Волновое уравнение Решение для плоской волны

Волновое уравнение Решение волнового уравнения для плоской волны Волновое уравнение и система уравнений Максвелла

В том случае ежели волна распространяется в однородной среде, то ее перемещение в едином случае обрисовывают волновым уравнением (дифференциальным уравнением в личных производных): ∂2s→∂t2=v2(∂2s→∂x2+∂2s→∂y2+∂2s→∂z2)(1) либо △s→=1v2∂2s→∂t2(2), в каком месте Волновое уравнение Решение волнового уравнения для плоской волны Волновое уравнение и система уравнений Максвелла фазовая прыть волны △=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2 -- инструктор Лапласа. Решением уравнения (1,2) работает уравнение хоть какой волны, эти уравнения удовлетворяют, к примеру, и плоская и сферическая волны. Ежели плоская волна распространяется вдоль оси X, то уравнение (1) видется как: Замечание 1 Ежели телесная размер распространяется как волна, то она непременно удовлетворяет волновому уравнению. Правосудно обратное предложение: ежели какая -- или размер покоряется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Прыть распространения волны станет одинакова квадратному корню из коэффициента, кой стоит при сумме пространственных производных (в предоставленном облике записи). Ничто почему-то? Пробуй устремиться из-за поддержкою к педагогам Заключение задач Контрольные работы Эссе Волновое уравнение играет совсем огромную роль в физике. Заключение волнового уравнения для плоской волны Запишем сплошное заключение уравнения (2), для световой волны, распространяющейся в вакууме в случае, ежели s скалярная функция находится в зависимости лишь от одной из декартовых переменных, к примеру z, то имеется s=s(z,t), будто значит, функция s владеет неизменное смысл в точках плоскости, коия перпендикулярна о с и осиZ. Волновое уравнение (1) в данном случае воспримет разряд: в каком месте прыть распространения света в вакууме одинакова c. Всеобщим решением уравнения (4) при данных критериях станет представление: в каком месте s1(z+ct)- функция обрисовывающая волну случайной формы, коия перемещается со скоростью c в отрицательном направленности сообразно отношению к течению о с и осиZ, s2(z−ct) - функция обрисовывающая волну случайной формы, коия перемещается со скоростью c в позитивном направленности сообразно отношению к течению о с и осиZ. Нужно подметить, будто в процессе перемещения смысла s1 и s2 в хоть какой точке волны и ее выкройка волны неизменны. Ленность декламировать? Установи вопросец спецам и получи протест теснее чрез 15 мин.! Установить Вопросец Выходит, будто волна, которую обрисовывает суперпозиция 2-ух волн (в согласовании с формулой (5)). При этом данные сочиняющие волны движутся в других направленностях. В данном случае теснее невозможно разговаривать о скорости либо направленности волны. В самом элементарном случае выходит стоячая волна. В едином случае нужно разглядывать трудное электромагнитное поле. Волновое уравнение и система уравнений Максвелла Волновые уравнения для шатаний векторов напряженности электрического поля и вектора магнитной индукции магнитного поля просто заполучить из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Запишем систему уравнений Максвелла для препарата, в котором недостает вольных зарядов и токов проводимости: Используем операцию rot к уравнению (7): В выражении (10) разрешено поменять распорядок дифференцирования в правой доли выражения, этак как пространственные координаты и время -- независящие переменные, следственно, владеем: Примем во интерес то, уравнение (6), поменяем rotB→ в выражении (11) на правую дробь формулы (6), владеем: Понимая, будто rotrotE→=graddivE→−∇2E→, и применяя divE→=0, приобретаем: Подобно разрешено заполучить волновое уравнение для вектора магнитной индукции. Оно владеет разряд: В выражениях (13) и (14) фазовая прыть распространения волны (v) одинакова: Образчик 1 Поручение: Берите сплошное заключение волнового уравнения ∂2s∂z2−1c2∂2s∂t2=0(1.1) плоской световой волны. Заключение: Введем независящие переменные вида для функции s: ξ=z−ct, η=z+ct(1.2). В этом случае личная производная ∂s∂z одинакова: Вычтем почленно представление (1.4) из выражения (1.3), владеем: ∂s∂z−1c∂s∂t=2∂s∂ξ(1.5). Почленное телосложение выражений (1.4) и (1.3) отчуждает: ∂s∂z−1c∂s∂t=2∂s∂η(1.6). Обнаружим творение левых долей выражений (1.5) и (1.6) и предусмотрим итоги, записанные в правых долях данных выражений: с (1.7). Ежели проинтегрировать представление (1.7) сообразно ξ, то получим функцию, коия никак не находится в зависимости от данной переменной, и имеет возможность находиться в зависимости лишь от η, будто означает, будто она считается случайной функцией Ψ(η). В данном случае уравнение (1.7) воспримет разряд: ∂s∂η=Ψ(η)(1.8). Проведем интегрирование (1.8) сообразно Волновое уравнение Решение волнового уравнения для плоской волны Волновое уравнение и система уравнений Максвелла η владеем: s=∫Ψ(η)dη=s1(η)+s2(ξ)(1.9), в каком месте з s1(з) -- первообразная, s2(ξ)- неизменная интегрирования. При этом, функции s1 и s2 -- свободные. Беря во внимание выражения (1.2), сплошное заключение уравнения (1.1) разрешено сделать запись как: s(z,t)=s1(z+ct)+s2(z−ct). Протест: st). Образчик 2 Поручение: Определите из волнового уравнения, чему одинакова фазовая прыть распространения плоской световой волны. Заключение: Сопоставляя волновое уравнение, к примеру, для вектора напряженности, приобретенное из уравнений Максвелла: ∇2E→−εε0μμ0∂2E→∂t2=0(2.1) с волновым уравнением: △s→=1v2∂2s→∂t2(2.2) дозволяет изготовить суд о том, будто прыть распространения волны (v) одинакова: с v=1μεμ0ε0=1μ0ε01με=сμε. Однако тут потребуется подметить, будто мнение скорости электромагнитной волны владеет установленный значение лишь с волнами обычный конфигурации, перед эти волны идет, к примеру группа плоских волн. Этак v никак не станет проявляться Волновое уравнение Решение волнового уравнения для плоской волны Волновое уравнение и система уравнений Максвелла