Релятивистский импульс. Зависимость массы от скорости. Релятивистская энергия
Теория относительности требует пересмотра и уточнения законов механики. Как мы видели, уравнения классической динамики (второй закон Ньютона) удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея. Но ведь преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца! Поэтому уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях (v <<с с) уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте. Прежде всего покажем, что релятивистское выражение для импульса частицы в отличие от нерелятивистской механики, записывается следующим образом: Р= . W° 2 у- 02.1) Vl-v2/c2 Здесь т0— масса частицы. Это — масса в той системе отсчета, где она покоится. Иногда ее называют массой покоя и она совпадает с массой частицы в нерелятивистской механике. Как мы увидим, выражаемая формулой (12.1) зависимость импульса частицы от ее скорости в теории относительности с неизбежностью следует из релятивисгского эффекта замедления времени в движущейся системе отсчета. Для выяснения зависимости импульса частицы от скорости рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего» столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс это столкновение имеет вид, показанный на рис. 12.1а: до столкновения частицы по модулю скоростями, после столкновения частицы разлетаются в противоположные стороны с такими же по модулю скоростями, как и до столкновения. Другими словами, при столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол 0. Как будет выглядеть это же столкновение в других системах отсчета? Направим ось jc вдоль биссектрисы угла 0 и введем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси х относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отсчета картина столкновения выглядит так, как показано на рис. 12.16: частица 1 движется параллельно оси у, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное. Сохранение v-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением Ply+P2,=Ply+p2„ где pi и р2 — импульсы частиц после столкновения. Так как р1у = —рХу и р2у = —Piy (см. рис. 12.16), требование сохранения импульса означает равенство ^-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К: Теперь, наряду с А, введем в рассмотрение систему отсчета К', которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2. В этой системе К' частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у' (рис. 12.1»). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство у-составляющих импульса частиц 1 и 2: Р'\у=Р'гу Но из симметрии картин столкновения на рис. 12.16 и в легко сделать вывод о том, что модуль импульса частицы I в системе К равен модулю импульса частицы 2 в системе отсчета К'. Р\у=Р'гу Сопоставляя два последних равенства, находим piy=p'iy, т. е. v-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и А". Точно так же находим р2у = р'гу ? Другими словами, ^-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах. Но ^-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К'. Согласно формулам преобразования скорости (11.7) и\у = и1у sjl — v2/c2, где v есть скорость системы А" относительно К. Таким образом, в К' ^-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К. Это уменьшение ^-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К и А" непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в А и А' расстояние между штриховыми линиями А и В (рис. 12.16 и в) частица 1 в системе А' проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно т0 (собственное время, так как оба события — пересечение штрихов А и В—происходят в К при одном и том же значении координаты х), то в системе А" это время больше и равно т = т0/y/\—v2/c2. Вспоминая теперь, что ^-составляющая импульса частицы / одинакова в системах К и К', мы видим, что в системе К\ где ^-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать как бы большую массу, если иод массой понимать, как и в нерелятивистской физике, коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом. Для частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, этот коэффициент называют иногда релятивистской массой. Релятивистская масса частицы зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В гой системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости свега, для связи между скоростью и импульсом частицы справедливо классическое выражение p = m0v, где т0 есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя). Будем считать, что в рассматриваемом нами «скользящем» столкновении скорость частицы I в системе Kuiy много меньше скорости света, г. е. ее масса в системе К есть масса покоя т0, и р\у—т0иуу. Написав аналогичное выражение для ^-составляющей импульса в системе К' р'1у = ти'1у, где коэффициент пропорциональности, т. е. релятивистская масса частицы, обозначен буквой т, видим, что равенство piy=p\у будет обеспечено, если коэффициенту т в системе отсчета А" приписать значение 7=? (12.2) т. е. уменьшение поперечной составляющей скорости частицы при переходе от системы К к А' должно быть скомпенсировано возрастанием коэффициента пропорциональности т между скоростью и импульсом. Это возрастание релятивистской массы, вызванное движением системы отсчета, связано с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени. Если релятивистской частице сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Можно сказать, что энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей наряженных частиц высоких энерг ий и служит лучшей жспериментальной проверкой теории относительности. откуда после сокращения на 2т, имеем A(mc2) = vA(mv). (12.5) Правые части в выражениях (12.5) и (12.3) совпадают. Поэтому левая часть (12.5) есть приращение кинетической энергии частицы: АЕк = А(тс2). (12.6) Мы получили, что приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, то из (12.6) находим Ек — тс2 — т0с2 = = т0с2(—±=-\) (12.7) V^ 1 -t»2/c2 / Формула (12.7) дает релятивистское выражение для кинетической энергии частицы. Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (12.7) переходит в обычное выражение EK — m0v~/2 для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике. Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При v~*c релятивистская кинетическая энергия (12.7) неограниченно возрастает: частица, обладающая отличной от нуля массой покоя т0 и движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии ог скорости частицы показана на рис. 12.2. Но вернемся к формуле (12.6), согласно которой приращение кинетической энергии тела сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах — именно в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет происходить не только при сообщении ему Возвращаясь к рис. 12.1, вспомним, что был рассмотрен случай скользящего столкновения, когда составляющая скорости частицы вдоль оси у была много меньше сос тавляющей ее скорости вдоль оси .v. В этом предельном случае входящая в формулу (12.2) относительная скорость v систем А' и А" практически совпадает со скоростью частицы 1 в системе А". Поэтому найденное значение (12.2) коэффициента пропорциональности между г-составляющи-ми векторов скорости и импульса справедливо и для самих векторов. Таким образом, соотношение (12.1) доказано. Выясним теперь, к каким изменениям в выражении для энергии частицы приводит полученная формула (12.1) для релятивистского импульса. В релятивистской механике сила F вводится таким образом, чтобы соотношение между приращением импульса частицы Ар и импульсом силы FAt было таким же. как и в классической физике: Ар = FAt. Кинетическую энергию частицы Ек в релятивистской механике, как и в классической, введем как величину, изменение которой на перемещении А»- равно работе действующей силы F: А ?к = FAr = FvAt = vAp = vA(mv). (12.3) Здесь перемещение частицы Дг за At выражено через ее скорость v. Из формулы (12.3) и будем исходить при выводе выражения для релятивистской энергии. Перепишем формулу (12.2) следующим образом: m2(\-v2/c) = ml Умножив обе части на с2 и раскрыв скобки, получим m2c2-(mv)2 = m20c2. (12.4) При движении частицы под действием F ее скорость и импульс меняются. Для нахождения приращения левой части (12.4) воспользуемся тем, что приращение квадрата любой переменной величины / за малый промежуток времени приближенно равно Д(/2И/+А/)2-/2«2/Д/. Применяя эту формулу к формуле (12.4) и учитывая, что правая часть ее остается при этом неизменной, получаем кинетической энергии, но при любом другом увеличении энергии тела, независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит: F= m°cl . (12.8) У^Р -J Таким образом, коэффициент пропорциональности т = т0/у/1 —v2/c2 между скоростью и импульсом частицы определяет полную энергию тела в релятивистской механике. Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, гак что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 12.3а). Пусть скорость каждого из тел до столкновения равна v, а масса покоя т0. Массу покоя образовавшегося тела обозначим через М0. Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К', движущейся относительно исходной системы К налево (рис. 12.36) с малой (нерелятивистской) скоростью — и. Так как u 2т п. Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п. Применение формулы (12.8) к покоящемуся телу приводит нас к знаменитой формуле Эйнштейна Е0 = т0с2. (12.9) Из (12.9) следует, что покоящееся тело обладает энергией Е0. Эту энергию называют энергией покоя. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых значительных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения. В классической механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная, масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено гем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг у пропорциональны, так что при надлежащем выборе единиц меры этих свойств можно выражать одним и тем же числом. Равенство инертной и гравитационной масс есть экспериментальный факт, подтвержденный с огромной степенью точности в опытах Этвеша, Дикке и др. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и масса гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их численные характеристики пропорциональны друг другу. Такое положение вещей характеризуют словом «эквивалентность». Аналогичный вопрос возникает в связи с понятиями массы покоя и энергии покоя в теории относительности. Проявления свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но теория относительности утверждает, что эти свойства неразрывно связаны, а численные характеристики этих свойств пропорциональны друг другу. Поэтому в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя - и энергии покоя. Всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя меняется. Опыт показывает нам, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая из взвешивания масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров. 1. Энергия, высвобождающаяся при сгорании нефти, при взрыве динамита и при других химических превращениях. представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако если перевес ти ее величину на язык эквивалентной массы, то окажется, что эта масса не составляет и 10 10 от полной величины массы покоя. Например, при соединении 1 г водорода с 8 г кислорода выделяется около 1012 эрг энергии. Масса покоя образовавшейся воды па Ат = АЕ/с2 х !0~9 г меньше массы исходных веществ. Такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью современных приборов. 2. При неупругом столкновении двух частиц по 1 г, разогнанных навстречу друг другу до скорости 1 км/с, добавочная масса покоя слипшейся пары составляет Дта(2-mv2/2):c2x Ю-11 г. (При такой скорости можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии.) Эта величина намного меньше ошибки, с которой может быть измерена масса 1 г. Естественно задать вопрос: почему при обычных условиях подавляющая часть энергии находится в совершенно пассивном состоянии и в превращениях не участвует? На этот вопрос теория относительности не может дать ответа. Ответ следует искать в области квантовых закономерностей, одной из характерных особенностей которых является существование устойчивых состояний с дискретными уровнями энергии. Для элементарных частиц энергия, соответствующая массе покоя, либо превращается в активную форму (излучение) целиком, либо вовсе не превращается. Примером может служить превращение пары электрон позитрон в гамма-излучение. У атомов подавляющая часть массы находится в форме массы покоя элементарных частиц, которая в химических реакциях не изменяется. Даже в ядерных реакциях энергия, соответствующая массе покоя тяжелых частиц (нуклонов), входящих в состав ядер, остается пассивной. Но здесь активная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия нуклонов, составляет уже заметную долю энергии покоя. Таким образом, экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии покоя и массы покоя следует искать в мире физики элементарных частиц и ядерной физики.