Преобразования Лоренца. Интервал. Релятивистский закон преобразования скорости
Полученные выше на основе постулатов теории относительности формулы (10.1) и (10.2), связывающие промежутки времени и расстояния между точками в разных системах отсчета, позволяют написать релятивистский закон преобразования координат и времени произвольного события при переходе от одной системы отсчета к другой. Этот закон должен заменить основанные на классических представлениях о пространстве и времени преобразования Галилея (9.1). Рассмотрим, как и в § 9, описание некоторого события А в двух инерциаль-ных системах отсчета К и К'. Пусть координаты и время этого события в системе К есть х, у, z и t, а в системе К'—х', у', z' и f (рис. 11.1). Как и прежде, считаем, что при t = 0 точки О и О' совпадают. Расстояния в направлении, перпендикулярном к относительной скорости у систем отсчета, как уже было показано, одинаковы в К и К', поэтому у=у' и z=z'. Координата х есть собственная длина /0 отрезка О В, неподвижного в А"-системе. Длина / этого же отрезка в К'-системе, где измерение производится в момент времени есть x' + vt'. Учитывая соотношение (10.2) между собственной длиной некоторого отрезка /0 и длиной ' этого же отрезка в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью v: мы можем написать x' + vt'^x^] -v2/c2, откуда х= =. (11.1) Но можно рассуждать и иначе. Координата х' есть собственная длина отрезка О'В, неподвижного в К '-системе. Длина этого же отрезка в К, измеряемая в момент времени t по часам К, равна x — vt. Снова учитывая соотношение (10.2) между длиной одного и того же отрезка в двух системах отсчета, можем написать *'=' - (11.2) yi-t^/c2 Формулы (11.1) и (11.2) позволяют также найти связь между временем t и t' одного и того же события в обеих системах отсчета. Исключая из (11.1) и (11.2) сначала х', а затем л-, найдем V V ''.+ — * '--2* t= , С t'= , С (11.3) J\-v2lc2 J\-v2lc2 Таким образом, релятивистские формулы преобразования координат некоторого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой имеют вид V /" + -J*" ?*+vt , у=у', z — z', t= с (11.4) Эти формулы называют преобразованиями Лоренца. Они заменяют преобразования Галилея, справедливые лишь в предельном случае малых по сравнению со скоростью света относительных скоростей. При v/f2, т. е. Si2>0. В этом случае всегда можно найти такую систему отсчета К\ в которой рассматриваемые события происходят в одной точке, т.е. /'i2 = 0, и промежуток времени между ними в такой системе отсчета является собственным временем t\2 = т0: е 2 —r2t2 /2 —r2t'2 l'2 —r2r2 >->12 — ' '12 «12 —4 '12- '12 —c T0- Таким образом, для событий, разделенных времени-подобным интервалом, всегда существует такая система отсчета, в которой этот интервал (с точностью до постоянного множителя с) представляет собой просто промежуток времени т0 между этими событиями. Для этих событий понятия «раньше», «позже» имеют абсолютный характер. Очевидно, что между такими событиями может иметь место причинно-следственная связь. Для событий, разделенных пространственноподоб- ным интервалом, c2t\20. Скоростью и' этой же частицы в системе отсчета К' будет предел отношения Ar'/At', где At' и А г' — промежуток времени и изменение радиус-вектора в К' для той же пары событий, т. е. для конечного и начального состояний частицы. Применяя преобразования Лоренца (11.4) к конечному и начальному состояниям частицы и вычитая их почленно, получим Выражения (11.7) представляют собой закон преобразования скорости частицы при переходе от одной инерци-альной системы отсчета к другой. Отметим, что поперечные к направлению относительной скорости систем отсчета компоненты скорости частицы иу и mz, в отличие от поперечных координат у и z, не остаются неизменными. Это связано с тем, что при переходе от одной системы отсчета к другой время преобразуется. В предельном случае v