магнитном иоле, только в знаменам стоит релятивистская масса частицы т, связанная с ее массой покоя т0 соотношением т — т0У^/1 заряженных частиц на встречных пучках. Выясним, в чем преимущество таких ускорителей по сравнению с обычными ускорителями с неподвижной мишенью, и установим соответствие между кинетической энергией частицы Ек в обычном ускорителе и эквивалентной энергией Е'к в ускорителе со встречными пучками. Одной из важнейших характеристик ускорителя является та доля кинетической энергии разогнанных элементарных частиц, которая может быть использована для реакции образования новых частиц. В обычных ускорителях, когда частица-мишень неподвижна, требование сохранения импульса исключает возможность превращения всей кинетической энергии частицы-снаряда в энергетический эквивалент массы покоя новых частиц, образующихся при столкновении. Поскольку до столкновения суммарный импульс снаряда и мишени отличен от нуля, то такой же суммарный импульс должен быть и после столкновения. Поэтому образовавшиеся в результате столкновения частицы не могут находиться в покое и, следовательно, часть начальной кинетической энергии снаряда переходит в кинетическую энергию частиц после столкновения. Однако если сталкивающиеся частицы с равными массами летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, то в результате неупругого удара вся кинетическая энергия налетающих частиц может быть использована для рождения новых частиц: поскольку начальный импульс системы равен нулю, то ничто не запрещает покоиться образовавшимся в результате столкновения частицам. Оценим вначале «выигрыш» в энергии для простого случая столкновения одинаковых нерелятивистских частиц. Используя закон сохранения импульса, легко убедиться, что в этом случае при неподвижной мишени для реакции образования новых частиц может быть использована только половина кинетической энергии налетающей частицы А?=?к/2. Если же столкнутся движущиеся навстречу друг другу частицы с кинетическими энергиями ?к, то для реакции может быть использована вся их кинетическая энергия: АЕ=2ЕК. Таким образом, используя ускоритель, способный разогнать частицы до кинетической энергии Ек, мы можем с помощью накопительных колец повысить эффективность использования кинетической энергии в 4 раза. Идея устройства накопительных колец показана на рис. 13.2. Пучок частиц из ускорителя с помощью быстродействующего магнита-переключателя А разделяется на два пучка, каждый из которых с помощью А В системы отклоняющих магнитов А и В направляется в свое кольцо, где обращается по орбите благодаря удерживающему магнитному полю, перпендикулярному плоскости рисунка. На общем участке CD происходят столкновения движущихся навстречу друг другу частиц. Итак, в нерелятивистском случае неупругого столкновения частиц одинаковой массы, одна из которых покоится, т. е. при использовании неподвижной мишени, только половина первоначальной энергии может перейти в энергию покоя рождающихся частиц. А как обстоит дело в случае релятивистских частиц, с которыми имеет дело физика высоких энергий? Оказывается, что для неподвижной мишени еще хуже. Чтобы убедиться в этом, придется тщательно рассмотреть законы сохранения энергии и импульса при столкновении релятивистских частиц. Рассмотрим неупругое столкновение релятивистской частицы с массой покоя т0 с такой же покоящейся частицей. Будем искать энергию А которая может быть использована для образования новых частиц в этом случае. Обозначим через М0 полную массу покоя системы после столкновения. Тогда АЕ есть не что иное, как увеличение энергии покоя частиц, которое произошло в рассматриваемом столкновении: АЕ= М0с2 — 2т0с2. (13.11) Найдем теперь М0 массу покоя частиц системы после столкновения. Применим к столкновению законы ее полную энергию Е: р2 = ^-т20с2. (13.12) Полная энергия релятивистской частицы Е есть сумма энергии покоя частицы и ее кинетической энергии: Е=т0с2 + Ех. (13.13) Энергия, которой характеризуют ускорители,— это кинетическая энергия разогнанных частиц ЕУчитывая, что до столкновения одна из частиц покоилась (/>2 = 0), запишем квадрат импульса всей системы до удара Р2, равный квадрату импульса налетающей частицы р2 (13.12), в виде p2 = ^^tAJ_m2c2 (Ш4) Согласно закону сохранения энергии полная энергия системы после столкновения Е' такая же, как и до столкновения, т. е. равна сумме энергий покоя обеих частиц и кинетической энергии налетающей частицы: Е' = 2т0с2 + Ек. (13.15) Запишем теперь квадрат импульса системы после столкновения с помощью (13.12) и (13.15): Р* = ?1 - м0 с2 = ^ >сс2+E'J-M0C2. (13.16) Полный импульс системы до удара (13.14) и после удара (13.16) обозначен одной и той же буквой Р, так как полный импульс системы сохраняется. Приравнивая правые части равенств (13.14) и (13.16), после простых преобразований находим М0: = + ("Л?) Теперь для АЕ в (13.11) получим Легко видеть, что для нерелятивистской частицы, пикия: выражение (13.18) дает результат, полученный ранее элементарным путем: АЕ=Ек/2. Для этого достаточно воспользоваться приближенной формулой при х<1. В противоположном ультрарелятивистском случае, когда кинетическая энергия частицы много больше энергии покоя: Ек^>т0с2, в формуле (13.18) можно пренебречь единицами по сравнению с Ек/(2т0с2). Тогда выражение (13.18) принимает вид (13.19) Если, например, мы хотим иметь АЕ= 20 ГэВ при столкновении протонов (энергия покоя протона т0с2к «1 ГэВ), то с помощью формулы (13.19) убеждаемся, что необходим ускоритель, разгоняющий протоны до энергии % 200 ГэВ. Таким образом, в рассматриваемом примере может быть использована только десятая часть кинетической энергии протона (а не половина, как было бы в нерелятивистском случае). Итак, из-за релятивистских эффектов доля кинетической энергии разогнанных частиц, которая может быть использована для реакции, у ускорителей с неподвижной мишенью падает с ростом энергии. В ускорителе же на встречных пучках и в релятивистском случае вся кинетическая энергия сталкивающихся частиц может перейти в энергию покоя рождающихся частиц. Интересно получить соотношение, связывающее кинетические энергии частиц в ускорителе обычного типа Ек и ускорителе на встречных пучках Е'к, при которых получается одна и та же энергия А способная превратиться в энергию покоя рождающихся частиц. В ускорителе на встречных пучках АЕ=2Е'Х . В ускорителе с неподвижной мишенью АЕ определяется формулой (13.18). Подставляя в нее АЕ—2Е'К, находим фирмул видно, что выигрыш при использовании ускорителей на встречных пучках особенно велик для легких частиц, например электронов, для которых шос2«0,5МэВ. Так, для установки со встречными пучками, ускоряющей электроны до энергии Я^ИОМэВ, энергия Ек эквивалентного ускорителя с неподвижной мишенью составляет, согласно формуле (13.21), примерно 70 ГэВ, т.е. в 520 раз больше!